相交线与平行线 模型（三）——猪蹄模型 ◎结论1：若B∥D，则∠B0=∠B+∠ 【证明】过点 作E//B，如图 ∵B∥D,∴E∥D, ∴∠B=∠1,∠=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠，即∠B=∠B＋∠ ◎结论2：若∠B=∠B+∠，则B∥D 【证明】过点 作E∥B，如图，则 ∠P．以上结论正确的个数是 ( ) ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】①过点E 作直线 ，由平行线的性质即可得出结论；②过点E 作直线 ，由平行线的性质即 可得出结论；③过点E 作直线 ，由平行线的性质可得出∠+∠E- 1=180° ∠ ；④先过点P 作直线 ， 再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断． 【详解】解：①过点E 作直线 故选：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．（2022·江苏·苏州工业区景城学校七年级阶段练习）如图，B DE，B⊥D，则以下说法中正确的是（ ） ．α，β 的角度数之和为定值B．α，β 的角度数之积为定值．β 随α 增大而增大D．β 随α 增大而减小 【答】 【分析】过点作F B，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过点作F

相交线与平行线 模型（五）——锯齿模型 ◎结论 如图所示，B∥EF，则∠B＋∠D=∠十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点作M//B，过点D 作PQ//B ∵B//EF, ∴B//M// PQ//EF ∴∠B=∠B,∠DP=∠D,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠DP＋∠PDE=∠B+∠D+∠E， ∴B+∠DE=∠BD＋∠E，得证 1．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若B EF ∥ ，用含 、 、 的式子表示，应为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ，推出B D M EF ∥∥ ∥ ，根据平行线的性质得出 + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ，∠MF= ，求出∠BD=180°- ，∠DM= M= ∠ - ，即可得出答． 【详解】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ， B∥ EF 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 2．（2022·山东济宁·七年级阶段练习）如图所示，如果 B D ∥ ，则∠α、∠β、∠γ 之间的关系为（ ） ．∠α+ β+ γ ∠ ∠＝180° B．∠α－∠β+ γ ∠＝180° ．∠α+ β ∠－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 【答】 【分析】过E 作EF B ∥，由平行线的质可得EF D

相交线与平行线 模型（四）——铅笔头模型 ◎结论1：如图所示，B∥D，则∠B+∠B+∠=360° 【证明】如图，过点 作 E//B B∥D, E//B//D ∵ ∠B+∠1=180°,∠+∠2=180°, ∴ ∠B+∠1+∠2+∠=360° ∴ ，∴∠B＋∠B+∠=360° ◎结论2：如图所示，∠B+∠B+∠=360°，则B∥D ＝100°， 故选：． 【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键． 2．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若B EF ∥ ，用含 、 、 的式子表示，应为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ，推出B D M EF ∥∥ ∥ ，根据平行线的性质得出 + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ， ∴ + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ，∠MF= ， BD=180°- ∴∠ ，∠DM= M= ∠ - ， ∴= BD+ DM= ∠ ∠ ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 3．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3 的度数为( ) ．55° B．60° ．65°

相交线与平行线 模型（三）——猪蹄模型 ◎结论1：若B∥D，则∠B0=∠B+∠ 【证明】过点 作E//B，如图 ∵B∥D,∴E∥D, ∴∠B=∠1,∠=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠，即∠B=∠B＋∠ ◎结论2：若∠B=∠B+∠，则B∥D 【证明】过点 作E∥B，如图，则

相交线与平行线 模型（五）——锯齿模型 ◎结论 如图所示，B∥EF，则∠B＋∠D=∠十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点作M//B，过点D 作PQ//B ∵B//EF, ∴B//M// PQ//EF ∴∠B=∠B,∠DP=∠D,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠DP＋∠PDE=∠B+∠D+∠E， ∴B+∠DE=∠BD＋∠E，得证

相交线与平行线 模型（四）——铅笔头模型 ◎结论1：如图所示，B∥D，则∠B+∠B+∠=360° 【证明】如图，过点 作 E//B B∥D, E//B//D ∵ ∠B+∠1=180°,∠+∠2=180°, ∴ ∠B+∠1+∠2+∠=360° ∴ ，∴∠B＋∠B+∠=360° ◎结论2：如图所示，∠B+∠B+∠=360°，则B∥D ．55° B．60° ．65° D．70° 1．（2022·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1， ，则 ；②如图2， ，则 ；③如图3， ，则 ；④如图4，直线 EF，点 在直 线 上，则 ．以上结论正确的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 2．（2021·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果B D，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．

第5 章 相交线与平行线章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022·河北·威县第三中学七年级期末）下列选项中， 1 ∠和 2 ∠是对顶角的是 （ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个 角的反向延长线，逐项进行观察判断即可． ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； ②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题正确； ②过直线外一点，有且 ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误； ④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误． 1 故选：． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行公理等知识，正确把握相关定理是 解题关键． 3．（3 分）（2022·辽宁·丹东市第十七中学七年级期末）两条平行线被第三条直线所截， 一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（ ） ．20° B．80° ．100° D．120°

第五章 相交线与平行线压轴题考点训练 1．如图，//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3 的度数是( ) ．115° B．110° ．105° D．100° 2．①如图1，B D，则∠＋∠E＋∠＝180°；②如图2，B D，则∠E＝∠＋∠；③如图3，B D，则∠＋∠E－∠1＝180°；④如图4，B D，则∠＝∠＋∠P．以上结论正确的个数是( ) ．①②③④ B．①②③ ，依此类推，作 ， 的平分线相交于点 ，请直接写出 的度数． 11．平面内有直线B 和直线D，点E 是平面内任意一点，连接E、E，∠E＝60°． (1)若直线B∥D； 如图1，当点E 在两条平行线之间时，直接写出∠BE 与∠DE 的数量关系 ； 如图2，当点E 在两条平行线外部时，直接写出∠BE 与∠DE 的数量关系 ； (2)若直线B 与D 相交于点，且∠＝60°，如图3，当点E

线动型 【例1】如图，点 是菱形 的对角线 上的一个动点，过点 垂直于 的直线交菱形 的边于 、 两点．设 ， ， ， 的面积为 ，则 关于 的函数图象大致 形状是 ． B ． ． D． 【解答】解：（1）当 时，如图1， 在菱形 中， ， ， ，且 ； ， ； ， ， 即 ， ， ， ， 函数图象开口向下； （2）当 ，如图2， 同理证得， ， ， 即 ， 【解答】解：当点 在 上时， ， ， ， ； 当点 在 上时，如下图所示： ， ， ， ， ， ． ． 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下． 故选： ． 【变式训练2】在边长为 的正方形 中，对角线 与 相交于点 ， 是 上一动点，过 作 ，分别交正方形的两条边于点 ， ．设 ， 的面积为 ，则能反映 与 之间关 系的图象为 ． B． ， ， ， ， ， ； ②当 在 上时，即 ， ， ， ， 即 ， ， ， 这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知： 二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数． 当系数 时，抛物线开口向上；系数 时，开口向下． 根据题意可知符合题意的图象只有选项 ． 故选： ． 【变式训练3】如图，在 中， ， ，点 ， 分别为边 ， 上的点，且 ， ， ．动点

第5 章 相交线与平行线章末题型过关卷 【人版】 考试时间：60 分钟；满分：100 分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23 题，单选10 题，填空6 题，解答7 题，满分100 分，限时60 分钟，本卷题型 针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10 小题，满分30 分）（2022·天津市东丽中学七年级期末）下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； ②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 3．（3 分）（2022·辽宁·丹东市第十七中学七年级期末）两条平行线被第三条直线所截， 一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（ 分）（2022·浙江舟山·七年级期末）公元前240 年前后，在希腊的亚历山大城图书 馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？ 如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与 城和地心的连线OP所夹的锐角记为∠1，光线与B 城和地心的连线OQ重合，通过测量，B 两城间的路程（即弧B）和∠1 的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算 出来了．已知弧B