专题01 根与系数的四种考法 【知识点精讲】 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）的两根时，x1+x2¿−b a，x1x2 ¿ c a． 类型一、整体代换求值 例1．若 是一元二次方程 的两个实数根，则 ． 【答】 / 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ，然后代入求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得， 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练 掌握：一元二次方程 的两个实数根 ， 满足 ， ． 例2．已知 ， 是方程 的两根，则 ． 【答】 【分析】利用根与系数的关系得到 ， ，再利用完全平方公式进行计算即 可． 【详解】解：根据题意得 ， ， ∴ = ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的 两根，则有 ， ． 例3．已知 是方程 的两个实数根，则 的值是 ． 【答】 【分析】利用根与系数的关系求出 ，把 代入方程得到关系式，变形后代入 计算即可． 【详解】解：∵ 是方程 的两个实数根， ∴ ， ∴把 代入方程 得： ， 可得 ， ∴ ， 故答为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一 元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

专题01 根与系数的四种考法 【知识点精讲】 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）的两根时，x1+x2¿−b a，x1x2 ¿ c a． 类型一、整体代换求值 例1．若 是一元二次方程 的两个实数根，则 ． 例2．已知 ， 是方程 的两根，则 ． 例3．已知 是方程 的两个实数根，则 的值是 ． 例4．已知方程 例4．已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为 ． 【变式训练1】已知关于x 的方程 有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围． (2)若两个实数根分别是 ， ，且 ，求m 的值． 【变式训练2】已知 ， 是方程 的两个根，则代数 的值为 ． 类型二、降幂思想求值 例．若 ， 是方程 的两根，则 ． 【变式训练1】设方程 的两个根是 ，则 的取值是 是方程 的两个实数根，则 【变式训练3】设、b 是方程 的两实数根，则 ． 类型三、构造方程化简求值 例．已知实数 、 满足 ， ，则 ． 【变式训练1】非零实数m， 满足 ， ，则 ． 【变式训练2】若实数、b 满足 ， ，则 的值是 ． 类型四、求参数值（易错点） 例．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且 ，则实数

专题07 根与系数求值的四种考法 类型一、整体代入求值 例．若一元二次方程 的两根分别为 ，则 ． 【答】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别为 ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根， ， ，掌握根与系数的关系是解题关键． 的两个根，则 的值等于 ． 【答】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出 , ，代入求值 即可． 【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根， ∴ ， ，则 ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求值． 【变式训练2】已知，b 是一元二次方程x2+x 1 ﹣＝0 的两根，则32﹣b 【分析】由根与系数的关系及根的定义可知+b＝﹣1，b＝﹣1，2+＝1，据此对32 b ﹣ 进行变形计算可 得结果 【详解】解：由题意可知：+b＝﹣1，b＝﹣1，2+＝1， ∴原式＝3（1﹣）﹣b+ ＝3 3 b+ ﹣﹣ ＝3 2 ﹣﹣（+b）+ ＝3 2+1+ ﹣ ＝4 2+ ﹣ ＝4+ ＝4+ ＝4+4＝8， 故答为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关

专题07 根与系数求值的四种考法 类型一、整体代入求值 例．若一元二次方程 的两根分别为 ，则 ． 【变式训练1】已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值等于 ． 【变式训练2】已知，b 是一元二次方程x2+x 1 ﹣＝0 的两根，则32﹣b 的值是 ． 【变式训练3】若 ，边是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ． 【变式训练4】已知实数 【变式训练4】已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是 ． 类型二、降幂思想求值 例．设 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值为 【变式训练1】若 是方程 的两个实数根，求 的值． 【变式训练2】若 ，那么代数式 的值是 【变式训练3】已知 ， 是方程 的两个根，那么 ______． 类型三、构造方程思想求值 例．如果x、y 是两个实数（ ）且 ， ，则 的值等于 （ ） 【变式训练2】已知、b、均为实数，且 ， ，则 ． 【变式训练3】已知实数、b 满足 ，求 的值． 类型四、根的大小问题 例m 为何值时，关于x 的方程3（m 1 ﹣）x2 4 ﹣mx+（m 3 ﹣）＝0 (1)两个正根； (2)一正一负两根； (3)两根都大于1． 【变式训练】已知关于x 的一元二次方程：x2-2x-=0，有下列结论： ①当＞-1 时，方程有两个不相等的实根；

专题05 与根的判别式有关的两种考法 类型一、参数位置的问题 例1（二次项含参）关于x 的方程 ，只有一个实数解，则m 的值等于（ ） ．0，2 B．1，2 ．0， ，1 D．0，2，1 【答】D 【分析】方程 ，只有一个实数解，则有两种情况，二次项系数为0，一次项系数不 为0；二次项系数不为0 时，二次方程有两个相等的实数根． 【详解】方程 ，只有一个实数解，有两种情况： ①当 故选：D． 【点睛】本题考查了方程根的判别式，解题的关键是分一次方程与二次方程两种情况讨论． 例2（二次项不含参）关于x 的方程 根的情况是（ ） ．没有实数根 B．有两个不相等实数根 ．有两个相等实数根 D．只有一个实数根 【答】B 【分析】利用判别式和一元二次方程的根的关系进行判断即可． 【详解】解：根据题意得， ， 则关于x 的方程 有两个不相等实数根，故选B． 【点睛】本题考 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握 ，一元二次方程有两个不相等的实 数根； ，一元二次方程有一个实数根； ，一元二次方程无实数根是解题的关键． 【变式训练1】若关于x 的方程 有实数根，则k 的取值范围是（ ） ． B． 且 ． D． 且 【答】 【详解】解：当k=0 时，方程化为-x-1=0，解得x=-1； 当k≠0 时，根据题意得Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0，解得k≥-

专题05 与根的判别式有关的两种考法 类型一、参数位置的问题 例1（二次项含参）关于x 的方程 ，只有一个实数解，则m 的值等于（ ） ．0，2 B．1，2 ．0， ，1 D．0，2，1 例2（二次项不含参）关于x 的方程 根的情况是（ ） ．没有实数根 B．有两个不相等实数根 ．有两个相等实数根 D．只有一个实数根 【变式训练1】若关于x 的方程 有实数根，则k 的取值范围是（ 有两个相等的实数根，则 的值是 ． 【变式训练3】已知关于x 的一元二次方程 ． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)选择一个m 的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根． 【变式训练4】若方程 没有实数根，试判断方程 根的情况并说明 理由． 类型二、分情况讨论（是否是二次方程） 例1m 为何值时，关于x 的方程 有唯一的根，并求这个根． 例2．（不需要讨论）关于的一元二次方程 ，则方程必有两个不相等 的实数根；②若 ，则方程必有两个不相等的实数根．正确的是（ ） ． 【变式训练1】已知，关于x 的一元二次方程 ． (1)k 取何值时，此方程有两个不相等的实数根？ (2)如果此方程的一个根为 ，求k 的值和另一个根． 【变式训练2】已知关于 的一元二次方程 ． （）求证：方程总有两个实数根； （ ）记该方程的两个实数根为 和 若以 ， ， 为三边长的三角形是直角三角形，求

专题214 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】 【人版】 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】..........................................................................................1 【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】........................ ..............................3 【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】..........................................................................................4 【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】........................... ..........................9 【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】....................................................................................................11 【题型7 根与系数关系中的新定义问题】...........................

专题214 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】 【人版】 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】..........................................................................................1 【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】........................ ..............................2 【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】..........................................................................................2 【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】........................... ..........................3 【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】.....................................................................................................4 【题型7 根与系数关系中的新定义问题】...........................

2025 年六升七数学衔接期一元二次方程根与系数关系入门试卷及答 案 一、单项选择题（每题2 分，共20 分） 1. 一元二次方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\) 的两根之和为（ ） A. 5 B. -5 C. 6 D. -6 2. 若方程\(x^2 + px + q = 0\) 的两根分别为2 和3 ，则\(p\) B. 5 C. 6 D. -6 3. 方程\(2x^2 - 8x + 6 = 0\) 的两根之积是（ ） A. 3 B. -3 C. 4 D. -4 4. 若一元二次方程的两根之和为-4 ，两根之积为3，则该方程为 （ ） A. \(x^2 - 4x + 3 = 0\) B. \(x^2 + 4x 3 = 0\) 5. 已知方程\(x^2 - (k+1)x + k = 0\) 的一个根是2，则另一个根 是（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. 0 6. 若方程\(x^2 + bx + c = 0\) 的两根互为相反数，则必有（ ） A. \(b = 0\) B. \(c = 0\) C.

满分作文：《胆识相济》《创造爱》《敢当》《心存灵根， 逍遥翱翔》 1、阅读下面这段文字，根据要求写作文： 冲浪是冲浪者站在冲浪板上驾驭海浪的水上运动，已被列为2024 年巴黎奥运会的正式比赛项目。在 惊涛骇浪之上翱翔，需要具备以下条件：海浪够高够大，且在冲浪者可驾驭的范围内；冲浪板尺寸合适， 能被冲浪者灵活操控；冲浪者有足够的勇气，也有良好的身体素质。当今世界正经历百年未有之大变局， 我 我国正处于实现中华民族伟大复兴的关键时期。在时代的浪潮中，我们应该如何做好一名冲浪者？请结合 材料写一篇文章，体现你的感悟与思考。 要求：结合材料，选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不得泄露个人 信息；不少于800 字。 胆识相济 善于借力 勇立浪尖 冲浪，是一项追波逐浪的运动。其中，冲浪者的勇气和身体素质固不可少，适宜的工具和汹涌的海浪 亦不可缺。于我而言，此 以上材料对我们颇具启示，“尺蠖”这小小的自然之物，给古人以灵感，给今人以创造，让科技在世 界共享。复兴中学将在五四青年节组织以“灵感·创造·共享”为主题的征文活动，请结合以上材料写一篇 文章，体现你的认识与思考。 要求：结合材料，选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不得泄露个人 信息；不少于800 字。 师天法地得灵感，勇于创造爱分享 尺蠖，天地间之微之又微者也，爱思考的