103 与平行四边形相关的压轴题

中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》 与平行四边形相关的压轴题（附答） 方法提炼： 1、特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下:（1）先假设结论成立；（2）设出点坐标， 求边长（类型一方法指导）；（3）建立关系式，并计算。若四边形的四个顶点位置已确定， 则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论。 2、 探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后， 利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符 合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各 顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论。 典例引领： 例：如图所示：已知抛物线y＝x2（≠0）与一次函数y＝kx+b 的图象相交于两点（﹣1，﹣ 1），B（2，﹣4），点P 是抛物线上不与，B 重合的一个动点，点Q 是y 轴上的一个动 点． （1）求，k，b 的值． （2）直接写出关于x 的不等式x2＜kx﹣2 的解集； （3）当点P 在直线B 上方时，请求出△PB 面积的最大值并求出此时点P 的坐标； （4）是否存在以P，Q，，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P， Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）根据待定系数法得出，k，b 的值； （2）观察函数图象，即可得出不等式的解集； （3）过点作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两者交于点，连接P．根据三角形 的面积公式解答即可； （4）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可． 解：（1）把（﹣1，﹣1），代入y＝x2中，可得：＝﹣1， 把（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b 中，可得： ，解得 ， ∴＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2； （2）观察函数图象可知，关于x 的不等式x2＜kx﹣2 的解集是x＜﹣1 或x＞2； （3）过点作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两者交于点， ∵（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， ∴（﹣1，﹣4），＝B＝3， 设点P 的横坐标为m，则点P 的纵坐标为﹣m2． 过点P 作PD⊥于D，作PE⊥B 于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4）， ∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4． ∴S△PB＝S△P+S△BP﹣S△B， ＝ וPD+ ×B•PE﹣ ×B•， ＝ ×3×（m+1） ×3×（﹣m2+4）﹣ ×3×3， ＝﹣ m2+ m+3． ∵﹣ ＜0，m＝﹣ ＝ ， 而﹣1＜m＜2， ∴当m＝ 时，S△PB的最大值为 ，此时点P 的坐标为（ ，﹣ ）； （4）存在三组符合条件的点． 当以P，Q，，B 为顶点的四边形是平行四边形时， ∵P＝BQ，Q＝BP，（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， 可得坐标如下： ①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式， 解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）； ②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式， 解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）； ③P 的横坐标为1，代入二次函数表达式， 解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）． 故：P、Q 的坐标分别为（﹣3，﹣9）、（0，﹣12）或（3，﹣9）、（0，﹣6）或 （1，﹣1）、（0，﹣4）． 点评：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会 利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度， 从而求出线段之间的关系． 跟踪训练： 1．已知，如图，抛物线y＝x2+bx+（≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点（﹣ 3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点． （1）求抛物线的解析式和直线B 的解析式． （2）在抛物线上、M 两点之间的部分（不包含、M 两点），是否存在点D，使得S△D＝ 2S△DM？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四 边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标． 2．如图①抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m 与直线y＝kx+k 交于点、B，其中点在x 轴上，它 们与y 轴交点分别为和D，P 为抛物线的顶点，且点P 纵坐标为4，抛物线的对称轴交 直线于点Q． （1）试用含k 的代数式表示点Q、点B 的坐标． （2）连接P，若四边形DQP 的内部（包括边界和顶点）只有4 个横坐标、纵坐标均为 整数的点，求k 的取值范围． （3）如图②，四边形DQP 为平行四边形时， ①求k 的值； ②E、F 为线段DB 上的点（含端点），横坐标分别为，+（为正整数），EG∥y 轴交抛物 线于点G．问是否存在正整数，使满足t∠EGF＝ 的点E 有两个？若存在，求出；若不 存在说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x 的顶点为点 （1）求点的坐标； （2）点B 为抛物线上横坐标等于﹣6 的点，点M 为线段B 的中点，点P 为直线B 下方 抛物线上的一动点．当△PM 的面积最大时，过点P 作P⊥y 轴于点，若在坐标平面内有 一动点Q 满足PQ＝ ，求Q+ Q 的最小值； （3）当（2）中Q+ Q 取得最小值时，直线Q 与抛物线另一交点为点E，作点E 关于 抛物线对称轴的对称点E’．点R 是抛物线对称轴上的一点，在x 轴上是否存在点S，使 得以、E′、R、S 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出S 点的坐标；若不 存在，请说明理由． 4．综合与探究： 如图，抛物线y＝ x2﹣ x﹣2，与x 轴交于，B 两点（点在点B 的左侧），与y 轴交于 点抛物线的对称轴为l． （1）求点，B，的坐标； （2）若点D 是第一象限内抛物线上一点，过点D 作DE⊥x 轴于点E，交直线B 于点 F，当E＝4DF 时，求四边形DBF 的面积； （3）在（2）的条件下，若点M 在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点 B，D，M，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐 标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2先向右平移1 个单位长度，再向下平移4 个单位长度，得到抛物线y＝（x﹣）2+k，所得抛物线与x 轴交于、B 两点（点在点B 的 左边），与y 轴交于点，顶点为M． （1）写出、k 的值及点、B 的坐标； （2）判断△BM 的形状，并计算其面积； （3）点P 是抛物线上的一动点，在y 轴上存在点Q，使以点、B、P、Q 为顶点组成的 四边形是平行四边形，求点P 的坐标． 6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+与一直线相交于（﹣1，0），（2，3）两点，与y 轴交 于点，其顶点为D． （1）求抛物线及直线的函数关系式； （2）若P 是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P 的横坐标为t； ①当S△P＝S△时，求点P 的坐标； ②是否存在点P，使得△P 是以为斜边的直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存 在，请说明理由； （3）若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E 为直线上的任意一点，过点E 作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写 出点E 的坐标；若不能，请说明理由． 7．如图，抛物线y＝ 与x 轴分别交于、B 两点（点在点B 的左侧，）与y 轴交 于点，作直线． （1）点B 的坐标为 ，直线的关系式为 ． （2）设在直线下方的抛物线上有一动点P，过点P 作PD⊥x 轴于D，交直线于点E，当 E 平分∠EP 时求点P 的坐标． （3）点M 在x 轴上，点在抛物线上，试问以点、、M、为顶点的四边形能否成为平行 四边形？若存在，直接写出所有点M 的坐标；若不存在，请简述你的理由． 8．如图，直线y＝﹣ x+2 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，抛物线y＝﹣ +bx+经过， B 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 在抛物线上，点Q 在直线B 上，当P，Q 关于原点成中心对称时，求点Q 的 坐标； （3）点M 为直线B 上的动点，点为抛物线上的动点，当以点、B、M、为顶点的四边形 是平行四边形时，请直接写出点M 的坐标． 9．如图，已知直线y＝﹣ x+2 与两坐标轴分别交于、B 两点，抛物线y＝﹣ x2+bx+经过 点、B，点P 为直线B 上的一个动点，过P 作y 轴的平行线与抛物线交于点，抛物线与x 轴另一个交点为D． （1）求图中抛物线的解析式； （2）当点P 在线段B 上运动时，求线段P 的长度的最大值； （3）在直线B 上是否存在点P，使得以、、P、为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+与两坐标轴分别交于点、B、，直线y ＝﹣ x+4 经过点B，与y 轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）已知点在对称轴上，且+D 的值最小．求点的坐标． （3）在（2）的条件下，若点E 与点关于对称轴对称，请你画出△EM 并求它的面积． （4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以、B、、P 为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线过（1，0）、B（﹣3，0），（0，﹣3）三点，直线D 交抛物线于点 D，点D 的横坐标为﹣2，点P（m，）是线段D 上的动点，过点P 的直线垂直于x 轴， 交抛物线于点Q． （1）求直线D 及抛物线的解析式； （2）求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？ （3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R 为顶点的四 边形是平行四边形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，说明理由． 12．如图所示，抛物线y＝x2+bx+经过点（2，﹣3）与（0，﹣3），与x 轴负半轴的交点为 B． （1）求抛物线的解析式与点B 坐标； （2）若点D 在x 轴上，使△BD 是等腰三角形，求所有满足条件的点D 的坐标； （3）点M 在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，若以、B、M、为顶点的四边形是平行 四边形，其中B∥M，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标． 参考答 1．分析：（1）二次函数表达式为：y＝（x﹣1）2+9，即可求解； （2）S△D＝2S△DM，则S△D＝ D（x﹣x）＝ （﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝ （9﹣ 1）（1﹣x）×2，即可求解； （3）分M 是平行四边形的一条边、M 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 解：（1）二次函数表达式为：y＝（x﹣1）2+9， 将点的坐标代入上式并解得：＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①， 则点B（3，5）， 将点、B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线B 的表达式为：y＝2x﹣1； （2）存在，理由： 二次函数对称轴为：x＝1，则点（1，1）， 过点D 作y 轴的平行线交B 于点， 设点D（x，﹣x2+2x+8），点（x，2x﹣1）， ∵S△D＝2S△DM， 则S△D＝ D（x﹣x）＝ （﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝ （9﹣1）（1﹣x）×2， 解得：x＝﹣1 或5（舍去5）， 故点D（﹣1，5）； （3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8， ①当M 是平行四边形的一条边时， 点M 向左平移4 个单位向下平移16 个单位得到， 同理，点Q（m，0）向左平移4 个单位向下平移16 个单位为（m﹣4，﹣16），即为点 P， 即：m﹣4＝s，﹣16＝t，而t＝﹣s2+2s+8， 解得：s＝6 或﹣4， 故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）； ②当M 是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8， 解得：s＝1 ， 故点P（1 ，2）或（1﹣ ，2）； 综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1 ，2）或（1﹣ ，2）． 点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面 积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 2．分析：（1）由图可知，抛物线对称轴在y 轴右侧，顶点P 纵坐标为4，用顶点坐标公式 即列得关于m 的不等式和方程，求解即得到m 的值，进而得到抛物线解析式．把顶点P 的横坐标代入直线y＝kx+k 即得到用k 表示点Q 的坐标．令抛物线解析式为0，解方程 求得点坐标．把直线与抛物线解析式联立方程组并整理得关于x 的一元二次方程，利用 韦达定理得x+xB的值，把x 代入即求得点B 横坐标进而求得B 的纵坐标． （2）由（1）得（0，3），P（1，4），即四边形DQP 的内部（包括边界和顶点）有2 个满足横坐标、纵坐标均为整数的点P、，另外两个满足的点应该是M（0，2）、 （1，3），由图象可知此时点D 在线段MS 上（不与S（0，1）重合），点Q 在线段R 上（不与点R（1，2）重合）．因为D（0，k），Q（1，2k），即列得关于k 的不等式 组，求解即得到k 的取值范围． （3）①求直线P 解析式，由四边形DQP 为平行四边形可得DQ∥P，即直线y＝kx+k 的k 与直线P 解析式的一次项系数相等，求得k＝1． ②过点F 作F⊥⊥EG 于点，则Rt△FG 中，t∠EGF＝ ，即G＝2F．由点E、F 横 坐标分别为，+，可用含、的式子表示F、G 的长，代入G＝2F，得到关于的一元二次 方程（为常数）．因为满足t∠EGF＝ 的点E 有两个，即关于的方程有两个不相等的实 数根，由△＞0 求得的取值范围小于0，故不存在满足条件的正整数． 解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m 的顶点P 纵坐标为4 ∴ ＝4 解得：m1＝3，m2＝﹣5 ∵抛物线对称轴在y 轴右侧 ∴﹣ ＞0 解得：m＞1 ∴m＝3 ∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，顶点P（1，4） ∵直线y＝kx+k 与对称轴交于点Q ∴Q（1，2k） ∵y＝﹣x2+2x+3＝0 时，解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴（﹣1，0） ∵ 整理得：x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0 ∴x+xB＝﹣（k﹣2） ∴xB＝﹣（k﹣2）﹣x＝﹣（k﹣2）﹣（﹣1）＝﹣k+3 ∴yB＝k•xB+k＝﹣k2+4k ∴B（﹣k+3，﹣k2+4k） （2）∵（0，3），P（1，4），D（0，k），Q（1，2k） ∴当四边形DQP 的内部（包括边界和顶点）只有4 个横坐标、纵坐标均为整数的点时， 4 个点是、P、M（0，2）、（1，3）（如图1） ∴点D 在线段MS 上（不与S（0，1）重合），点Q 在线段R 上（不与点R（1，2）重 合） ∴ 解得：1＜k≤ （3）①∵（0，3），P（1，4） ∴直线P 解析式为y＝x+3 ∵四边形DQP 为平行四边形 ∴DQ∥P，即直线y＝kx+k 平行直线P ∴k＝1 ②不存在满足条件的正整数． 如图2，过点F 作F⊥EG 于点 ∴∠FE＝∠FG＝90° ∵k＝1 ∴直线B：y＝x+1 ∵点E 在线段DB 上横坐标为，EG∥y 轴交抛物线于点G ∴E（，+1），G（，﹣2+2+3） ∵点F 在线段DB 上横坐标为+ ∴F＝xF﹣xE＝，F（+，++1） ∴G＝yG﹣yF＝﹣2+2+3﹣（++1）＝﹣2++2﹣ ∵Rt△FG 中，t∠EGF＝ ∴G＝2F ∴﹣2++2﹣＝2，整理得：2﹣+3﹣2＝0 ∵满足t∠EGF＝ 的点E 有两个， ∴关于的方程2﹣+3﹣2＝0 有两个不相等的实数根 ∴△＝1﹣4（3﹣2）＞0 解得：0＜＜ ∴不存在正整数，使满足t∠EGF＝ 的点E 有两个 点评：本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的解法及根与系数的关系，一 元一次不等式的解法，一次函数的图象与性质，三角函数的应用．第（2）题的解题关 键是先确定满足条件的4 个点中包含、P，把另外两个横、纵坐标均为整数的点确定下 来，再根据直线的位置确定k 的取值范围． 3．分析：（1）配方法将抛物线解析式化为顶点式即可； （2）待定系数法求直线B 解析式为y＝﹣2x，设P（m，m2+4m），则（m，﹣2m），P ＝﹣2m﹣（m2+4m）＝﹣m2﹣6m，由△PG∽△MD 可得 PG•M＝P•MD＝3（﹣m2﹣6m） ＝﹣3m2﹣18m，从而得：S△PM＝ PG•M＝ ﹣9m＝﹣ （m+3）2+ ，求得P （﹣3，﹣3），在P 上取点T，使得PT＝ ，连接QT，T，由△QPT∽△PQ 可得TQ＝ Q，进而可求得Q+ Q 的最小值为 ； （3）先根据Q+ Q 取得最小值时，点、Q、T 三点共线，求得T（ ，﹣3），待定系 数法求得直线Q 解析式为y＝ x，解方程组可求得点E 的坐标，进而可求得E′的坐标， 根据以、E′、R、S 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情形：①R 为对角线，②S 为 对角线，③E′为对角线，分别求出对应的点S 坐标即可． 解：（1）∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4， ∴（﹣2，﹣4）； （2）如图1，过P 作P⊥x 轴交B 于，作PG⊥B 于G，过M 作MD⊥y 轴交y 轴于D， ∵点B 为抛物线上横坐标等于﹣6 的点，∴B（﹣6，12）， ∴直线B 解析式为y＝﹣2x 设P（m，m2+4m），则（m，﹣2m），P＝﹣2m﹣（m2+4m）＝﹣m2﹣6m ∵点M 为线段B 的中点，∴M（﹣3，6），∴MD＝3 ∵P∥y 轴 ∴∠PG＝∠MD ∵PG⊥B MD⊥y 轴 ∴∠PG＝∠MD ∴△PG∽△MD ∴ ＝ ，即 PG•M＝P•MD＝3（﹣m2﹣6m）＝﹣3m2﹣18m， ∴S△PM＝ PG•M＝ ﹣9m＝﹣ （m+3）2+ ∵﹣ ＜0，∴当m＝﹣3 时，S△PM的值最大，此时P（﹣3，﹣3）， 在P 上取点T，使得PT＝ ，连接QT，T， ∵P＝3，PQ＝ ∴ ＝ ＝ ∵∠QPT＝∠PQ ∴△QPT∽△PQ ∴ ＝ ＝ ，即TQ＝ Q， ∴Q+ Q＝Q+TQ≥T ∵T＝ ＝ ＝ ∴Q+ Q 的最小值为 ； （3）∵当（2）中Q+ Q 取得最小值时，点、Q、T 三点共线，T（ ，﹣3） ∴直线Q 解析式为y＝ x， 解方程组 得 ， ∴E（ ， ），∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2， ∴E′（﹣ ， ）， 以、E′、R、S 为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情形： ①R 为对角线，∵E′RS 是平行四边形 ∴S∥E′R，S＝E′R＝ ，∴S1 （ ，0） ②S 为对角线，∵E′RS 是平行四边形 ∴E′∥RS，R（﹣2， ），∴S2（ ，0） ③E′为对角线，∵E′RS 是平行四边形 ∴S∥E′R，S＝E′R＝ ，∴S3（ ，0）， 综上所述，点S 的坐标为：S1 （ ，0），S2（ ，0），S3（ ，0）． 点评：本题考查二次函数性质，用待定系数法求一次函数的解析式，图形的平移和对称， 一