特殊平行四边形的综合问题 【典型例题】 1．（2021·广东·广州市第二中学南沙天元学校八年级期末）在正方形BD 中，点E 是D 边 上任意一点．连接E，过点B 作BF⊥E 于F．交D 于． (1)如图1，过点D 作DG⊥E 于G，求证：△FB≌△DG； (2)如图2，点E 为D 的中点，连接DF，求证：F+FE＝ DF； (3)如图3，B＝1，连接E，点P 为E 的中点，在点E 从点D ．四边形 是平行四边形 B．若 ，则四边形 不一定是矩形 ．若四边形 是菱形，则 是等腰三角形 D．若四边形 是正方形，则 是等腰直角三角形 【答】B 【解析】 【分析】 利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判 定进行依次推理，可求解． 【详解】 解： 点 ， ， 分别是 ， ， 的中点， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 故 正确； ， 是等腰三角形， 故 正确， 若四边形 是正方形，则 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 故 正确， 故选： ． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角 形的判定，熟练运用这些性质是解本题的关键． 3．（2022·重庆南开中学八年级开学考试）如图所示，在长方形 中， ，在 线段 上取一点 ，连接 、 ，将 沿 翻折，点 落在点

中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》 与平行四边形相关的压轴题（附答） 方法提炼： 1、特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下:（1）先假设结论成立；（2）设出点坐标， 求边长（类型一方法指导）；（3）建立关系式，并计算。若四边形的四个顶点位置已确定， 则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论。 2、 探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后， 的图形后， 利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符 合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各 顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论。 典例引领： 例：如图所示：已知抛物线y＝x2（≠0）与一次函数y＝kx+b 的图象相交于两点（﹣1，﹣ 1），B（2，﹣4），点P 是抛物线上不与，B （4）是否存在以P，Q，，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P， Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）根据待定系数法得出，k，b 的值； （2）观察函数图象，即可得出不等式的解集； （3）过点作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两者交于点，连接P．根据三角形 的面积公式解答即可； （4）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可． 解：（1）把（﹣1

平行四边形存在性问题 一、方法突破 考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分． 这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为： ， 可以理解为点B 移动到点，点移动到点D，移动路径完全相同． yD-yC xD-xC yA-yB xA-xB A B C D （2）对角线互相平分转化为： 为对角线时，结果可简记为： （各个点对应的横纵坐标相加） 以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有 一问：若坐标系中的4 个点、B、、D 满足“+=B+D”，则四边形BD 是否一定为平行四边 形？ 反例如下： A B C D M 之所以存在反例是因为“四边形BD 是平行四边形”与“、BD 中点是同一个点”并不是完 全等价的转化，故存在反例． 讨论： （1）四边形BD 是平行四边形：、BD 一定是对角线． （2）以、B、、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论． 【题型分类】 平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动 已知（1，2）B（5，3）（3，5），在坐标系内确定点D 使得以、B、、D 四个点为顶点的 四边形是平行四边形． A B C x y

14 因动点产生的平行四边形问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年济宁市中考第22 题 如图1，直线y＝－x＋4 交x 轴于点B，交y 轴于点，对称轴为直线 的抛物线经 过B、两点，交x 轴负半轴于点，P 为抛物线上一动点， 点P 的横坐标为m，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于 另一点M，作x 轴的垂线P，垂足为，直线M 交y 交y 轴于 点D． （1）求抛物线的解析式； （2）若0＜m＜ ，当m 为何值时，四边形DP 是 平行四边形？ （3）若m＜ ，设直线M 交直线B 于点E，是否 存在这样的m 值，使M＝2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由． 图1 例 2023 年岳阳市中考第24 题 已知抛物线Q1：y＝－x2＋bx＋与x 轴的另一个交点为F，当m＋≠0 时，是否存在四 边形FGE 是平行四边形，若存在，求此时顶点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 备用图 （23 自贡26）如图，抛物线 与x 轴交于(－3, 0)、B 两点，与y 轴交 于点． （1）求抛物线的解析式及B、两点的坐标； （2）以、B、、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标； （3）该抛物线

平行四边形中的周长和面积问题 题型一 平行四边形中的周长问题 1．如图，在 中， 于点 ， 交 于 的延长线于点 ， ， ， ，求 的度数和 周长． 【解答】解： 在 中， ， ， ， ， ， ， ； ， ， 故 ， 则 ， 解得： ， 故 ， 则 周长为： ． 2．如图，在 中， ， 是 边上的点， 交 于点 ， 交 于点 ，那么四边形 的周长是 10 于点 ， ，且 ，则 的周长为 8 ． 【解答】解： ， ， ， 则 ， ， 设 ，则 ， 在 中， 根据勾股定理可得， 同理可得 则平行四边形 的周长是 故答为8． 4．如图，平行四边形 的周长为20，对角线 、 交于点 ， 为 的中点， ，则 的周长为 ．5 B．8 ．10 D．12 【解答】解： 的周长为20， ，则 ． FD FB    10 BC CD   四边形 是平行四边形，对角线 ， 相交于点 ， ， ． 又 点 是 的中点， 是 的中位线， ， ， 的周长 ， 即 的周长为8． 故选： ． 5．如图，在平行四边形 中， 平分 交 边于点 ，若平行四边形 的周长是24， ，则 的长为 ．4 B．5 ．55 D．6 【解答】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 平分 ， ，

平行四边形 模型（三十一）——梯子模型 【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,P 为B 的中点。 ◎结论：线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q，当， Q，三点共线时，取得最大值。 【证明】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q=1 2 B 在 Rt△B 中，由勾股定理得

平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型 ◎结论1：如图，∠B=∠D=90°，D=D， 则①B+B=❑ √2BD，②S四边形ABCD=1 2BD2， ③BD 是角平分线 【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】 旋转 相等边的夹角 ⑴ DD 夹角90°,旋转90°, 延长B 至E，使E＝B

反比例函数中的平行四边形问题 1、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 的图象过等边三角形B 的顶点B，＝2，点在反 比例函数图象上，连接、． （1）求反比例函数解析式； （2）若四边形B 的面积为3 ，求点的坐标． 解：（1）作BD⊥于D，如图， ∵△B 为等边三角形， ∴D＝D＝ ＝1， ∴BD＝ D＝ ， ∴B（﹣1，﹣ ）， 把B（﹣1，﹣ ）代入y＝ 得k＝﹣1×（﹣ ∴反比例函数解析式为y＝ ； （2）设（t， ）， ∵四边形B 的面积为3 ， ∴ ×2× + ×2× ＝3 ，解得t＝ ， ∴点坐标为（ ，2 ）． 2、如图，在平面直角坐标系中，四边形BD 是平行四边形，点、B 在x 轴上，点、D 在第二象限，点M 是 B 中点．已知B＝6，D＝8，∠DB＝60°，点B 的坐标为（﹣6，0）． （1）求点D 和点M 的坐标； （2）如图①，将▱BD 沿着x 的中点，且PQ＝B′′， ∴ ，解得： ， ， 故点Q 的坐标为（4，2 ）或（12，2 ）； 综上，点Q 的坐标为：（12，﹣4 ）或（4，6 ）或（4，2 ）或（12，2 ）． 3、如图，四边形BD 是平行四边形，点（1，0），B（4，1），（4，4）．反比例函数y＝ （x＞0）的图 象经过点D，点P 是一次函数y＝kx+4 4 ﹣k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点． （1）求反比例函数的解析式；

平行四边形 模型（三十一）——梯子模型 【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,P 为B 的中点。 ◎结论：线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q，当， Q，三点共线时，取得最大值。 【证明】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q=1 2 B 在 Rt△B 中，由勾股定理得

平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型 ◎结论1：如图，∠B=∠D=90°，D=D， 则①B+B=❑ √2BD，②S四边形ABCD=1 2BD2， ③BD 是角平分线 【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相 等】 旋转相等边的夹角 ⑴ DD 夹角90°,旋转90°, 延长B 至E，使E＝B