13 三角形面积求最大值问题——铅垂法

铅垂法求三角形面积最值问题 知识导航 求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、 等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面 积的方法——铅垂法． 【问题描述】在平面直角坐标系中，已知 、 、 ，求△B 的面积． A B C x y O 【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比 如这样： D E F O y x C B A 构造矩形DEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△B 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”： D E F O y x C B A 此处E+F 即为、B 两点之间的水平距离． 由题意得：E+BF=6． 下求D： 根据、B 两点坐标求得直线B 解析式为： 由点坐标（4,7）可得D 点横坐标为4， 将4 代入直线B 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为（4,2），D=5, ． 【方法总结】 作以下定义： 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”； 过点作x 轴的垂线与B 交点为D，线段D 即为B 边的“铅垂高”． 如图可得： 铅 垂 高 水平宽 D A B C x y O E 【解题步骤】 （1）求、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点作x 轴垂线与B 交于点D，可得点D 横坐标同点； （3）求直线B 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据、D 坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积． 【思考】如果第3 个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？ 铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对 应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似： 【铅垂法大全】 （1）取B 作水平宽，过点作铅垂高D． 水平宽 铅 垂 高D O y x C B A （2）取作水平宽，过点B 作BD⊥x 轴交直线于点D，BD 即对应的铅垂高， D 铅 垂 高 水平宽 A B C x y O （3）取B 作水平宽，过点作铅垂高D． D 水平宽 铅 垂 高 A B C x y O 甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高． （4）取B 作水平宽，过点作铅垂高D． 水 平 宽 铅垂高 D A B C x y O （5）取作水平宽，过点B 作铅垂高BD． 铅垂高 水 平 宽 D A B C x y O （6）取B 作水平宽，过点作铅垂高D． D 水 平 宽 铅垂高 O y x C B A 方法突破 例一、 如图，已知抛物线 经过 ， 两点，与 轴的另一个交点为 ． （1）求该抛物线的表达式； （2）点 为该抛物线上一动点（与点 、 不重合），设点 的横坐标为m．当点 在 直线 的下方运动时，求 的面积的最大值． x y A B C O P 【分析】 （1） ， （2）取B 两点之间的水平距离为水平宽，过点P 作PQ⊥x 轴交直线B 于点Q，则PQ 即为 铅垂高． Q P O C B A y x 根据B、两点坐标得B、水平距离为4， 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=x+1， 设P 点坐标为（m，m²+6m+5），则点Q（m，m+1）， 得PQ=-m²-5m-4， 考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大． 当 时，△BP 面积最大，最大值为 ． 【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高． 例二、 在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 轴交于点 、 （点 在点 的左侧）， ，经过点 的一次函数 的图像与 轴正半轴交于点 ，且与抛物线 的另一个交点为 ， 的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点 在一次函数的图像下方，求 面积的最大值，并求出此时点 的坐标． E D C B A y x 【分析】 （1）抛物线解析式： ； 一次函数解析式： ． （2）显然，当△E 面积最大时，点E 并不在之间． 已知（-1,0）、 ， 设点E 坐标为 ，过点E 作EF⊥x 轴交直线D 于F 点， F 点横坐标为m，代入一次函数解析式得 可得 考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大． F E D C B A y x 既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了， 对坐标系中已知三点 、 、 ， 按铅垂法思路，可得： 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯． 【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面 积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松． 专项训练 1．已知二次函数 和一次函数 的图象都经过点 ，且二次函 数 的图象经过点 ，一次函数 的图象经过点 ． （1）分别求 、 和 、 的值； （2）点 是二次函数 的图象上一动点，且点 在 轴上方，写出 的 面积 关于点 的横坐标 的函数表达式，并求 的最大值． 【分析】（1）把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答； （2）分两种情况：①当点 在 轴左侧时，过点 作 轴交 于点 ，②当点 在 轴右侧时，过点 作 轴交 的延长线于点 ，分别根据三角形面积公式得到 关系式，利用函数式表示三角形 的面积，配方可得答． 【解答】解：（1） 二次函数 和一次函数 的图象都经过点 ，一次函数 的图象经过点 ， ， ， 二次函数 和一次函数 的图象都经过点 ，二次函数 的图象经过点 ， ， ． （2）由（1）知一次函数与二次函数的解析式分别为： 或 ， ①当点 在 轴左侧时，过点 作 轴交 于点 ，则 ， ②当点 在 轴右侧时，过点 作 轴交 的延长线于点 ， 则 ， 点 在抛物线上，设 ，则 ， ， ， 即当 时， 最大 ． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性 质及运算是解决此题关键， 2．如图，抛物线经过 ， ， 三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 下方的抛物线上有一动点 ，使得 的面积最大，求点 的坐标； （3）点 为 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 ，使以 ， ， ， 四点构 成的四边形为平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点 、 、 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由 的面积 ，即可求解； （3）分 是边、 是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解． 【解答】解：（1）将点 、 、 的坐标代入抛物线表达式得 ，解得 ， 故抛物线的表达式为 ； （2）设直线 的表达式为 ，则 ，解得 ， 故直线 的表达式为 ， 过点 作 轴的平行线交 于点 ， 设点 的坐标为 ，则点 ， 则 的面积 ， ，故该抛物线开口向下， 的面积存在最大值，此时 ， 则点 的坐标为 ； （3）存在，理由： 设点 的坐标为 ，则 ①， ①当 是边时， 点 向下平移3 个单位得到点 ，则点 向下平移3 个单位得到点 ， 则 或 ②， 联立①②并解得 或 （不合题意的值已舍去）； ②当 是对角线时， 则由中点公式得： ③， 联立①③并解得 （不合题意的值已舍去）； 综上，点 的坐标为 或 ， 或 ， ． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积 的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 3．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 ， ， 三点， 点 是直线 下方抛物线上的一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）动点 运动到什么位置时， 的面积最大，求出此时 点坐标及 面积的最 大值； （3）在 轴上是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在， 请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将 、 、 坐标代入即可求解析式； （2）设 坐标，表示出 的面积，再求出最大面积和面积最大时 的坐标； （3）两个直角顶点是对应点，而 两直角边的比为 ，只需 两直角边比也为 ，两个三角形就相似，分两种情况列出比例式即可． 【解答】解：（1）设二次函数的解析式为 ， 二次函数的图象交坐标轴于 ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， 二次函数的解析式为 ， 故答为： ； （2）设直线 解析式为 ，将 ， 代入得 ， 解得 ， ， 解析式是 ， 如答图1，过 作 轴，交 于 ， 点 是直线 下方抛物线上的一个动点， ， ， ， ， ， ， 时， 最大为 ，此时 ， ， ， 故答为： ， ， 最大为 ； ， ， ， ， ， 点 在 轴上， ， 若以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，则 与 对应， 分两种情况： ①如答图2， ， 则 即 ，解得 ， 或 ； ② ， 则 即 ，解得 ， 或 ， 综上所述，存在 轴上的点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，这样的点 一共4 个： 或 ， 或 ， 故答为：存在这样的点 ，坐标分别是： 或 ， 或 ， 【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转 化，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度适中． 4．如图1，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，已知点 坐 标为 ，点 坐标为 ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 为直线 上方抛物线上的一个动点，当 的面积最大时，求点 的坐标； （3）如图2，点 为该抛物线的顶点，直线 轴于点 ，在直线 上是否存在点 ，使点 到直线 的距离等于点 到点 的距离？若存在，求出点 的坐标；若不 存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2 ）过点 作 轴于 ，交 于点 ，先求出 的解析式，设点 ， 则 点 ， 由 三 角 形 面 积 公 式 可 得 ，由二次函数的性质可求解； （3）设直线 与 轴交于点 ，过点 作 于 ，先求出点 ，点 坐标， 可求 解析式，可得 ，由等腰直角三角形的性质可得 ， 由两点距离公式可列 ，即可求解． 【解答】解：（1） 点 ，点 在抛物线 图象上， ， 解得： ， 抛物线解析式为： ； （2） 点 ，点 ， 直线 解析式为： ， 如图，过点 作 轴于 ，交 于点 ， 设点 ，则点 ， ， ， 当 时， 有最大值， 点 ， ； （3）存在 满足条件， 理由如下： 抛物线 与 轴交于 、 两点， 点 ， ， 顶点 为 ， 点 为 ，点 ， 直线 的解析式为： ， 如图，设直线 与 轴交于点 ，过点 作 于 ， 点 ， ， ， ， ， ， ， 设点 ， 点 到直线 的距离等于点 到点 的距离， ， ， ， ， ， ， 存在点 满足要求，点 坐标为 或 ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函 数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键． 5．如图，抛物线过点 和 ，顶点为 ，直线 与抛物线的对称轴 的交点为 ， ，平行于 轴的直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ，点 的横 坐标为 ，四边形 为平行四边形． （1）求点 的坐标及抛物线的解析式； （2）若点 为抛物线上的动点，且在直线 上方，当 面积最大时，求点 的坐标 及 面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上取一点 ，同时在抛物线上取一点 ，使以 为一边且以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，求点 和点 的坐标． 【分析】（1）由待定系数法求出直线 的解析式为 ，求出 点的坐标，由 平行四边形的性质得出 ，求出 的值，则可得出答； （2 ）设 ，作 轴交 于点 ，则 ，得出 ，由二次函数的性质可得出答； （3）联立直线 和抛物线解析式求出 ， ，设 ， ，分两种情况：① 当 为对角线时，②当 为对角线时，分别求出点 和 的坐标即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， ， 解得 ， 直线 的解析式为 ， 点 的横坐标为 ， 点纵坐标为 ， 点的坐标为 ， ， 又 点 在抛物线上， ， 对称轴为： ， ， 解析式化为： ， 四边形 为平行四边形． ， ， 解得 ， 抛物线的解析式为 ； （2）设 ，作 轴交 于点 ， 则 ， ， ， 当 时， 的面积最大为 ，此时 ， ． （3） ， 或 ， ， ， 设 ， ， ①当 为对角线时， ， 在抛物线 上， ， 解得 ， ， ； ②当 为对角线时， ， 在抛物线 上， ， 解得 ， ， ， ． 综上所述， ， ；或 ， ， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上 点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨 论思想是解题的关键． 6．在平面直角坐标系 中，等腰直角 的直角顶点 在 轴上，另两个顶点 ， 在 轴上，且 ，抛物线经过 ， ， 三点，如图1 所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式． （2）过原点任作直线交抛物线于 ， 两点，如图2 所示． ①求 面积的最小值． ②已知 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 ，使得点 与点 关于直线 对称，若存在，求出点 的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得 、 、 ，进而得 、 、 三 点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）①设直线的解析式为 ， ， ， ， ，联立方程组求得 ， 再由三角形的面积公式求得结果； ②假设抛物线上存在点 ，使得点 与点 关于直线对称，由 列出 方程求得 的值，再根据题意舍去不合题意的 值，再求得 的中点坐标，便可求得直 线的解析式． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 ， 在等腰 中， 垂直平分 ，且 ， ， ， ， ， ， 解得， ， 抛物线的解析式为 ； （2）①设直线的解析式为 ， ， ， ， ， 由 ，可得 ， ， ， ， ， ， 当 时 取最小值为4． 面积的最小值为4． ②假设抛物线上存在点 ，使得点 与点 关于直线对称， ，即 ， 解得， ， ， ， ， ， 不合题意，舍去， 当 时，点 ， 线段 的中点为 ， ， ， 直线的表达式为： ， 当 时，点 ， ， 线段 的中点为 ， ， ， ， 直线的解析式为 ． 综上，点 ， ，直线的解析式为 或点 ， ，直线的解析 式为 ． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象 与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）①题关键是求得 、 两点的横坐标之差， 第（2）②小题关键是根据轴对称性质列出 的方程，以及求得 的中点坐标．