14 平行四边形中的周长和面积问题

平行四边形中的周长和面积问题 题型一 平行四边形中的周长问题 1．如图，在 中， 于点 ， 交 于 的延长线于点 ， ， ， ，求 的度数和 周长． 【解答】解： 在 中， ， ， ， ， ， ， ； ， ， 故 ， 则 ， 解得： ， 故 ， 则 周长为： ． 2．如图，在 中， ， 是 边上的点， 交 于点 ， 交 于点 ，那么四边形 的周长是 10 ． 【解答】解： ， ， 由 ，得 ， ABCD  AE BC  E AF CD  DC DC F 3 AB cm  7 AF cm  30 EAF    B  ABCD   ABCD  AF CD  BA AF   90 BAF    30 EAF     60 BAE    AE BC   30 B    3 AB cm   1.5 AE cm   AE BC AF CD    1.5 7 3 BC   14 BC  14 AD cm  ABCD  (14 3) 2 34( ) cm   ABC  5 AB AC   D BC / / DE AB AC E / / DF AC AB F AFDE 5 AB AC    B C   / / DF AC FDB C B    ， 同理，得 ． 四边形 的周长 ． 故答为10． 3 ．如图，在 中， 于点 ， 于点 ， ，且 ，则 的周长为 8 ． 【解答】解： ， ， ， 则 ， ， 设 ，则 ， 在 中， 根据勾股定理可得， 同理可得 则平行四边形 的周长是 故答为8． 4．如图，平行四边形 的周长为20，对角线 、 交于点 ， 为 的中点， ，则 的周长为 ．5 B．8 ．10 D．12 【解答】解： 的周长为20， ，则 ． FD FB   DE EC   AFDE AF AE FD DE     AF FB AE EC     AB AC   5 5 10   ABCD  AE BC  E AF CD  F 45 EAF    2 2 AE AF   ABCD  45 EAF     360 135 C AEC AFC EAF        180 45 B D C       AE BE  AF DF  AE x  2 2 AF x   Rt ABE  2 AB x  2(2 2 ) AD x   ABCD 2( ) 2[ 2 2(2 2 )] 8 AB AD x x      ABCD AC BD O E CD 6 BD  DOE  ( ) ABCD  2( ) 20 BC CD    10 BC CD   四边形 是平行四边形，对角线 ， 相交于点 ， ， ． 又 点 是 的中点， 是 的中位线， ， ， 的周长 ， 即 的周长为8． 故选： ． 5．如图，在平行四边形 中， 平分 交 边于点 ，若平行四边形 的周长是24， ，则 的长为 ．4 B．5 ．55 D．6 【解答】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ①， 平行四边形 的周长是24， ②， ① ②得： ， ，  ABCD AC BD O 6 BD  1 3 2 OD OB BD      E CD OE  BCD  1 2 DE CD  1 2 OE BC   DOE  1 1 ( ) 5 3 8 2 2 OD OE DE BD BC CD         DOE  B ABCD AE BAD  BC E ABCD 2 EC  AB ( )  ABCD / / AD BC  AB CD  AD BC  DAE AEB   AE  DAB  DAE EAB   AEB EAB   BE AB   BC BE EC    2 BC AB     ABCD 12 AB BC     2 14 BC  7 BC   ， 故选： ． 6．如图，四边形 中，点 ， 分别在边 ， 上，线段 与 交于点 且 互相平分，若 ， ，则四边形 的周长是 ．16 B．20 ．22 D．26 【解答】解：线段 与 交于点 且互相平分，得 ， ， 又 ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 四 边 形 的 周 长 ； 故选： ． 7．如图，平行四边形 的周长为 ， ， 相交于点 ， 交 于 点 ，则 的周长为 ． B． ． D． 【解答】解： 的周长为 ， ， ， ， ， 5 AB   B ABCD E F AD BC EF AC O 10 AD BC   6 EF AB   EFCD ( ) EF AC O OA OC  OE OF  AOE COF    ( ) AOE COF ASA   EAO FCO   / / AD BC  AD BC    ABCD CD AB    CDEF 6 6 10 22 CD DE EF CF CD AB DE AE CD AB AD               C ABCD 32cm AC BD O OE AC  AD E DCE  ( ) 8cm 24cm 10cm 16cm ABCD  32cm 16 AD CD cm    OA OC  OE AC   AE CE   的周长为： ． 故选： ． 8．如图， 中， 于点 ， 于点 ，若 ， ， ，则 的周长为 ．20 B．24 ．26 D．28 【解答】解： ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， 在 中， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 解得： ， ， ， 平行四边形 周长 ． 故选： ． 9．如图， 的周长为19，点 ， 在边 上， 的平分线垂直于 ，垂足为 ， 的平分线垂直于 ，垂足为 ，若 ，则 的长度为 ． DCE  16 CD DE CE CD DE AE CD AD cm         D ABCD  AE BC  E AF CD  F 60 EAF    1 CF  4 CE  ABCD  ( ) AE BC   AF CD  60 EAF    360 90 90 60 120 C         ABCD / / AB CD  / / AD BC 180 60 B D C        Rt BAE  30 BAE    2 AB BE   BE x  2 AB CD x   4 BC BE CE x    3 AE x  2 1 DF CD CF x       Rt ADF  30 DAF    2 4 2 AD DF x     BC AD   4 2 4 x x    2 x  4 AB CD    6 BC AD    ABCD 2 (4 6) 20    A ABC  D E BC ABC  AE N ACB  AD M 7 BC  MN 5 2 【解答】解： 平分 ， ， ， ， 在 和 中， ． ， ， 是等腰三角形， 同理 是等腰三角形， 点 是 中点，点 是 中点（三线合一）， 是 的中位线， ， ， ． 故答是： ． 10．在平行四边形 中， 边上的高为4， ， ，则平行四边形 周长等于 20 或 12 ． 【解答】解：①如图1 所示： 在 中， 边上的高为4， ， ， ， ， ， BN  ABC  BN AE  NBA NBE   BNA BNE   BNA  BNE  ABN EBN BN BN ANB ENB          ( ) BNA BNE ASA   BA BE   BAE  CAD   N AE M AD MN  ADE  19 19 7 12 BE CD AB AC BC          5 DE BE CD BC      1 5 2 2 MN DE    5 2 ABCD BC 5 AB  2 5 AC  ABCD  ABCD  BC 5 AB  2 5 AC  2 2 2 EC AC AE     5 AB CD   2 2 3 BE AB AE    ， 的周长等于：20， ②如图2 所示： 在 中， 边上的高为4， ， ， ， ， ， ， 的周长等于： ， 则 的周长等于20 或12， 故答为：20 或12． 11．在平行四边形 中， 的平分线分对边 为3 和4 两部分，求平行四边形的周 长． 【解答】解：在平行四边形 中， ，则 ． 平分 ， ， ， ， ， ①当 ， 时， 平行四边形 的周长为： ． ②当 ， 时， 平行四边形 的周长为： ． 综上所述，平行四边形的周长是20 或22． 题型二 平行四边形中的面积问题 12．如图，在平行四边形 中， ， 为对角线， ， 边上的高为4，则 5 AD BC    ABCD    ABCD  BC 5 AB  2 5 AC  2 2 2 EC AC AE     5 AB CD   2 2 3 BE AB AE    3 2 1 BC    ABCD   1 1 5 5 12    ABCD  ABCD A  BC ABCD / / AD BC DAE AEB   AE  BAD  BAE DAE   BAE BEA   AB BE   BC BE EC   3 BE  4 EC  ABCD 2( ) 2(3 3 4) 20 AB AD      4 BE  3 EC  ABCD 2( ) 2(4 4 3) 22 AB AD      ABCD AC BD 6 BC  BC 图中阴影部分的面积为 ．3 B．6 ．12 D．24 【解答】解：通过观察结合平行四边形性质得： ． 故选： ． 13．如图，在平行四边形 中， ， ， 与 交于点 ，分成的 4 个小平行四边形的面积分别为 ， ， ， ，若 ， ， ，则 24 ． 【解答】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．如图，在 中， ， ， ，过 的中点 作 ， 垂足为点 ，与 的延长线相交于点 ，则 的面积是 ( ) 1 6 4 12 2 S  阴影 C ABCD / / AB EF / / AD GH EF GH O 1 S 2 S 3 S 4 S 1 8 S  2 10 S  3 30 S  4 S   ABCD / / AB EF / / AD GH / / / / AB EF CD  / / / / AD GH BC  1 2 S EO S OF  4 3 S EO S OF   1 4 2 3 S S S S   4 8 10 30 S  4 24 S  ABCD  3 AB  4 AD  60 ABC    BC E EF AB  F DC H DEF  ( ) ． B． ． D． 【解答】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， 为 中点， ， ， ， ， ， 由勾股定理得： ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ． 故选： ． 2 3 4 3 3 3  6 2 3   ABCD 4 AD BC    / / AB CD 3 AB CD   E  BC 2 BE CE    60 B     EF AB  30 FEB    1 BF   3 EF  / / AB CD  B ECH   BFE  CHE  B ECH BE CE BEF CEH          ( ) BFE CHE ASA   3 EF EH    1 CH BF   1 4 3 2 DHF S DH FH      1 2 3 2 DEF DHF S S      A 15．如图，在平行四边形 中，点 ， ， ， 和 ， ， ， 分别是 的五等分点，点 ， 和 ， 分别是 和 的三等分点，已知四边形 的面积为2，则平行四边形 的面积为 ．4 B． ． D．30 【解答】解：设平行四边形 的面积是，设 ， ． 边上的高是 边上的高是 ． 则 ．即 ． △ 与△ 全等， ， 边上的高是 ． 则△ 与△ 的面积是 ． 同理△ 与△ 的面积是 ． 则四边形 的面积是 ， 即 ， 解得 ． 解法2：如图所示： 设 ， 则 ， ， ， ， ， 即 ， 解得： ， 平行四边形 的面积 ； ABCD 1 A 2 A 3 A 4 A 1 C 2 C 3 C 4 C ABCD 1 B 2 B 1 D 2 D BC DA 4 2 4 2 A B C D ABCD ( ) 3 10 10 3 ABCD s 5 AB a  3 BC b  AB 3x BC 5y 5 3 3 5 s a x b y     15 s ax by   4 2 AA D 2 4 B CC 2 1 3 B C BC b   2 B C 4 5 4 5 y y   4 2 AA D 2 4 B CC 2 2 15 by s  2 4 D C D 4 2 A BB 15 s 4 2 4 2 A B C D 2 2 3 15 15 15 15 5 s s s s s s      3 2 5 s  10 3 s  4 2 A BB S a   2 4 2 B C P S a   4 2 C D Q S a   2 4 2 D A M S a   4 2 A B N S a   2 2 3 2 a a a a a       9 2 a  2 9 a   ABCD 2 10 9 2 2 15 15 9 3 a a a a a a         故选： ． 16．如图， 是平行四边形 内一点，且 ， ，则阴影部分的面积为 3 ． 【解答】解： ， ， 则 ， ， ， ． 故答为：3． 17．如图，在 中，点 、 分别在 和 上，依次连接 、 、 、 ， 阴影部分面积分别为 ， ， ， ，已知 ， ， ，则 的值是 ．8 B．14 ．16 D．22 【解答】解：设平行四边形的面积为 ，则 ， 由图形可知， 面积 面积 平行四边形 的面积， ， C P ABCD 5 PAB S  2 PAD S  1 2 PAB PCD ABCD ACD S S S S         ACD PCD PAB S S S       PAC ACD PCD PAD S S S S        PAB PAD S S     5 2  3  ABCD  E F AD AB EB EC FC FD 1 S 2 S 3 S 4 S 1 3 S  2 15 S  3 4 S  4 S ( ) S 1 2 CBE CDF S S S     CDF  CBE  1 4 3 2 ( ) S S S S      ABCD 4 3 4 15 CBE CDF S S S S          即 ， 解得 ， 故选： ． 18．如图，在边长为1 的正方形格中，平行四边形 的顶点在格点上，平行四边形 的顶点 、 在边 上，且 ， ， 交 于点 ，则 为 ．7 平方单位 B．8 平方单位 ．14 平方单位 D．无法确定 【解答】解： 四边形 是平行四边形， （平方单位）， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， （平方单位）， 故选： ． 19．如图，平行四边形 中，对角线 、 交于点 ， ， ， 4 1 1 3 4 15 2 2 S S S S       4 8 S  A ABCD EFGH E F CD / / AD EH AD EH  AG CD O S阴影 ( )  ABCD 7 2 14 ABCD S   平行四边形  EFGH EH GF   / / EH GF / / AD EH  AD EH  / / AD GF  AD GF  DAO FGO   AOD  GOF  DAO FGO AOD GOF AD GF          ( ) AOD GOF AAS   AOD GOF S S     1 7 2 ADC ABCD S S S      阴影 平行四边形 A ABCD AC BD E 90 CBD    4 BC  10 AC  ( ) ，则这个平行四边形面积为 ．24 B．40 ．20 D．12 【解答】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 则这个平行四边形面积为 ， 故选： ． 20．如图， 中， ， ， ， 是对角线 上任一点（点 不 与点 、 重合），且 交 于 ， 交 于 ，则阴影部分的面积为 ．5 B． ．10 D． 【解答】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 10 AC  ( )  ABCD 10 AC  1 5 2 AE CE AC    