专题07 平方差与完全平方公式压轴题的四种考法 类型一、平方差公式逆运算 例1．计算： ． 【答】 【分析】首先将原式乘以 ，利用平方差公式求解，即可求得 ，继 而求得答． 【详解】 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，本题技巧性较强，所用到的方法是代数式的凑项 变形，即根据待求式的结构，通过适当的拆、并、凑等手段，将其转化成所需要的形式． 根据本题的特征，尝试将原式的系数1 根据本题的特征，尝试将原式的系数1 变形为 ，从而可应用平方差公式将原式变 形为 ，为解决问题创造了良好的条件． 例2．计算： = ． 【答】1 【分析】根据平方差公式可以使本题解答比较简便 【详解】解： = = = =1 【点睛】本题应根据数字特点，灵活运用运算定律会或运算技巧，灵活简算 【变式训练1】计算： ． 【答】 【分析】利用平方差公式将 变形为 ，通过相邻的项约分化简即可求解． ，通过相邻的项约分化简即可求解． 【详解】解： 故答为： ． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将 变形为 ． 【变式训练2】．若＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则－2022 的末位 数字是 ． 【答】4 【分析】将 乘以（2－1），然后用平方差公式计算，再用列举法找出 的个位数的规律， 推出的个位数，再代入式子计算即可．

专题07 平方差与完全平方公式压轴题的四种考法 类型一、平方差公式逆运算 例1．计算： ． 例2．计算： = ． 【变式训练1】计算： ． 【变式训练2】．若＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则－2022 的末位 数字是 ． 【变式训练3】阅读：在计算 的过程中，我们可以先从简 单的、特

2025 年六升七数学衔接期整式乘法平方差公式应用试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是： (A) (2x + 3)(2x - 3) (B) (2x + 3)(3x + 2) (C) (x + 1)(x + 1) (D) (x - 2)(x - 2) 2. 计算(m + 5)(m - 5) 的结果是： (A) 9a² - 16b² (B) 9a² - 12ab + 16b² (C) 9a² + 16b² (D) 9a² - 12ab - 16b² 4. 计算102 × 98 时，利用平方差公式计算最简便，可以变形为： (A) (100 + 2)(100 - 2) (B) (100 + 2)(98) (C) (102)(100 - 2) (D) (100)(98 + 2) (A) -5x² + 5y² (B) -5x² - 5y² (C) -5x² + 13y² (D) 5x² - 5y² 二、多项选择题（每题2 分，共10 题） 11. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的有： (A) (p + q)(p - q) (B) (2m - n)(2m + n) (C) (a² + b)(a² - b) (D) (x - y)(y - x) 12.

2025 年六升七数学衔接期整式乘法特殊公式（平方差）入门试卷及 答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 计算\((7+3)(7-3)\) 的结果是（） A. 40 B. 49 C. 9 D. 58 2. 下列算式中，能用平方差公式计算的是（） A. \((x+2)^2\) B. \((x-2)(x+2)\) C. \((x+2)(x+3)\) 11. 下列能用平方差公式计算的有（） A. \((a+b)(a-b)\) B. \((-a+b)(-a-b)\) C. \((a-b)(b-a)\) D. \ ((a+b)(b+a)\) 12. 关于\((3x-5y)(3x+5y)\) ，正确的是（） A. 结果是\(9x^2 - 25y^2\) B. 可用平方差公式 C. 的有（） A. \((a-b)^2\) B. \((a+b)(a-b)\) C. \((-b+a)(-b-a)\) D. \ ((b+a)(b-a)\) 15. 关于平方差公式，错误的有（） A. 适用于任意两数和乘差B. 结果总是两项 C. 公式中字母只能代表数D. \((a-b)^2 = a^2 - b^2\) 16.

（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公 式） 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 知识迁移 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 技法03 三倍角公式的应用及解题技巧 技法04 半角公式的应用及解题技巧 技法05 万能公式的应用及解题技巧 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 在三角函数求值题目当中，常 2．（2021·全国·高三竞赛）已知 满足 ，则 的最小值是 ． 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 知识迁移 正余弦平方差公式是数学中一个重要的公式，它涉及到三角函数和代数运算，具有广泛的应用，需强加练 习 正弦平方差公式: sin 2 A−sin 2B=sin ( A+B)sin ( A−B) 余弦平方差公式: cos 2 A−sin 2B=cos ( A+B)cos ( A−B)

（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公 式） 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 知识迁移 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 技法03 三倍角公式的应用及解题技巧 技法04 半角公式的应用及解题技巧 技法05 万能公式的应用及解题技巧 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 在三角函数求值题目当中，常 【答案】16 【详解】解析： ． 令 ，则 ． 当 时， ，所以 ， 故 ． 故答案为：16 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 知识迁移 正弦平方差公式: sin 2 A−sin 2B=sin ( A+B)sin ( A−B) 余弦平方差公式: cos 2 A−sin 2B=cos ( A+B)cos ( A−B) 例6．已知 sin α=1 2 ,sin π 4)−sin 2(x−π 4) 是 () A. 周期为 π 的偶函数 B. 周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的奇函数 D. 周期为 2π 的奇函数 由已知可得 正余弦平方差公式是数学中一个重要的公式，它涉及到三角函数和代数运算，具有广泛的应用，需强加练 习 f (x ) ¿sin[(x+ π 4)+(x−π 4)]sin[(x+ π 4)−(x−π 4)]

（3）9（x+2y）2 4 ﹣（x﹣y）2； （4）2+4b 1+4 ﹣ b2． 【分析】（1）运用提公因式法进行因式分解． （2）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解． （3）逆用平方差公式，再化简 （4）先分组，再运用公式法进行因式分解． 【解答】解：（1）8b+2＝2（4b+1）． （2）x2y+2xy 15 ﹣ y＝y（x2+2x 15 ﹣ ）＝y（x+5）（x 3 ﹣）． 【分析】（1）提取公因式﹣2 即可得； （2）将原式变形为（x+y）2+4（x+y）+4，利用完全平方公式分解可得； （3）提取公因式m 1 ﹣可得； （4）先利用完全平方公式变形为（x﹣y）2 1 ﹣，再利用平方差公式分解可得． 【解答】解：（1）原式＝m（﹣2）﹣（﹣2）＝（﹣2）（m﹣）； （2）原式＝（x+y）2+4（x+y）+4＝（x+y+2）2； （3）原式＝（m 1 ﹣）（m+1）； （4）原式＝（x﹣y）2 （4）81x4 72 ﹣ x2y2+16y4． 【分析】（1）根据提公因式﹣5yz 因式分解即可求解； （2）根据完全平方公式因式分解即可求解； 1 （3）两次根据平方差公式因式分解即可求解； （4）根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可求解． 【解答】解：（1）﹣25xy2z 10 ﹣ y2z2+35y3z＝﹣5y2z（5x+2z 7 ﹣y）． （2）（﹣b）2 6 ﹣（b﹣）+9＝（﹣b+3）2．

..........................................................................................9 【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】.................................................................................... .......................................................20 【知识点1 乘法公式】 平方差公式：(+b)(-b)=2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这 个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(+b)2=2+2b+b2，(-b)2=2-2b+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方 和，加上(或减去)它们积的2 ） ．（+2b）（﹣2b）＝2 2 ﹣b2 B．（﹣+2b）（﹣2b）＝2 4 ﹣b2 ．（﹣﹣2b）（﹣2b）＝﹣2+4b2 D．（﹣﹣2b）（+2b）＝2 4 ﹣b2 【分析】根据平方差公式对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、应为（+2b）（﹣2b）＝2﹣（2b）2，故本选项错误； B、应为（﹣+2b）（﹣2b）＝﹣2+4b 4 ﹣b2，故本选项错误； 、（﹣﹣2b）（﹣2b）＝﹣2+4b2，正确；

√12−¿（3❑ √ 1 3 +❑ √2）； （2）（❑ √3+¿1）（❑ √3−¿1）+❑ √24−¿（1 2）0． 【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后去括号后合并即可； （2）利用平方差公式和零指数幂的意义计算． 1 【解答】解：（1）原式¿ ❑ √3−❑ √3−❑ √2 ¿−❑ √2； （2）原式＝3 1+2 ﹣ ❑ √6−¿1 ＝1+2❑ √6． 4．（2022 春•越秀区校级期末）计算： ¿−❑ √3÷ ❑ √6 ¿− ❑ √2 2 ． 6．（2022 春•河东区期末）计算：（❑ √3+❑ √2）（❑ √3−❑ √2）−❑ √54× 1 ❑ √6 ． 【分析】先利用平方差公式和二次根式的除法法则运算，然后进行加减运算． 【解答】解：原式＝3 2 ﹣−❑ √ 54 6 ＝1 3 ﹣ ＝﹣2． 7．（2022 春•博乐市月考）计算： （1）❑ √18+❑ √98−❑ √3−¿2❑ √12+¿3❑ √18）÷ ❑ √ 1 3 ． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可； （2）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可； （3）利用平方差各完全平方公式计算； （4）先把各二次根式化为最简二次根式和除法运算化为乘法运算，然后把括号内合并 后进行二次根式的乘法运算． 【解答】解：（1）原式＝2❑ √3−❑ √3− ❑ √2 4

【答】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】利用平方差公式分解即可． 【详解】 ． 故选：． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解 的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 5．（2023·山东·统考中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ 解题 的关键． 12．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）下列计算正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据同底数幂相除法则判断选项；根据幂的乘方法则判断选项B；根据平方差公 式判断选项；根据完全平方公式判断选项D 即可． 【详解】解：． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算错误，不符合题意； ． ，原计算正确，符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； ，原计算错误，不符合题意； 故选：． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题考查了同底数幂相除法则、幂的乘方法则、平方差公式、完全平方公式等知 识，熟练掌握各运算法则是解答本题的关键． 13．（2023·山西·统考中考真题）下列计算正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答．