模型32 平行四边形——对角互补模型-解析版

平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型 ◎结论1：如图，∠B=∠D=90°，D=D， 则①B+B=❑ √2BD，②S四边形ABCD=1 2BD2， ③BD 是角平分线 【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】 旋转 相等边的夹角 ⑴ DD 夹角90°,旋转90°, 延长B 至E，使E＝B,连接DE， ∠DB ∵ ＋∠DB＝180° ∠DE＋∠DB＝180° ∠DB ∴ ＝∠DE 在△DB 和△DE 中 D＝D,∠DB＝∠DE,B＝E △DB △DE ∴ ≌ BD ∴ ＝ED，∠1＝∠2 ∠1 ∵ ＋∠3＝90° ∠2 ∴ ＋∠3＝90° △BED ∴ 是等腰直角三角形 BE＝❑ √2BD,B＋E＝❑ √2BD，B＋B＝❑ √2BD ⑵ S四边形ABCD= S△ABD ＋S△BCD＝S△CED＋S△BCD＝S△BED＝1 2BD·DE 由⑴得，BD=DE，∴ S四边形ABCD＝1 2BD·DE＝1 2BD2 ⑶由⑴得，△BDE 是等腰直角三角形，∴∠DB=45º，∴BD 是角平分线 ◎结论2：如图，∠B=60º，∠D=120°，D=D， 则①B+B=❑ √3BD，②S四边形ABCD= ❑ √3 4 BD2，③BD 是角平分线 【证明】 ⑴ 满足对角互补，邻边相等 DD 夹角120°，旋转120° 延长B 至点E，使E＝B，连接DE ∠DB ∵ ＋∠DB＝180° ∠DE＋∠DB＝180° ∠DB ∴ ＝∠DE 在△DB 和△DE 中 D＝D,∠DB＝∠DE,B＝E △DB △DE ∴ ≌ BD ∴ ＝ED，∠1＝∠2 ∠1 ∵ ＋∠3＝120° ∠2 ∴ ＋∠3＝120° 过D 作DM⊥BE 于M， ∠BDM ∴ ＝60°，BM＝ME s60° ∴ ＝BM BD ∴BM BD ＝ ❑ √3 2 ∴2 BM BD ＝❑ √3，即BE＝❑ √3BD，∴B＋B＝❑ √3BD ⑵由⑴得DM= 1 2BD，BE=❑ √3BD S四边形ABCD＝S△ABD ＋S△BCD＝S△CED＋S△BCD＝S△BED＝1 2BE·DM ＝1 2·❑ √3BD· 1 2BD＝ ❑ √3 4 BD2 ⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120º， ∠B ∴ ＝∠E＝30º， ∴BD 是角平分线 补充：图形如果是下图这样，结论会稍有不同 【结论】∠B=120º，∠DE＝60º，平分∠B，D、E 在、B 上， 则， ①D=E D+E= ② ①在B 上取一点F，连结F，使△F 为等边三角形， ∠FE ∵ ＋∠E＝∠D＋E＝∠DE＝60° ∠FE ∴ ＝∠D △F ∵ 为等边三角形 ∠FE ∴ ＝∠D，且F＝， 易证△D △EF ≌ D ∴＝E ②∵△D △EF ≌ D ∴＝EF， D ∴＋E＝E＋EF＝F D ∴＋E＝ ◎结论3：如图，∠B=α，∠D=180º－α，D=D， 则①B+B=2BDcos 1 2 α，②S四边形ABCD= ❑ √3 4 BD2，③BD 是角平分线 ①【证明】满足对角互补，邻边相等 D,D 夹角180－,旋转180－ 延长B 至点E，使E＝B，连接DE ∠DB ∵ ＋∠DB＝180° ∠DE＋∠DB＝180° ∠DB ∴ ＝∠DE 在△DB 和△DE 中 D＝D,∠DB＝∠DE,B＝E △DB △DE ∴ ≌ BD ∴ ＝ED，∠1＝∠2 ∠1 ∵ ＋∠3＝180－ ∠2 ∴ ＋∠3＝180－ （把图形抽离出来） 过D 作DM⊥BE 于M， ∠BDM ∴ ＝90°－1 2， ∠DBM ∴ ＝1 2，BE＝2BM，s1 2＝BM BD 2s ∴ 1 2＝2BM BD ＝BE BD BE＝2BDs1 2 B ∴＋B＝2BD S1 2 ②【证明】由上可知△DB≌△DE， 所以△DB 的面积＝△DE 的面积 ∴S四边形ABCD＝S△BDE （把图形抽离出来） 由①过程可知BE＝2BDs1 2 DM＝BD s1 2 ∴S△BDE＝1 2BE DM＝2BDs1 2 BD s1 2＝ ❑ √3 4 BD2 ∴S四边形ABCD＝ ❑ √3 4 BD2 ③∵BD＝ED ∠E ∴ ＝∠DBE △DB △DE ∵ ≌ ∠BD ∴ ＝∠E ∠BD ∴ ＝∠DBE BD ∴ 为角平分线。 1．（2021·全国·八年级专题练习）如图， 为等边三角形，以 为边向外作 ，使 ，再 以点为旋转中心把 旋转到 ，则给出下列结论：①D，，E 三点共线；② 平分 ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】D 【分析】①设∠1=x 度，把∠2=（60-x）度，∠DB= 4= ∠ （x+60）度，∠3=60°加起来等于180 度，即可证明D、、E 三点共线； ②根据△BD 绕着点按顺时针方向旋转60°得到△E，判断出△DE 为等边三角形，求出∠BD=∠E=60°，∠D=120°- 60°=60°，可知D 平分∠BD； ③由②可知，∠B=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠B． ④由旋转可知E=BD，又∠DE=180°，DE=E+D．而△DE 为等边三角形，D=DE=DB+B． 【详解】解：如图， ①设∠1=x 度，则∠2=（60-x）度，∠DB=（x+60）度，故∠4=（x+60）度， 2+ 3+ 4=60- ∴∠ ∠ ∠ x+60+x+60=180 度， ∴D、、E 三点共线；故①正确； ②∵△BD 绕着点按顺时针方向旋转60°得到△E， ∴D=E，∠DE=60°， ∴△DE 为等边三角形， ∴∠E=60°， ∴∠BD=∠E=60°， ∴∠D=120°-60°=60°， ∴D 平分∠BD；故②正确； ③∵∠B=60°， ∠E=60°， ∴∠E=∠B．故③正确； ④由旋转可知E=BD， 又∵∠DE=180°， ∴DE=E+D． ∵△DE 为等边三角形， ∴D=DB+D．故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量． 2．（2021·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形 中， 于 ，则 的长为__________ 【答】 【分析】过点B 作 交D 的延长线交于点F，证明 ≌ 推出 ， ，可 得 ，由此即可解决问题； 【详解】解：过点B 作 交D 的延长线交于点F，如右图所示， ∵ ， ， ∴ ≌ ， ， ， 即 ， ， 故答为 ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属 于中考常考题型． 1．（2019·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xy 中，,B 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且=B， 点在第一象限，=3，连接B，，若∠B=90°，则B+的值为_________． 【答】 【分析】可将△B 绕着点顺时针旋转90°，所得的图形与△正好拼成等腰直角三角形B+等于等腰三角形的斜边D 【详解】解： 将△B 绕点旋转90°， B= ∵ ∴点B 落在处，点落在D 处 且有D==3，∠D=90°，∠D= B ∠， 在四边形B 中 B= B=90° ∵∠ ∠ ， B+ =180° ∴∠ ∠ ， D+ =180° ∴∠ ∠ ∴、、D 三点在同一条直线上， D ∴△ 为等要直角三角形，根据勾股定理 D2=2+D2 即D2=32+32=18 解得D= 即B+= 【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等要求两条线段的长，可利用作图的方法 将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一 定要证明、、D 三点在同一条直线上本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答一定可考虑B y ⊥轴的情况，此时 四边形B 刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果 2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，四边形BD 中，已知B＝D，∠BD＝60°，∠BD＝120°，若四边形BD 的面 积为4 ，则＝_____． 【答】4． 【分析】将△D 绕点顺时针旋转60°，得到△BE．证明△E 是等边三角形，四边形BD 面积等于△E 面积，根据等边△E 面积特征可求解长． 【详解】解：将△D 绕点顺时针旋转60°，得到△BE． ∵四边形内角和360°， D+ B ∴∠ ∠＝180°． BE+ B ∴∠ ∠＝180°， E ∴、B、三点共线． 根据旋转性质可知∠E＝60 度，E＝， E ∴△ 是等边三角形． 四边形BD 面积等于△E 面积， 等边△E 面积 ， 解得＝4． 故答为4． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质，解题的关键是根据B=D 及∠BD=60°，对△D 进 行旋转，把四边形转化为等边三角形求解． 3．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究 （（1）如图①，已知∠=45°，∠B=30°，∠D=40°，则∠BD 的大小为___________； （2）如图②，在四边形BD 中，B=B，∠B=∠D=90°，对角线BD=6．求四边形BD 的面积；小明这样来计算．延长 D，使得E=D，连接BE，通过证明△BD≌△BE，从而可以计算四边形BD 的面积．请你将小明的方法完善．并计算 四边形BD 的面积； 问题解决 （3）如图③，四边形BD 是正在建设的城市花，其中B=B，∠B=60°，∠D=30°，D=40 米，D=30 米．请计算出对 角线BD 的长度． 【答】（1）115°；（2）S 四边形BD=18；（3）对角线BD 的长度为 米． 【分析】（1）利用外角的性质可求解； （2）延长D，使得E=D，连接BE，通过证明△BD≌△BE，从而可以计算四边形BD 的面积； （2）将△BD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BF，连接FD，由旋转的性质可得BF=BD，F=D=40，∠BD=∠BF，由 三角形内角和定理可求∠FD=90°，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长B 交D 于E， ∵∠BD=∠BED+∠D，∠BED= + ∠∠B， ∴∠BD= + ∠∠B +∠D =45°+30°+40°=115°， 故答为：115°； （2）延长D，使得E=D，连接BE， 在四边形BD 中，∠B=∠D=90°， + ∴∠∠BD=180°， ∵∠BE+∠BD=180°， = ∴∠∠BE， 在△BD 和△BE 中， ， ∴△BD≌△BE， ∴BE=BD，∠BD=∠BE，S△BD=S△BE， ∵∠B=90°，即∠BD+∠DB=90°， ∴∠BE+∠DB=90°，即∠DBE=90°， ∵BD=BE=6，∠DBE=90°， ∴S△BDE= ×BE×BD=18， ∴S△BDE=S△BE+S△DB=S△BD+S△DB=S 四边形BD=18； （4）如图，将△BD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BF，连接FD， ∴△BD≌△BF，∠FBD=60°， ∴BF=BD，F=D=40，∠BD=∠BF， ∴△BFD 是等边三角形， ∴BF=BD=DF， ∵∠D=30°， ∴∠DB+∠BD=30°， ∴∠BF+∠DB=30°， ∵∠FBD+∠BF+∠BD+∠FD+∠DF=180°， 60°+30°+ ∴ ∠FD+∠DF=180°， ∴∠FD+∠DF=90°， ∴∠FD=90°， ∴DF= ， ∴BD= (米)． 答：对角线BD 的长度为 米． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加 辅助线构造全等三角形是本题的关键． 1．（2012·黑龙江黑河·中考真题）Rt B △ 中，B=，点D 为B 中点．∠MD=90°，∠MD 绕点D 旋转，DM、D 分别与 边B、交于E、F 两点．下列结论 (BE+F)= ① B，② ，③ D·EF，④D≥EF，⑤D 与EF 可能互相平分， 其中正确结论的个数是【 】 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【详解】解: Rt B ∵ △ 中，B=，点D 为B 中点．∠MD=90°， D =D ∴ ，∠ED= =45° ∠ ，∠ED= MD ∠ －∠D =90°－∠D= FD ∠ ． ED FD ∴△ △ ≌ （S）． E=F ∴ ． BE+F= BE+ E=B ∴ ． 在Rt B △ 中，根据勾股定理，得B= B． (BE+F)= ∴ B． ∴结论①正确． 设B==，E=b，则F=BE= －b． ∴ ． ∴ ． ∴结论②正确． 如图，过点E 作E D ⊥ 于点，过点F 作FG D ⊥ 于点G，过点F 作F B ⊥ 于点，DEF 相交于点． ∵四边形GDF 是矩形，△E 和△GF 是等腰直角三角形， E≥E ∴ （EF D ⊥ 时取等于）=F=GD， F≥G（EF D ⊥ 时取等于）=G． EF=E ∴ ＋F≥GD＋G=D． ∴结论④错误． ED FD ∵△ ≌△ ， ∴ ． ∴结论③错误． 又当EF 是Rt B △ 中位线时，根据三角形中位线定理知D 与EF 互相平分． ∴结论⑤正确． 综上所述，结论①②⑤正确．故选． 2．（2019·江苏常州·一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”． （1）如图①，四边形BD 为对直角四边形，∠B=90°，若B2-D2=4，求D2-B2的值； （2）如图②，四边形BD 中，∠B=90°，B=B，若BD 平分∠D，求证：四边形BD 为对直角四边形； （3）在（2）的条件下，如图③，连结，若 ，求t D ∠ 的值． 【答】⑴ 4；⑵见解析 ；⑶t D ∠ 的值为3 或 ． 【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题； （2）如图②中，作BE D ⊥ 于E，BF D ⊥ 交D 的延长线于F．只要证明∠EBF=90°即可解决问题； （3）如图③中，设D=x，BD=y．根据 ，构建方程即可解决问题 【详解】解：如图①中， ∵四边形BD 为对直角四边形，∠B=90°， D= B=90° ∴∠ ∠ ， ∴2=B2+B2=D2+D2， D ∴ 2-B2=B2-D2=4． （2）证明：如图②中，作BE D ⊥ 于E，BF D ⊥ 交D 的延长线于F． BD ∵ 平分∠D，BE D ⊥，BF D ⊥， BE=BF ∴ ， BF= BE=90° ∵∠ ∠ ，B=B，BF=BE， Rt ∴ △BF Rt ≌ △BE（L）， BF= BE ∴∠ ∠ ， EBF= B=90° ∴∠ ∠ ， D=360°-90°-90°-90°=90° ∴ ， B= D=90° ∵∠ ∠ ， ∴四边形BD 为对直角四边形． （3）解：如图③中，设D=x，BD=y． D=90° ∵∠ ， t D= ∴∠ ，= ， B= ∵ ，∠B=90°， B=B= ∴ • ， ∵ ， ∴ ， 整理得：3x2-10xy+3y2， 3 ∴（ ）2-10• +3=0， ∴ =3 或 ． t D ∴∠ 的值为3 或 ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质 定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题， 属于中考压轴题．