平行模型解决二次函数中的面积问题 【模型展示】 初中数学中考压轴题有一种常考的类型，二次函数最大面积问题。常用的方法有平行法、铅垂高法、 矩形覆盖法等。本文主要说明一下平行法，一般都是平移定底找最大高，形成与二次函数图像只有一个交 点。然后利用一次函数与二次函数图像只有一个交点，联立出一元二次方程解根的判别式等于零，进而求 出一次函数解析式，交点坐标可求。最大高一般都是空中有高平移至与坐标轴交点处，构成直角三角形， 得抛物线与x 轴的交点坐标为(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1． （2）△D 与△B 有公共的底边，当△D 的面积等于△B 的面积时，点B、D 到直线的距离相等． 过点B 作的平行线交抛物线的对称轴于点D，在的另一侧有对应的点D′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G，与交于点． 由BD//，得∠DBG＝∠．所以 ． 所以 ，点D 的坐标为 ． 因为//BD，G＝BG，所以G＝DG． 可以写出来．点E 的纵坐标为定值是算出来的． 2．在计算的过程中，第（1）题的结论 及其变形 反复用到． 3．注意到点E、D、F 到x 轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F 作D 的平行线 与x 轴的交点，就是要求的点G． 满分解答 （1）将(0,－3)代入y＝(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3m2．因此 ． （2）由y＝(x2－2mx－3m2)＝(x＋m)(x－3m)

相交线与平行线 模型（三）——猪蹄模型 ◎结论1：若B∥D，则∠B0=∠B+∠ 【证明】过点 作E//B，如图 ∵B∥D,∴E∥D, ∴∠B=∠1,∠=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠，即∠B=∠B＋∠ ◎结论2：若∠B=∠B+∠，则B∥D 【证明】过点 作E∥B，如图，则 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】①过点E 作直线 ，由平行线的性质即可得出结论；②过点E 作直线 ，由平行线的性质即 可得出结论；③过点E 作直线 ，由平行线的性质可得出∠+∠E- 1=180° ∠ ；④先过点P 作直线 ， 再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断． 【详解】解：①过点E 作直线 ， ∵ ，∴ ， ∠＋∠1＝180°，∠2＋∠＝180°， 故选：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．（2022·江苏·苏州工业区景城学校七年级阶段练习）如图，B DE，B⊥D，则以下说法中正确的是（ ） ．α，β 的角度数之和为定值B．α，β 的角度数之积为定值．β 随α 增大而增大D．β 随α 增大而减小 【答】 【分析】过点作F B，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过点作F

相交线与平行线 模型（五）——锯齿模型 ◎结论 如图所示，B∥EF，则∠B＋∠D=∠十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点作M//B，过点D 作PQ//B ∵B//EF, ∴B//M// PQ//EF ∴∠B=∠B,∠DP=∠D,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠DP＋∠PDE=∠B+∠D+∠E， ∴B+∠DE=∠BD＋∠E，得证 1．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若B EF ∥ ，用含 、 、 的式子表示，应为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ，推出B D M EF ∥∥ ∥ ，根据平行线的性质得出 + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ，∠MF= ，求出∠BD=180°- ，∠DM= M= ∠ - ，即可得出答． 【详解】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ， B∥ 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 2．（2022·山东济宁·七年级阶段练习）如图所示，如果 B D ∥ ，则∠α、∠β、∠γ 之间的关系为（ ） ．∠α+ β+ γ ∠ ∠＝180° B．∠α－∠β+ γ ∠＝180° ．∠α+ β ∠－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 【答】 【分析】过E 作EF B ∥，由平行线的质可得EF D

特殊平行四边形的综合问题 【典型例题】 1．（2021·广东·广州市第二中学南沙天元学校八年级期末）在正方形BD 中，点E 是D 边 上任意一点．连接E，过点B 作BF⊥E 于F．交D 于． (1)如图1，过点D 作DG⊥E 于G，求证：△FB≌△DG； (2)如图2，点E 为D 的中点，连接DF，求证：F+FE＝ DF； (3)如图3，B＝1，连接E，点P 为E 的中点，在点E 从点D ．四边形 是平行四边形 B．若 ，则四边形 不一定是矩形 ．若四边形 是菱形，则 是等腰三角形 D．若四边形 是正方形，则 是等腰直角三角形 【答】B 【解析】 【分析】 利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判 定进行依次推理，可求解． 【详解】 解： 点 ， ， 分别是 ， ， 的中点， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 故 ， ， 是等腰三角形， 故 正确， 若四边形 是正方形，则 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 故 正确， 故选： ． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角 形的判定，熟练运用这些性质是解本题的关键． 3．（2022·重庆南开中学八年级开学考试）如图所示，在长方形 中， ，在 线段 上取一点 ，连接 、 ，将 沿 翻折，点

专题51 平行线的判定【九大题型】 【人版】 【题型1 对顶角的识别及其性质】.........................................................................................................................1 【题型2 平行、垂直】...................... ............ 5 【题型3 平行公理及其推论】.................................................................................................................................8 【题型4 同位角相等，两直线平行】..................... ............11 【题型5 内错角相等，两直线平行】...................................................................................................................13 【题型6 同旁内角互补，两直线平行】..............................

P1+∠P3+∠P5+…+∠P2+1 故答为：∠+∠B+∠P2+…+P2＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2+1 【模型辨析】 ①注意：拐角为左右依次排列 ②若出现不是依次排列的，应进行拆分 模型介绍 大 招 平行线拐点之 猪蹄、锯齿、铅笔模 型 模型二：铅笔模型 【模型结论】 如图1：B∥D，则∠1+∠2＝ 180°； 如图2：B∥D，则∠1+∠2+∠3＝360°； 如图3：B∥D，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 【证明】在图1 中，∵B∥D，∴∠1+∠2＝180°； 在图2 中，过E 作B 的平行线EF，∵B∥D，∴EF∥D， ∴∠1+∠EF＝180° ∠ ， 3+∠EF＝180° ∴∠ ， 1+∠2+∠3＝360°； 在图3 中，过E 作B 的平行线E，过点F 作B 的平行线FM， ∵B∥D ∴ ，E∥D∥FM ∴∠ ， 1+∠FM＝180° ∠ ， MFE+∠FE＝180°， MFE+∠FE＝180°， ∠E+∠4＝180° ∴∠ ， 1+∠2+∠3＝540°； 在图4 中，过各角的顶点依次作B 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规 律可得∠1+∠2+∠3+…+∠＝（﹣1）180°． 【模型辨析】 ①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分 考点一：猪蹄模型 【例1】．如图，直线B∥D，∠＝44°，∠E 为直角，则∠1 等于（ ）

相交线与平行线 模型（四）——铅笔头模型 ◎结论1：如图所示，B∥D，则∠B+∠B+∠=360° 【证明】如图，过点 作 E//B B∥D, E//B//D ∵ ∠B+∠1=180°,∠+∠2=180°, ∴ ∠B+∠1+∠2+∠=360° ∴ ，∴∠B＋∠B+∠=360° ◎结论2：如图所示，∠B+∠B+∠=360°，则B∥D B．120° ．100° D．140° 【答】 【分析】过E 作直线M//B，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条 直线的两直线平行可得M//D，根据平行线性质从而求出∠． 【详解】解：过E 作直线M//B，如下图所示， ∵M//B， + 1 ∴∠∠＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 1 ∴∠＝180°∠＝180° 140° ﹣ ＝40°， ∵ ∵ ， ∴ ∵M//B，B//D， ∴M//D， + 2 ∴∠∠＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠＝180° 2 ﹣∠＝180° 80° ﹣ ＝100°， 故选：． 【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键． 2．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若B EF ∥ ，用含 、 、 的式子表示，应为（ ） ． B． ． D．

相交线与平行线 模型（三）——猪蹄模型 ◎结论1：若B∥D，则∠B0=∠B+∠ 【证明】过点 作E//B，如图 ∵B∥D,∴E∥D, ∴∠B=∠1,∠=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠，即∠B=∠B＋∠ ◎结论2：若∠B=∠B+∠，则B∥D 【证明】过点 作E∥B，如图，则

相交线与平行线 模型（五）——锯齿模型 ◎结论 如图所示，B∥EF，则∠B＋∠D=∠十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点作M//B，过点D 作PQ//B ∵B//EF, ∴B//M// PQ//EF ∴∠B=∠B,∠DP=∠D,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠DP＋∠PDE=∠B+∠D+∠E， ∴B+∠DE=∠BD＋∠E，得证

中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》 与平行四边形相关的压轴题（附答） 方法提炼： 1、特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下:（1）先假设结论成立；（2）设出点坐标， 求边长（类型一方法指导）；（3）建立关系式，并计算。若四边形的四个顶点位置已确定， 则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论。 2、 探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后， 条件的图形后， 利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符 合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各 顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论。 典例引领： 例：如图所示：已知抛物线y＝x2（≠0）与一次函数y＝kx+b 的图象相交于两点（﹣1，﹣ 1），B（2，﹣4），点P 是抛物线上不与，B 的坐标； （4）是否存在以P，Q，，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P， Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）根据待定系数法得出，k，b 的值； （2）观察函数图象，即可得出不等式的解集； （3）过点作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两者交于点，连接P．根据三角形 的面积公式解答即可； （4）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可． 解：（1）把（﹣