专题14.3 乘法公式【九大题型】（解析版）

专题143 乘法公式【九大题型】 【人版】 【题型1 乘法公式的基本运算】.............................................................................................................................1 【题型2 利用完全平方式确定系数】.....................................................................................................................3 【题型3 乘法公式的运算】.....................................................................................................................................4 【题型4 利用乘法公式求值】.................................................................................................................................6 【题型5 利用面积法验证乘法公式】.....................................................................................................................7 【题型6 乘法公式的应用】.....................................................................................................................................9 【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】............................................................................................12 【题型8 整式乘法中的新定义问题】...................................................................................................................17 【题型9 整式乘法中的规律探究】.......................................................................................................................20 【知识点1 乘法公式】 平方差公式：(+b)(-b)=2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这 个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(+b)2=2+2b+b2，(-b)2=2-2b+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方 和，加上(或减去)它们积的2 倍。这两个公式叫做完全平方公式。 【题型1 乘法公式的基本运算】 【例1】（2022 春•青川县期末）下列各式中计算正确的是（ ） ．（+2b）（﹣2b）＝2 2 ﹣b2 B．（﹣+2b）（﹣2b）＝2 4 ﹣b2 ．（﹣﹣2b）（﹣2b）＝﹣2+4b2 D．（﹣﹣2b）（+2b）＝2 4 ﹣b2 【分析】根据平方差公式对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、应为（+2b）（﹣2b）＝2﹣（2b）2，故本选项错误； B、应为（﹣+2b）（﹣2b）＝﹣2+4b 4 ﹣b2，故本选项错误； 、（﹣﹣2b）（﹣2b）＝﹣2+4b2，正确； D、应为（﹣﹣2b）（+2b）＝﹣2 4 ﹣b 4 ﹣b2，故本选项错误． 故选：． 【变式1-1】（2022 春•六盘水期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） ．（﹣x+2y）（x 2 ﹣y） B．（3x 5 ﹣y）（﹣3x 5 ﹣y） 1 ．（1 5 ﹣m）（5m 1 ﹣） D．（+b）（b+） 【分析】根据平方差公式的特征：（1）两个两项式相乘，（2）有一项相同，另一项互 为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算； B、﹣5y 是相同的项，互为相反项是3x 与﹣3x，符合平方差公式的要求； 、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算； D、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算； 故选：B． 【变式1-2】（2022 春•巴中期末）下列运算正确的是（ ） ．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 ．（﹣x﹣y）2＝﹣x2 2 ﹣xy﹣y2 D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2 【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可． 【解答】解：、结果是y2﹣x2，故本选项不符合题意； B、结果是x2 2 ﹣xy+y2，故本选项不符合题意； 、结果是x2+2xy+y2，故本选项不符合题意； D、结果是x2﹣y2，故本选项符合题意 【变式1-3】（2022 秋•天心区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） ．（﹣b）（﹣b﹣） B．（﹣2﹣m2）（m2+2） ．(−1 2 p+q)(q+ 1 2 p) D．（2x 3 ﹣y）（2x+3y） 【分析】、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意； B、原式第一个因式提取﹣1 变形后利用完全平方公式计算得到结果，符合题意； 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意； D、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意． 【解答】解：、原式＝b2﹣2，本选项不合题意； B、原式＝﹣（m2+2）2，本选项符合题意； 、原式＝q2−1 4 p2，本选项不合题意； D、原式＝4x2 9 ﹣y2，本选项不合题意， 故选：B． 【题型2 利用完全平方式确定系数】 【例2】（2022 秋•望城区期末）若二项式x2+4 加上一个单项式后成为一个完全平方式，则 这样的单项式共有（ ） 1 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．5 个 【分析】本题考查运用完全平方式进行因式分解的能力，式子x2和4 分别是x 和2 的平 方，可当作首尾两项，根据完全平方公式可得中间一项为加上或减去x 和2 的乘积的2 倍，即±4x，同时还应看到x2+4 加上﹣4 或﹣x2或x 4 16后也可分别构成完全平方式，所以 可加的单项式共有5 个． 【解答】解：可添加±4x，﹣4，﹣x2或x 4 16等5 个． 故选：D． 【变式2-1】（2022•南通模拟）如果多项式x2+2x+k 是完全平方式，则常数k 的值为（ ） ．1 B．﹣1 ．4 D．﹣4 【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是1，平方即 可． 【解答】解：∵2x＝2×1•x， ∴k＝12＝1， 故选． 【变式2-2】（2022 秋•青县期末）若9x2﹣（K 1 ﹣）x+1 是关于x 的完全平方式，则常数K 的值为（ ） ．0 B．﹣5 或7 ．7 D．9 【分析】根据完全平方式的定义解决此题． 【解答】解：9x2﹣（K 1 ﹣）x+1＝（3x）2﹣（K 1 ﹣）x+12． 9 ∵x2﹣（K 1 ﹣）x+1 是关于x 的完全平方式， 9 ∴x2﹣（K 1 ﹣）x+1＝（3x）2±2•3x•1+12＝（3x）2±6x+12． ∴﹣（K 1 ﹣）＝±6． 当﹣（K 1 ﹣）＝6 时，K＝﹣5． 当﹣（K 1 ﹣）＝﹣6 时，K＝7． 综上：K＝﹣5 或7． 故选：B． 【变式2-3】（2022 秋•崇川区校级月考）（x+）（x+b）+（x+b）（x+）+（x+）（x+）是 完全平方式，则，b，的关系可以写成（ ） ．＜b＜ B．（﹣b）2+（b﹣）2＝0 ．＜＜b D．＝b≠ 【分析】先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3x2+2（+b+）x+（b+b+）＝ 1 [❑ √3x+❑ √3 3 （+b+）]2，化简有b+b+＝2+b2+2，那么就有（﹣b）2+（b﹣）2+（﹣）2＝0， 三个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0，故可求＝b＝．故选答B． 【解答】解：原式＝3x2+2（+b+）x+（b+b+）， ∵（x+）（x+b）+（x+b）（x+）+（x+）（x+）是完全平方式， 3 ∴x2+2（+b+）x+（b+b+）＝[❑ √3x+❑ √3 3 （+b+）]2， ∴b+b+¿ 1 3（+b+）2¿ 1 3（2+b2+2+2b+2+2b）， ∴b+b+＝2+b2+2， 2 ∴（b+b+）＝2（2+b2+2）， 即（﹣b）2+（b﹣）2+（﹣）2＝0， ∴﹣b＝0，b﹣＝0，﹣＝0， ∴＝b＝． 故选：B． 【题型3 乘法公式的运算】 【例3】（2022 春•龙胜县期中）计算：（1−1 5 2 ）×（1−1 6 2 ）×（1−1 7 2 ）×…×（1−1 99 2）×（1 −1 100 2）的结果是（ ） ．101 200 B．101 125 ．101 100 D．1 100 【分析】根据2﹣b2＝（﹣b）（+b）展开，中间的数全部约分，只剩下第一个数和最后 一个数相乘，从而得出答． 【解答】解：原式＝（1−1 5 ）×（1+1 5 ）×（1−1 6 ）×（1+1 6 ）×（1−1 7 ）×（1+1 7 ）×… ×（1−1 99 ）×（1+1 99 ）×（1 −1 100）×（1 +1 100） ¿ 4 5 × 6 5 × 5 6 × 7 6 × 6 7 × 8 7 ×⋯× 98 99 × 100 99 × 99 100 × 101 100 ¿ 4 5 × 101 100 ¿ 101 125． 故选：B． 【变式3-1】（2022 秋•碾子山区期末）先化简，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x） （2y﹣x），其中x＝1，y＝2． 1 【分析】利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y 的值代入进行计算即可得解． 【解答】解：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x）， ＝4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）， ＝4x2﹣y2 4 ﹣y2+x2， ＝5x2 5 ﹣y2， 当x＝1，y＝2 时，原式＝5×12 5×2 ﹣ 2＝5 20 ﹣ ＝﹣15． 【变式3-2】（2022 春•乳山市期末）用乘法公式进行计算： （1）20192 2018×2020 ﹣ ； （2）112+13×66+392． 【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；完全 平方公式：（+b）2＝2+2b+b2． 【解答】解：（1）20192 2018×2020 ﹣ ＝20192﹣（2022 1 ﹣）×（2022+1） ＝20192﹣（20222 1 ﹣） ＝1； （2）112+13×66+392 ＝112+13×2×3×11+392 ＝112+2×11×39+392 ＝（11+39）2 ＝502 ＝2500． 【变式3-3】（2022 春•顺德区校级月考）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1） 【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【解答】解：原式＝（2 1 ﹣）（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1） ＝（22 1 ﹣）（22+1）（24+1）…（264+1） ＝（24 1 ﹣）（24+1）…（264+1） ＝… ＝（264 1 ﹣）（264+1） ＝2128 1 ﹣． 【题型4 利用乘法公式求值】 【例4】（2022 秋•九龙坡区校级期中）若2﹣b2＝16，（+b）2＝8，则b 的值为（ ） ．−3 2 B．3 2 ．﹣6 D．6 【分析】根据2﹣b2＝16 得到（+b）2（﹣b）2＝256，再由（+b）2＝8，求出（﹣b）2＝ 1 32， 最后根据b¿ (a+b) 2−(a−b) 2 4 求出答． 【解答】解：∵2﹣b2＝16， ∴（+b）（﹣b）＝16， ∴（+b）2（﹣b）2＝256， ∵（+b）2＝8， ∴（﹣b）2＝32， ∴b¿ (a+b) 2−(a−b) 2 4 =8−32 4 =−¿6， 故选：． 【变式4-1】（2022 春•姜堰区校级月考）已知4m+＝90，2m 3 ﹣＝10，求（m+2）2﹣（3m ﹣）2的值． 【分析】原式利用平方差公式分解，变形后将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵4m+＝90，2m 3 ﹣＝10， ∴（m+2）2﹣（3m﹣）2 ＝[（m+2）+（3m﹣）][（m+2）﹣（3m﹣）] ＝（4m+）（3 2 ﹣m） ＝﹣900． 【变式4-2】（2022 春•双峰县期中）若x、y 满足x2+y2¿ 5 4 ，xy¿−1 2，求下列各式的值． （1）（x+y）2 （2）x4+y4． 【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵x2+y2¿ 5 4 ，xy¿−1 2， ∴原式＝x2+y2+2xy¿ 5 4 −¿1¿ 1 4 ； （2）∵x2+y2¿ 5 4 ，xy¿−1 2， ∴原式＝（x2+y2）2 2 ﹣x2y2¿ 25 16−1 2=17 16． 【变式4-3】（2022 春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2022﹣m）＝2021，那么（2022 ﹣m）2+（2022﹣m）2的值为（ ） 1 ．4046 B．2023 ．4042 D．4043 【分析】利用完全平方公式变形即可． 【解答】解：∵（﹣b）2＝2 2 ﹣b+b2， ∴2+b2＝（﹣b）2+2b． ∴（2022﹣m）2+（2022﹣m）2 ＝[（2022﹣m）﹣（2022﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2022﹣m） ＝4+2×2021 ＝4046． 故选：． 【题型5 利用面积法验证乘法公式】 【例5】（2022 春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据 两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ） ．（﹣b）（+b）＝2﹣b2 B．（+b）2＝2+2b+b2 ．（﹣b）2＝2 2 ﹣b+b2 D．（2﹣b）2＝42 4 ﹣b+b2 【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可． 【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为（+b）（﹣b）， 图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即2﹣b2， 因此有（+b）（﹣b）＝2﹣b2， 故选：． 【变式5-1】（2022 春•乐平市期末）如图所示，两次用不同的方法计算这个图的面积，可 验证整式乘法公式是（ ） 1 ．（+b）（﹣b）＝2﹣b2 B．（+b）（+2b）＝2+3b+2b2 ．（+b）2＝2+2b+b2 D．（﹣b）2＝2 2 ﹣b+b2 【分析】用代数式表示各个部分以及总面积即可得出答． 【解答】解：大正方形的边长为+b，因此面积为（+b）2，四个部分的面积分别为2、 b、b、b2， 由面积之间的关系得，（+b）2＝2+2b+b2， 故选：． 【变式5-2】（2022 春•锦州期末）如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3 的 小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2 所示的长方形，根据两个图 形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（ ） ．（﹣3）2＝2 6+9 ﹣ B．（+3）2＝2+6+9 ．（+3）＝2+3 D．（+3）（﹣3）＝2 9 ﹣ 【分析】用代数式分别表示图1、图2 中阴影部分的面积即可． 【解答】解：图1 中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即2 3 ﹣ 2＝2﹣ 9， 图2 是长为+3，宽为﹣3 的长方形，因此面积为（+3）（﹣3）， 所以有（+3）（﹣3）＝2 9 ﹣， 故选：D． 【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在边长为（x+）的正方形中，剪去一个边长为的 小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可 以得到一个恒等式是（ ） 1 ．（x+）2﹣2＝x（x+2） B．x2+2x＝x（x+2） ．（x+）2﹣x2＝（+2x） D．x2﹣2＝（x+）（x﹣） 【分析】根据阴影部分面积相等得到恒等式即可． 【解答】解：第一幅图阴影部分面积＝（x+）2﹣2， 第二幅图阴影部分面积＝（x++）x＝x（x+2）， ∴（x+）2﹣2＝x（x+2）， 故选：． 【题型6 乘法公式的应用】 【例6】（2022 春•榆次区期中）如图1，从边长为（+5）m 的大正方形纸片中剪去一个边 长为（+2）m 的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3 方式拼接成一个长 方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（ ） ．9m2 B．（6 9 ﹣）m2 ．（6+9）m2 D．（6+21）m2 【分析】由图形可知长方形的长为两正方形的和，宽为两长方形的差，据此可得答． 【解答】解：根据题意，长方形的面积为[（+5）+（+2）][（+5）﹣（+2）]＝3（2+7） ＝（6+21）m， 故选：D． 【变式6-1】（2022 秋•西峰区期末）如图，正方形BD 和正方形和MFP 重叠，其重叠 部分是一个长方形，分别延长D、D，交P 和MP 于、Q 两点，构成的四边形GD 和 MEDQ 都是正方形，四边形PQD 是长方形．若正方形BD 的边长为x，E＝10，G＝ 20，长方形EFGD 的面积为200．求正方形MFP 的面积（结果必须是一个具体数值）． 1 【分析】设DE＝，DG＝b，则＝x 10 ﹣ ，b＝x 20 ﹣ ，﹣b＝10，又由b＝200，所以正方 形MFP 的面积为（+b）2＝（﹣b）2+4b＝900． 【解答】解：）设DE＝，DG＝b，则＝x 10 ﹣ ，b＝x 20 ﹣ ，﹣b＝10， 又由b＝200， ∴正方形MFP 的面积为：（+b）2＝（﹣b）2+4b＝102+4×200＝900． 【变式6-2】（2022 春•湖州期末）如图，把一块面积为100 的大长方形木板被分割成2 个 大小一样的大正方形①，1 个小正方形②和2 个大小一样的长方形③后，如图摆放，且 每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ） ．16 B．14 ．12 D．10 【分析】设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，根据图形及 已知条件可将③长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为16 及大长 方形的面积为100，得出x2与y2的数量关系，然后解得y2即可． 【解答】解：设标