专题07 一次函数的应用（铅锤法求面积） 【方法说明】 常规图形中： 平面直角坐标系中： 例1．（2023 春·全国·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，已知直线 与x 轴相交于点与y 轴交于点B． (1)、B 两点坐标分别为________，________； (2)点 在x 轴上，若点P 是直线 上的一个动点，当 上的一个动点，当 时，求点P 的坐 标． 【答】(1) ， ；(2) 或 【分析】（1）根据直线 ，令 求出 的值，令 求出 的值，即可得点 、 的坐标； （2）分类讨论：点 在 轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件， 列出方程，利用方程求得点 的坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线 ， 当 时， ． ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ， 思想的应用是解决问题的关键． 例2．（2022 秋·四川成都·八年级统考期中）如图1，已知直线 与y 轴、x 轴分别 交于 两点，以B 为直角顶点在第一象限内作等腰 ， 所在直线为 ． (1)求 两点的坐标； (2)求点坐标及b 的值； (3)如图2，直线 交y 轴于点D，在直线 上取一点E，使 与x 轴相交于 点F． ①求证： ； ②在直线 上是否存在一点P，使 的面积等于 的面积？若存在，直接写出

铅垂法求三角形面积最值问题 知识导航 求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、 等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面 积的方法——铅垂法． 【问题描述】在平面直角坐标系中，已知 、 、 ，求△B 的面积． A B C x y O 【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比 构造矩形DEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△B 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”： D E F O y x C B A 此处E+F 即为、B 两点之间的水平距离． 由题意得：E+BF=6． 下求D： 根据、B 两点坐标求得直线B 解析式为： 由点坐标（4,7）可得D 点横坐标为4， 将4 代入直线B 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为（4,2），D=5, ． 【方法总结】 x y O E 【解题步骤】 （1）求、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点作x 轴垂线与B 交于点D，可得点D 横坐标同点； （3）求直线B 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据、D 坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积． 【思考】如果第3 个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？ 铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对

专题07 一次函数的应用（铅锤法求面积） 【方法说明】 常规图形中： 平面直角坐标系中： 例1．（2023 春·全国·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，已知直线 与x 轴相交于点与y 轴交于点B． (1)、B 两点坐标分别为________，________； (2)点 在x 轴上，若点P 是直线 上的一个动点，当 上的一个动点，当 时，求点P 的坐 标． 例2．（2022 秋·四川成都·八年级统考期中）如图1，已知直线 与y 轴、x 轴分别 交于 两点，以B 为直角顶点在第一象限内作等腰 ， 所在直线为 ． (1)求 两点的坐标； (2)求点坐标及b 的值； (3)如图2，直线 交y 轴于点D，在直线 上取一点E，使 与x 轴相交于 点F． ①求证： ； ②在直线 上是否存在一点P，使 的面积等于 轴交于点，=10． (1)求一次函数 的关系式； (2)点P 是一次函数 图象上的动点，设点P 横坐标为，△PB 的面积是S，求S 关于 的函数关系式． 例4．（2022 春·重庆·七年级重庆十八中校考期中）如图，在平面直角坐标系xy 中，、B 两 点分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且=B=3． (1)求点、B 的坐标； (2)如图1，若点(−2，2)，求三角形B 的面积； (3)若点P

第1 页/ 共25 页 初中物理自主招生讲义30 液体压强、连通器、利用平衡法求液体密度 一．液体压强的概念和特点（共8 小题） 【知识点的认识】 1．液体压强产生的原因是由于液体受重力的作用．若液体在失重的情况下，将无压强可 言． 2．由于液体具有流动性，它所产生的压强具有如下几个特点 （1 “ ” ）液体除了对容器底部产生压强外，还对限制它流动的侧壁产生压强．固体则只对其 ；γ＝ 。 第1 页/ 共25 页 44．在水平桌面上放置一空玻璃杯，它的底面积为001m2，它对桌面的压强为200P。 （1）求玻璃杯的重力。 （2）在玻璃杯中装入1kg 水后，水对杯底产生压强为900P．求水的深度；并通过计算 推出玻璃杯的大致形状是图中甲、乙、丙的哪一种？（水的密度ρ＝10×103kg/m3，取g ＝10/kg） 45．如图所示为一种气压 在瓶内气体压强作用下，水经出水管流出。按压器面积为8 厘米2，瓶内水面低于出水 口8 厘米，出水管最高点高出水口2 厘米。（弹簧的平均弹力为1，p0＝101×105 帕，g ＝10 牛/千克，按压器所受的重力不计）求： （1）要将水压出管口，瓶内水面上的压强至少要多大？ （2）在按压器上至少要加多大的压力。 46．如图所示，放在水平桌面上的容器，侧壁上有一开口弯管，弯管内的液面高度1＝ 08m；容器顶部和

第1 页/ 共48 页 初中物理自主招生讲义30 体压强、连通器、利用平衡法求液体密度 1．液体压强的概念和特点 【知识点的认识】 1．液体压强产生的原因是由于液体受重力的作用．若液体在失重的情况下，将无压强可 言． 2．由于液体具有流动性，它所产生的压强具有如下几个特点 （1 “ ” ）液体除了对容器底部产生压强外，还对限制它流动的侧壁产生压强．固体则只对其 支承面产生压强，方向总是与支承面垂直． 减小，根据p＝ρg 得，气 泡受到的压强减小，气泡受到的压强减小，气泡体积增大，根据F 浮＝ρ 水gV 排得，气泡受 到的浮力变大．故选． 点评：掌握液体压强和浮力大小的影响因素，利用控制变量法探究液体压强和浮力大小的 变化．【解题方法点拨】记忆性的知识点，要熟记． 一．液体压强的概念和特点（共8 小题） 1．一水箱由圆筒与圆锥面无缝连接，形状和尺寸如右图所示，箱内底部p 处有一压强传感 B、若甲和乙对容器底部的压强相等，由图可知，甲＜乙，根据p＝ρg 可知，ρ 甲＞ρ 乙， 故B 错误； 、液体压强相等，两容器底面积相等，由p＝ 可知，甲、乙对容器底的压力相等，即 F 甲＝F 乙﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣① 采用割补法（如下图所示），分别把容器两侧半球部分补上同种液体，此时液体为圆柱 形； 割补后深度不变，液体密度不变，所以液体对容器底的压强不变，又因为容器底面积不 变，所以割补前后液体对容器底部的压力不变，且此时液体为圆柱形（液体对容器底的

2024 届高考语文思辨性作文 写作指导13：二元思辨性“自修处求强”与“胜人处求 强” 作文话题+题目+素材运用+金句+范文展示 真题回放 阅读下面的材料，根据要求写作。（60 分） 材料一：在刚刚落幕的东京奥运会上，我们致敬“勇夺首金”的杨倩，为 她备赛阶段不断稳定心态、专注于提高自身而动容；我们亦致敬“无冕之 王”的苏炳添，为他持续改进技术、执着于超越自我而喝彩；而此届奥运会 中金牌榜的比拼更是激烈：中国代表队一度以34 金领跑奥运金牌榜首，“中 国第一”的求胜强音奏起；比赛收官之日，当美国队在金牌榜首以39：38 反超中国时，“功亏一篑”的失落声阵阵。 材料二：《曾国藩家书》云：“吾辈在自修处求强则可，在胜人处求强则 不可”。 对于以上材料，你有何看法？请结合材料写一篇文章，体现你的感悟与思 考。 要求：选准角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭； 不得泄露个人信息；不少于 此层材料呈现的是当下社会热点内容：“勇夺首金”的杨倩、“无冕之 王”的苏炳添，我们致敬他们自修处求强，在自胜处求强。在奥运会金牌榜 的比拼中，“中国第一”的求胜强音奏起与“功亏一篑”的失落声阵阵则体 现了国人“胜人处求强”之心。 材料第二层： 《曾国藩家书》云：“吾辈在自修处求强则可，在胜人处求强则不可”。 此是曾国藩在给弟弟曾国荃的信中语，曾国荃受其母亲影响，生性刚直倔 强，处处想胜

胡不归求最小值 内容导航 方法点拨 从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日 夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径--B（如图所示：是出发地，B 是目的地， 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍 告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归 M N C B A ，记 ， 即求B+k 的最小值． 构造射线D 使得s∠D=k，/=k，=k． CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M 将问题转化为求B+最小值，过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值，即B+k 最 小． M N C B A α D H 在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 例1．如图①，已知抛物线y＝﹣ x2+ x+2 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，抛物线 的顶点为Q，连接B． （1）求直线B 的解析式； （2）点P 是直线B 上方抛物线上的一点，过点P 作PD⊥B 于点D，在直线B 上有一动点M，当 线段PD 最大时，求PM+ MB 最小值； 【解答】解：（1）令y＝0，﹣ x2+ x+2 ＝0，解得x＝﹣1 和4， ∴（﹣1，0），B（4，0），

阿氏圆求最小值 内容导航 方法点拨 点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平 面上两点 、B，则所有满 足 P=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希 腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 如图 1 所示，⊙ 的半径为 r，点 、B 都在⊙ =k·r，则可说 明△BP 与△P 相似，即 k·PB=P。故本题求 “P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值，其中与 与 为定点,P 为动点，故当 、 P、 三点共线时， “P+P”值最小。如图3 所示： 【破解策略详细步骤解析】 例题演练 例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x 的顶点为点 （1）求点的坐标； （2）点B 为抛物线上横坐标等于﹣6 的点，点M 的点，点M 为线段B 的中点，点P 为直线B 下方抛物线上 的一动点．当△PM 的面积最大时，过点P 作P⊥y 轴于点，若在坐标平面内有一动点Q 满足PQ ＝ ，求Q+ Q 的最小值； 【解答】解：（1）∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4， ∴（﹣2，﹣4）； （2）如图1，过P 作P⊥x 轴交B 于，作PG⊥B 于G，过M 作MD⊥y 轴交y 轴于D， ∵点B 为抛物线上横坐标等于﹣6

费马点求最小值 内容导航 方法点拨 P Q E A B C Q P A B C E △P≌△QE，且△PQ 为等边三角形， ∴P=QE，P=PQ ∴P+BP+P=BP+PQ+QE 当B、P、Q、E 共线时，P+BP+P 和最小 例题演练 题组 1 ：费马点在三角形中运用 例1．如图，在△B 中，P 中，B＝2，将△B 绕点B 顺时针旋转60°得到△′B′′，则′＝ ； 问题探究 （2）如图②，在△B 中，B＝B＝3，∠B＝30°，点P 为△B 内一点，连接P、PB、P，求P+PB+P 的最小值，并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在四边形BD 中，D∥B，B＝6，D＝4，∠B＝∠BD＝60°．在四边形BD 内部有一点， 满足∠PD＝120°，连接BP、P，点Q 的坐标为（0，2），点D 在x 轴的正半轴上，∠DB＝ 30°，E 为△BD 的中线，过B、E 两点的抛物线 与x 轴相交于、F 两点（在F 的 左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）等边△M 的顶点M、在线段E 上，求E 及M 的长； （3）点P 为△B 内的一个动点，设m＝P+PB+P，请直接写出m 的最小值，以及m 取得最小值时， 线段P 的长． 【解答】解：（1）过E 作EG⊥D

面积法 【规律总结】 所谓面积法，就是利用面积相等或者成比例，来证明其他的线段相等或为成比例线段 的方法。 相关定理 (1)等底等高的两个三角形面积相等； (2)等底（或等高）的两三角形面积之比等于其高（或底）之比； (3)在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等； (4)若在同一线段的同侧有底边相等面积相等的两个三角形，则连结两个三角形的顶点 的直线与底边平行。 相交于点O.若 AC=6，BD=8，AE⊥BC，垂足为E，则E 的长为____ __． 【答】24 5 【解析】 【分析】 本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于 中考常考题型． 利用菱形的面积公式：1 2 ⋅AC ⋅BD=BC ⋅AE，即可解决问题； 【解答】 解：∵四边形BD 是菱形， ∴AC ⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4， 例3、如图，在△ABC中，∠A=90°，D 是B 边上一点， △DCB为等腰三角形，过B 上一点P，作PE⊥AB，垂足为 点E，作PF ⊥CD，垂足为点F，已知AD︰DB=1︰3，BC=6 ❑ √6，求PE+PF的长． 【答】解：∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF ⊥CD，AC ⊥BD， ∴S△BCD=1 2 BD⋅PE+ 1 2 CD⋅PF=1 2 BD⋅AC， ∴PE+PF=AC，