题型15 等差数列、等比数列的性质 及其前n 项和解题技巧 技法01 等差数列的性质解题技巧 知识迁移 等差数列通项公式的性质 （1）若m+n=p+q⇔am+an=ap+aq ，或m+n=2 p⇔am+an=2ap （2）若{an}，{bn}为等差数列，则{an±bn}，{man±kbn}仍为等差数列 例1-1．（江西·高考真题）已知等差数列 ，若 ，则 . 根据等差数列的性质可得 根据等差数列的性质可得 ，解得 ， 技法01 等差数列的性质解题技巧 技法02 等差数列前n 项和的性质解题技巧 技法03 等比数列的性质解题技巧 技法04 等比数列前n 项和的性质解题技巧 等差数列通项公式的性质是等差数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. 所以 . 例1-2．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ 因为{an}，{bn}都是等差数列,所以 也成等差数列，根据等差数列的性质，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21, a5 ＋b5成等差数列，因而a5＋b5＝ . 1．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）数列 中， ， ，则 （ ） A．210 B．190 C．170 D．150 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义知公差为 ，然后利用求和公式结合等差数列通项性质求和即可； 【详解】由

题型15 等差数列、等比数列的性质 及其前n 项和解题技巧 技法01 等差数列的性质解题技巧 知识迁移 等差数列通项公式的性质 （1）若m+n=p+q⇔am+an=ap+aq ，或m+n=2 p⇔am+an=2ap （2）若{an}，{bn}为等差数列，则{an±bn}，{man±kbn}仍为等差数列 例1-1．（江西·高考真题）已知等差数列 ，若 ，则 . 根据等差数列的性质可得 根据等差数列的性质可得 ，解得 ， 技法01 等差数列的性质解题技巧 技法02 等差数列前n 项和的性质解题技巧 技法03 等比数列的性质解题技巧 技法04 等比数列前n 项和的性质解题技巧 等差数列通项公式的性质是等差数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉 知识点强化复习. 所以 . 例1-2．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ ． 因为{an}，{bn}都是等差数列,所以 也成等差数列，根据等差数列的性质，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21, a5 ＋b5成等差数列，因而a5＋b5＝ . 1．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）数列 中， ， ，则 （ ） A．210 B．190 C．170 D．150 2．（2024·河南郑州·统考一模）已知数列 为等差数列， ，则 （ ） A．19 B．22

题型18 4 类数列综合 （数列中不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合） 技法01 数列中不等式的证明 例1．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 的前n 项和为 ，且满足 ． (1)证明：数列 为等比数列； (2)若 ，数列 的前n 项和为 ，证明： ． 【详解】（1）由 得 ，则当 时，有 ， 技法01 数列中不等式的证明 技法02 数列中的不等式放缩 技法03 技法03 数列中的参数求解 技法04 数列与三角函数综合 数列不等式的证明是高中数学教学中极其重要的一部分，它不仅涉及到数学知识的综合运用，还要求学生 具备严谨的逻辑思维和灵活的解题技巧。难度中等偏上、需强加练习. 两式相减得 ， 整理得 ，即 ， 因此数列 是以 为公比的等比数列． （2）由（1）及 可得 ， 因此 ． 于是 ， 所以 ， 由于 ，所以 ， 故 ． 1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 为 ， 的等比中项. (1)求数列 的通项公式； (2)设 为数列 的前 项和，证明： . 【答案】(1) ， (2)证明见解析 【分析】（1）借助 与 的关系与等比中项的性质计算即可得； （2）借助裂项相消法可求得 ，结合函数的单调性即可得证. 【详解】（1）因为 ，所以 ，① 当 时， ，② ①－②得

题型18 4 类数列综合 （数列中不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合） 技法01 数列中不等式的证明 例1．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 的前n 项和为 ，且满足 ． (1)证明：数列 为等比数列； (2)若 ，数列 的前n 项和为 ，证明： ． 【详解】（1）由 得 ，则当 时，有 ， 两式相减得 ， 技法01 数列中不等式的证明 技法02 数列中的不等式放缩 数列中的不等式放缩 技法03 数列中的参数求解 技法04 数列与三角函数综合 数列不等式的证明是高中数学教学中极其重要的一部分，它不仅涉及到数学知识的综合运用，还要求学生 具备严谨的逻辑思维和灵活的解题技巧。难度中等偏上、需强加练习. 整理得 ，即 ， 因此数列 是以 为公比的等比数列． （2）由（1）及 可得 ， 因此 ． 于是 ， 所以 ， 由于 ，所以 ， 故 ． 1．（2 1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 为 ， 的等比中项. (1)求数列 的通项公式； (2)设 为数列 的前 项和，证明： . 2．（2023·全国·模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ，且 成等比数列． (1)求数列 的通项公式． (2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ． 3．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知 为数列 的前 项和， ， ，记 . (1)求数列 的通项公式；

2025 年小学低年级数字规律探索：数列与图形变化推理题 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 观察数列：2, 4, 6, 8, ? 下一个数字是？ A. 9 B. 10 C. 12 D. 14 2. ○ □ ○ □ ○ □ 图形变化规律： ? 下一个图形是？ A. ○ B. □ C. △ D. ◇ 3. 数列：3, 6, 9, 12, ? 下一个数字是？ 下一个图形是？ A. ▲ B. ▼ C. ● D. ★ 5. 数列：5, 10, 15, 20, ? 下一个数字是？ A. 22 B. 25 C. 30 D. 35 6. ● ○ ● ○ ● ○ 图形变化： ? 下一个图形是？ A. ● B. ○ C. ■ D. ◎ 7. 数列：1, 3, 5, 7, ? 下一个数字是？ A. 8 B. 9 B. △ C. ○ D. ◇ 9. 数列：10, 8, 6, 4, ? 下一个数字是？ A. 2 B. 3 C. 5 D. 0 10. ↑ → ↓ ← ↑ → ↓ ← 图形变化： ? 下一个箭头方向是？ A. ↑ B. → C. ↓ D. ← 二、多项选择题（每题2 分，共10 题） 11. 数列：1, 2, 4, 7, 11, ? 可能的规律是？（多选）

题型16 11 类数列通项公式构造解题技巧 技法01 用an与Sn关系求通项公式的解题技巧 知识迁移 an={ s1,n=1 sn−sn−1,n≥2 技法01 用an 与Sn关系求通项公式的解题技巧 技法02 已知an+1=an+f (n)用累加法求通项公式的解题技巧 技法03 已知an+1=an⋅f (n) 用累乘法求通项公式的解题技巧 技法04 已知an+1=pan+q an+1=q lg an+lg p 求通项公式的解题技巧 技法11 构造常数列求通项公式的解题技巧 用an 与Sn 关系求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们按公式解题即可. 例1．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和．已知 ． (1)证明： 是等差数列； (2)若 成等比数列，求 的最小值． （1）因为 ，即 ①， 当 时， ②， ① ②得， ②得， ， 即 ， 即 ，所以 ， 且 ， 所以 是以为公差的等差数列． 1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 且 . (1)求数列 的通项公式; (2)若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用 与 的关系得到 为等比数列求解即可; （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为 ， 当 时， ， 当 时，

题型16 11 类数列通项公式构造解题技巧 技法01 用an与Sn关系求通项公式的解题技巧 知识迁移 an={ s1,n=1 sn−sn−1,n≥2 技法01 用an 与Sn关系求通项公式的解题技巧 技法02 已知an+1=an+f (n)用累加法求通项公式的解题技巧 技法03 已知an+1=an⋅f (n) 用累乘法求通项公式的解题技巧 技法04 已知an+1=pan+q an+1=q lg an+lg p 求通项公式的解题技巧 技法11 构造常数列求通项公式的解题技巧 用an 与Sn 关系求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们按公式解题即可. 例1．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和．已知 ． (1)证明： 是等差数列； (2)若 成等比数列，求 的最小值． （1）因为 ，即 ①，当 时， ②， ① ②得， ，即 ， 所以 是以为公差的等差数列． 1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 且 . (1)求数列 的通项公式; (2)若 ，求数列 的前 项和 . 2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记 为数列 的前 项和，且 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 ． 3．（2023·广东·统考二模）记数列 的前n 项和为 ，已知 ，且满足

题型17 手把手教学答题模板之5 类数列求和 （分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中 的常考考点，需强加练习 （2） . 所以 的前 项和 . 1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，且 ， ， 是等 比数列 的前三项． (1)求 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前n 项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项 【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求； （2）由等比数列的定义和通项公式、等差数列的通项公式与求和公式，以及对数的运算性质可得所求和． 【详解】（1）由数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，可得 ． 又 ， ， 是等比数列 的前三项，可得 ， 即有 ，解得 或 ， 时， ，不能作为等比数列的项， 舍去， 所以 ； （2）由（1）可得等比数列 的前三项为1，2，4，则

题型17 手把手教学答题模板之5 类数列求和 （分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） （2） . 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中 的常考考点，需强加练习 所以 的前 项和 . 1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，且 ， ， 是等 比数列 的前三项． (1)求 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前n 项和 ． 2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列 为单调递增的等比数列，且 ， ， ． (1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 ． 3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ． (1)证明 是等比数列；(2)若 ，求 的前 项和 ． 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 知识迁移 常见的裂项技巧： 指数型 对数型 例2．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和，已知 是公差为 的等差数列． (1)求 的通项公式；

题型27 5 类概率统计大题综合解题技巧 （分布列与数字特征、二项分布、超几何及正态分布、统计案例综合、 概率与数列、概率与导数综合） 技法01 分布列与数字特征应用及解题技巧 知识迁移 1．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值xi(i＝1,2，…，n) 的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值 技法01 分布列与数字特征应用及解题技巧 技法02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧 技法03 统计案例综合的应用及解题技巧 技法04 概率与数列的应用及解题技巧 技法05 概率与导数的应用及解题技巧 分布列与数字特征是新高考卷的常考内容，难度中等，常在大题中考查，需重点复习. 的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b 为常数，则Y 外，其他场次比赛获胜的概率为 .记 为 队在总决赛中获胜的场数.求 的分布列与数学期望. 附： ，其中 . 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 技法04 概率与数列的应用及解题技巧 例4．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）一只LED 灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程 序控制每隔1 秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有