模型31 平行四边形——梯子模型-解析版

平行四边形 模型（三十一）——梯子模型 【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,P 为B 的中点。 ◎结论：线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q，当， Q，三点共线时，取得最大值。 【证明】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q=1 2 B 在 Rt△B 中，由勾股定理得 Q= ❑ √QB 2+CB 2 ＝❑ √( 1 2 AB) 2 +CB 2 若要取得最大值，则 ，Q，三点共线，即 =Q+Q，即 =1 2 B+❑ √( 1 2 AB) 2 +CB 2。 1．（2022·河南·开封市第十三中学八年级期中）如图， ，矩形 在 的内部， 顶点 ， 分别在射线 ， 上， ， ，则点 到点 的最大距离是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】取B 的中点E，连接E、DE、D，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当、E、D 三点共线时，点 D 到点的距离最大，再根据勾股定理求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出E 的长，两 者相加即可得解． 【详解】取 中点 ，连接 、 、 ， ， ． 在 中，利用勾股定理可得 ． 在 中，根据三角形三边关系可知 ， 当 、 、 三点共线时， 最大为 ． 故选 ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股 定理，根据三角形的三边关系判断出点、E、D 三点共线时，点D 到点的距离最大是解题的关键． 2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝1，＝4，点在y 轴上，点在x 轴上，则点在 移动过程中，B 的最大值是_____． 【答】2+ 【分析】取的中点P，连接P，BP，B，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到P 的长．在Rt△BP 中，由 勾股定理得到BP 的长．在△BP 中，根据三角形三边关系定理得到B≤P+BP，当、P、B 三点共线时取等号，从而得 到B 的最大值． 【详解】取的中点P，连接P，BP，B，则P= =2．在Rt△BP 中，BP= ． 在△BP 中，B≤P+BP，当、P、B 三点共线时取等号，∴B 的最大值为 ． 故答为 ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的斜边的一半和勾股定理．解题的关键是构造三角形PB． 1．（2022·广东·陆河县水唇中学八年级阶段练习）一架梯子长25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4 米到 ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答】(1)这个梯子的顶端距地面有24 米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8 米 【分析】（1）=25 米，B=7 米，根据勾股定理即可求得 的长； （2）由题意得： =20 米，根据勾股定理求得 ，根据 即可求解． （1） 解：由题意得：=25 米，B=7 米，∠B=90°， （米） 答：这个梯子的顶端距地面有24 米； （2） 由题意得： =20 米， （米） 则： =15-7=8（米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8 米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 2．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示，线段 的两端在坐标轴上滑动， ，B 的中点为Q，连 接 ，求证：，Q，三点共线时， 取得最大值． 【答】见解析 【分析】根据三角形三边关系和勾股定理判定即可； 【详解】如图． 在 中， ， ∴ ． 在 中，由勾股定理得 ． ∵ ， ∴当，Q，三点共线， 取得最大值， ，即 ； 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 1．（2015·江苏徐州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点落在第二象限．其斜边两 端点、B 分别落在x 轴、y 轴上且B＝12m （1）若B＝6m． ①求点的坐标； ②若点向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点与点的距离的最大值是多少m． 【答】（1）①点的坐标为（－3 ，9）；②滑动的距离为6（ ﹣1）m；（2）最大值12m． 【分析】（1）①过点作y 轴的垂线，垂足为D，根据30°的直角三角形的性质解答即可； ②设点向右滑动的距离为x，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可； （2）设点的坐标为（x，y），过作E⊥x 轴，D⊥y 轴，垂足分别为E，D，证得△E∽△BD，利用相似三角形的性质 解答即可． 【详解】解：（1）①过点作y 轴的垂线，垂足为D，如图1： 在Rt△B 中，B=12，B=6，则s∠B= ∴∠B=30°，∠B=60°， 又∵在Rt△B 中，∠B=60°， ∴∠BD=60°，∠BD=30°，B=B·s30°=6 ∴BD=B·s30°=3，D=B·s30°=3 ， ∴D=B+BD=9 ∴点的坐标为（﹣3 ，9）； ②设点向右滑动的距离为x，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x，如图2： =12×s∠B=12×s30°=6 ． '=6 ∴ ﹣x，B'=6+x，'B'=B=12 在△' B'中，由勾股定理得， （6 ﹣x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（ ﹣1）， ∴滑动的距离为6（ ﹣1）； （2）设点的坐标为（x，y），过作E⊥x 轴，D⊥y 轴，垂足分别为E，D，如图3： 则E=﹣x，D=y， ∵∠E+∠BE=90°，∠DB+∠BE=90°， ∴∠E=∠DB， 又∵∠E=∠BD=90°， ∴△E∽△BD， ∴ ，即 ， ∴y=﹣ x， 2=x2+y2=x2+（﹣ x）2=4x2， ∴当|x|取最大值时，即到y 轴距离最大时，2有最大值，即取最大值， 如图，即当'B'旋转到与y 轴垂直时．此时|x|=6，= ， 故点与点的距离的最大值是12m． 考点：相似三角形综合题． 2．在一次消防演习中，消防员架起一架25 米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙20 米，如图． （1）求这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升5 米（云梯长度不变），那么云梯底部在水平方向应滑动多少米？ 【答】（1）15 米；（2）5 米． 【分析】（1）利用勾股定理可得 ，再代入数计算即可； （2）根据题意表示出E 长，再在直角△EDB 中利用勾股定理计算出BD 长，进而可得D 长． 【详解】解：（1）由题意得： 米， 米， 则 （米）， 即这个梯子的顶端距离地面15 米， （2）由题意得： 米， 米， 则 （米）， 因为 米， 所以 米， 即云梯的底部在水平方向应滑动5 米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理得应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问 题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．