胡不归求最小值 内容导航 方法点拨 从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日 夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径--B（如图所示：是出发地，B 是目的地， 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍 告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归 的值最小． V2 V1 M N C B A ，记 ， 即求B+k 的最小值． 构造射线D 使得s∠D=k，/=k，=k． CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M 将问题转化为求B+最小值，过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值，即B+k 最 小． M N C B A α D H 在求形如“P 轴交于点，抛物线 的顶点为Q，连接B． （1）求直线B 的解析式； （2）点P 是直线B 上方抛物线上的一点，过点P 作PD⊥B 于点D，在直线B 上有一动点M，当 线段PD 最大时，求PM+ MB 最小值； 【解答】解：（1）令y＝0，﹣ x2+ x+2 ＝0，解得x＝﹣1 和4， ∴（﹣1，0），B（4，0）， 令x＝0，y＝2 ， ∴（0，2 ）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b，则有

阿氏圆求最小值 内容导航 方法点拨 点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平 面上两点 、B，则所有满 足 P=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希 腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 如图 1 所示，⊙ 的半径为 r，点 、B 都在⊙ P、PB，则当“P+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 如图2，在线段 B 上截取 使 =k·r，则可说 明△BP 与△P 相似，即 k·PB=P。故本题求 “P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值，其中与 与 为定点,P 为动点，故当 、 P、 三点共线时， “P+P”值最小。如图3 所示： 【破解策略详细步骤解析】 例题演练 例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x 为抛物线上横坐标等于﹣6 的点，点M 为线段B 的中点，点P 为直线B 下方抛物线上 的一动点．当△PM 的面积最大时，过点P 作P⊥y 轴于点，若在坐标平面内有一动点Q 满足PQ ＝ ，求Q+ Q 的最小值； 【解答】解：（1）∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4， ∴（﹣2，﹣4）； （2）如图1，过P 作P⊥x 轴交B 于，作PG⊥B 于G，过M 作MD⊥y 轴交y 轴于D， ∵点B 为抛物线上横坐标等于﹣6

费马点求最小值 内容导航 方法点拨 P Q E A B C Q P A B C E △P≌△QE，且△PQ 为等边三角形， ∴P=QE，P=PQ ∴P+BP+P=BP+PQ+QE 当B、P、Q、E 共线时，P+BP+P 和最小 例题演练 题组 1 ：费马点在三角形中运用 例1．如图，在△B 中，P 中，P 为平面内一点，连结P，PB，P，分别以P 和为一边向右作等边三角形 △PM 和△D． 【探究】求证：PM＝P，MD＝P 【应用】若B＝，＝b，∠B＝60°，则P+PB+P 的最小值是 （用，b 表示） 【解答】【探究】证明：∵以P 和为一边向右作等边三角形△PM 和△D， ∴PM＝P，＝D，P＝M，∠PM＝∠D＝60°， ∴∠P＝∠MD， 在△P 和△DM 共线时，P+PB+P 的值最小， 即P+PB+P 的最小值为： ； 故答为： ． 练11 问题提出 （1）如图①，在△B 中，B＝2，将△B 绕点B 顺时针旋转60°得到△′B′′，则′＝ ； 问题探究 （2）如图②，在△B 中，B＝B＝3，∠B＝30°，点P 为△B 内一点，连接P、PB、P，求P+PB+P 的最小值，并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在四边形BD

将军饮马求最值1--对称 内容导航 方法点拨 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： （一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P，使P+PB 最小； （1）点、B 在直线m 两侧： （2）点、B 在直线同侧： 、’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。 上方的抛物线上有一点P，过点P 作PQ 垂直于B 所在直线，垂足为Q，在 x 轴正半轴和y 轴正半轴上分别有两个动点M 和，连接P，M，MB，BP．当线段PQ 的长度最大 时，求四边形PMB 周长的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+与直线y＝mx+相交于点（1，8）和点B（5，4）． ∴ ， ， 解得 ， ， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+4，直线y 解析式为＝﹣x+9． PB， ∵PB 是定长，两点之间线段最短， ∴此时四边形PMB 周长最小． ∵P′（﹣3，10），B′（5，﹣4）， ∴P′B′＝ ＝2 ， ∵PB＝ ＝2 ， ∴四边形PMB 周长的最小值为2 +2 ． 练21 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+ x+3 ，分别交x 轴于、B 两点，交y 轴交于点，顶点为D． （1）如图1，连接D，R 是抛物线对称轴上的一点，当R⊥D

作DE∥交抛物线于点E，交y 轴于点P． （1）点F 是直线下方抛物线上点一动点，连DF 交于点G，连EG，当△EFG 的面积的最大值时， 直线DE 上有一动点M，直线上有一动点，满足M⊥，连GM，，求GM+M+的最小值； 【解答】解：（1）如图1 中，作F∥y 轴交DE 于．设F（m， m2+ m+2 ）． 由题意可知（﹣6，0），B（﹣2，0），（0，2 ）， ∵抛物线的对称轴x＝﹣4，，D 关于直线x＝﹣4 ． ∴GM+M+的最小值为4+ ． 练11 如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，顶点为D，连接B （1）点G 是直线B 上方抛物线上一动点（不与B、重合），过点G 作y 轴的平行线交直线B 于 点E，作GF⊥B 于点F，点M、是线段B 上两个动点，且M＝EF，连接DM、G．当△GEF 的周 长最大时，求DM+M+G 的最小值； 【解答】解：（ 的对称点D1（﹣1，2），过作D2∥D1M 且D2＝D1M ∴DM＝D1M＝D2，D2（﹣1+ ，2﹣ ）即D2（ ， ） ∴DM+M+G＝M+D2+G ∴当D2、、G 在同一直线上时，D2+G＝D2G 为最小值 ∵D2G＝ ∴DM+M+G 最小值为 练12 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3 与x 轴交于，B 两点（点在点B 的左侧）， 与y 轴交于点，对称轴为直线l，点D（﹣4，）在抛物线上． （1）求直线D

题型03 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及 f(a)+f(-a)解题技巧 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 知识迁移 在定义域内，若F (x )=f (x )+ A ，其中f (x ) 为奇函数，A 为常数，则最大值M ，最小值m 有 M +m=2 A 即M +m=2倍常数 （1）与指数函数相关的奇函数和偶函数 f ( x)=ax+a−x ，（ ，且 ）为偶函数， ）为其定义域上的奇函数 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数 的奇偶性，则最大值+最小值可秒解. 为偶函数 （2）与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（ 且 ）为奇函数， ，（ 且 + +1 的最大值、最小值，则 M +m=2 倍常数=2 例1-2．．（2023 上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数 ， 的最大值为M，最小值为m，则 . 【法一】M +m=2 倍常数=14 【法二】M +m=2f (0)=14 例1-3．（2023 上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数 ， ，记 的最 大值为 ，最小值为 ，则

题型03 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及 f(a)+f(-a)解题技巧 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 知识迁移 在定义域内，若F (x )=f (x )+ A ，其中f (x ) 为奇函数，A 为常数，则最大值M ，最小值m 有 M +m=2 A 即M +m=2倍常数 （1）与指数函数相关的奇函数和偶函数 f ( x)=ax+a−x ，（ ，且 ）为偶函数， ）为其定义域上的奇函数 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数 的奇偶性，则最大值+最小值可秒解. 为偶函数 （2）与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（ 且 ）为奇函数， ，（ 且 + +1 的最大值、最小值，则 M +m=2 倍常数=2 例1-2．．（2023 上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数 ， 的最大值为M，最小值为m，则 . 【法一】M +m=2 倍常数=14 【法二】M +m=2f (0)=14 例1-3．（2023 上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数 ， ，记 的最 大值为 ，最小值为 ，则

辅助圆 例题精讲 【例1】如图， 的圆心 的坐标为 ，半径为1，直线的表达式为 ， 是直线上的动点， 是 上的动点，则 的最小值是 ． B． ． D． 【解答】解：过点 作 直线，交圆 于 点，此时 的值最小，连接 、 ， 作 于 ， 于 ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， 设 ， ，则 ， ， ， ， ， 解得， ， 的半径为1， 轴分别交于 、 两点， 是以 为圆心， 为半径的 上一动点，连接 、 ，则 面积的最小值 是 ．30 B．29 ．28 D．27 【解答】解：过 作 于 ，连接 ，如图， 令 ，则 ，令 ，则 ， ， ， ， ， ， 则由三角形面积公式得， ， ， 圆 上点到直线 的最小距离是 ， 面积的最小值是 ． 故选： ． 【变式训练2】 如图，在 中， ， ， ，点 是 的三 等分点，半圆 与 相切， ， 分别是 与半圆弧上的动点，则 的最大值 与最小值之差是 ．5 B．6 ．7 D．8 【解答】解：如图，设 与 相切于点 ，连接 ，过点 作 垂足为 交 于 ， 此时垂线段 最短， 最小值为 ， ， ， ， ， ， 点 是 的三等分点， ， ， ， 与 相切于点 ， ， ， ， ， 最小值为 ， 如图，当 在 边上时， 与 重合时， 经过圆心，经过圆心的弦最长，

AC =k H D α A B C N M M N C B A α D H 1） ，记 ，即求B+k 的最小值 2）构造射线D 使得s∠D=k， ，=k,将问题转化为求B+最小值 3）过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值，即B+k 最小． 【解题关键】在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P+kPB”型问 ，P 为 边上的一个 动点（不与、重合），连接 ，则 的最小值是（ ） ． B． ． D．8 【答】B 【分析】以 为斜边在 下方作等腰直角 ，过B 作 于E，通过解直角三角形可得 的 长，再根据 ，可得 ，据此即可解答． 【详解】解：如图，以 为斜边在 下方作等腰直角 ，过B 作 于E，连接 ， ， ， ， ， ， 的最小值为 ．故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应 九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形 中， ，E，P 分别是边 和对角 线 上的动点，连接 ，记 ，若 ，则 的最小值为（ ） ．3 B．4 ．5 D． 【答】 【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质．过点P 作 于点，交 于点G，求得 ，根据垂线段最短，知当点E 与点G 重合时， 有最小值，据此求解即可． 【详解】解：过点P 作 于点，交 于点G， ∵四边形 是矩形，∴

位置选取、B 点，则需 R【技巧总结】计算 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似 三角形 问题：在圆上找一点P 使得 的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1 的线段两端点与圆心相连即P，B 模型介绍 ②计算出这两条线段的长度比 ③在B 上取一点，使得 ，即构造△PM BP ∽△ ，则 ， ④则 ，当、P、三点共线时可得最小值 【例1】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝4，＝6，⊙半径为2，P 为圆上一动点，连接 P，BP，则P+ BP 的最小值为________ 解：如图1，连接P，在B 上取点D，使D＝1，则有 ＝ ＝ ， 又∵∠PD＝∠BP， ∴△PD∽△BP， ∴ ＝ ， ∴PD＝ BP， ∴P+ BP＝P+PD． 要使P+ BP 最小，只要P+PD 最小，当点，P，D 在同一条直线时，P+PD 最小， 例题精讲 即：P+ BP 最小值为D， 在Rt△D 中，D＝1，＝6， 中，D＝1，＝6， ∴D＝ ＝ ， P+ BP 的最小值为 变式训练 【变式1-1】．如图，正方形BD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则PD+ P 的最小值等于 5 ． 解：如图，在B 上截取BE＝1，连接BP，PE， ∵正方形BD 的边长为4，⊙B 的半径为2， ∴B＝4＝D，BP＝2，E＝3 ∵ ，且∠PBE＝∠PBE ∴△PBE∽△BP ∴