高考数学答题技巧题型10 6类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）（解析版）Word（15页）

题型10 6 类三角恒等变换解题技巧 （拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公 式） 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 知识迁移 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 技法03 三倍角公式的应用及解题技巧 技法04 半角公式的应用及解题技巧 技法05 万能公式的应用及解题技巧 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值， 解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角” 1、当“已知角”有两个时，“所求角"一般表示两个"已知角”的和与差的关系 2、当"已知角"有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差或倍数的关系，然后借助三角恒 等变换公式把“所求角”变成“已知角” 例1-1．（全国·高考真题）tan255°= A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ 【详解】 = 例1-2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考一模）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【详解】由 ，所以 ，则 1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知 ， ，且 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知 ，利用角的范围和同角三角函数关系可求得 和 ，分别 在 和 两种情况下，利用两角和差正弦公式求得 ，结合 的范围可确定最终结 果. 【详解】 且 ， ， . 又 ， ， . 当 时， ， ， ， 不合题意，舍去； 当 ，同理可求得 ，符合题意. 综上所述： . 故选： . 【点睛】易错点睛：本题中求解 时，易忽略 的值所确定的 的更小的范围，从而误认为 的 取值也有两种不同的可能性，造成求解错误. 2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知 为锐角， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简 ，求 ，再求 ，再由两角差的正切公 式求 . 【详解】因为 ，所以 ， 所以 ， 又 为锐角， ， 所以 ， 解得 ， 因为 为锐角，所以 ， 又 所以 . 故选：A. 3．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据 ， 的范围即可求出结果. 【详解】由已知可将 ， ， 则 ， ， ，即 或 ． 又 ，所以 ， 所以 ，所以选项A，B 错误， 即 ，则 ，所以 ．则C 错，D 对， 故选：D 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 知识迁移 升幂公式：cos2α=1−2sin2α ，cos2α=2cos2α−1 降幂公式：sin2α=1−cos2α 2 ，cos2α=1+cos2α 2 在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，要 强加练习 例2-1．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【详解】因为 ，所以 ． 例2-2．（2023·全国·统考高考真题）已知 ，则 （ ）． A． B． C． D． 【详解】因为 ，而 ，因此 ， 则 ， 所以 . 1．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得 ，再求得 ，结合倍角公式，即可求解. 【详解】因为 ，且 ， 所以 ，可得 ， 所以 . 故选：A． 2．（2023·河南·统考模拟预测）已知 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的条件，利用辅助角公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由 ，得 ， 所以 . 故选：C 3．（2023·全国·模拟预测）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式及两角和差的正弦公式化简，再根据 计算可得. 【详解】由已知得 ， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， ， 则 ， 所以 . 故选： . 4．（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对两式进行平方，进而可求出 的值，根据二倍角公式求出结论. 【详解】解：因为 ， ， 所以平方得， ， ， 即 ， ， 两式相加可得 ， 即 ， 故 ， . 故选：D. 技法03 三倍角公式的应用及解题技巧 知识迁移 sin3α=3sin α−4 sin 3α cos3α=−3cosα+4 cos 3α tan3α=3 tan α−tan 3α 1−3 tan 2α =tan α tan( π 3 −α)tan( π 3 +α) 例3．已知在 △ABC 中, 角 A 、B 、C 的对边依次为 a、b 、c ,a=6,4 sin B=5sinC, A=2C, 求 b 、c 边长。 【解析】 在三角函数或解三角形的一些问题中,会出现三倍角,解决起来需要把三倍角转化成一倍角与二倍角的和， 化简起来会多些步骤，而知道三倍角公式,我们可以更快的得出结果 B=π−( A+C )=π−3C ¿4 sin B=5sinC ¿ ⇒4 sin (π−3C )=4 sin3C=5sinC ¿ ⇒4 (3sinC−4 sin 3C )=5sinC ¿ ⇒4 (3−4 sin 2C )=5 ¿ ⇒12−16sin 2C=5 ⇒sinC= ❑ √7 4 ⇒cosC= 3 4 ¿∵ a sin A = c sinC , A=2C ¿ ⇒ a 2sinC cosC = c sinC ⇒c= a 2cosC =4 ¿4 sin B=5sinC ⇒4 b=5c ⇒b=5 1. 函数 f (x )=4 sin 3 x−sin x+2(sin x 2−cos x 2) 2 的最小正周期为（）. A. 2π B. π 2 C. 2π 3 D. π 解析: 根据三倍角公式: sin3α=3sin α−4 sin 3α, 化简得 f (x )=−sin3 x+2, 则函数 f (x ) 的最小正周期为 2π 3 .C 选项正确. 2. 已知 △ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c. 若 A=2B, 且 A 为锐角, 则 c b + 1 cos A 的最小值为 ( ) A. 2❑ √2+1 B. 3 C. 2❑ √2+2 D. 4 ∵A=2B ,∴sinC=sin (3 B)=3sin B−4 sin 3 B∴c b=¿ 3sin B−4 sin 3 B sin B =3−4 sin 2B ¿2cos A+1 ∵A 为锐角 ∴cos A>0, 则 c b + 1 cos A =2cos A+ 1 cos A +1≥2❑ √2+1 当且仅当 2cos A= 1 cos A , 即 cos A= ❑ √2 2 时, 等号成立, ∴c b + 1 cos A 的最小值为 2❑ √2+1. 技法04 半角公式的应用及解题技巧 知识迁移 sin ＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝. 例4．（2023·全国·统考高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）． A． B． C． D． 【详解】因为 ，而 为锐角， 所以 ． 1．（2021·黑龙江·黑龙江实验中学校考模拟预测）已知 ，若 是第二象限角，则 （ ） 半角公式是三角函数的一个重要知识点，也是高考重要考点，我们需要知道什么是半角公式及半角公式的 考查形式 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式求出 ，再利用平方关系可求 ，然后利用公式 即可 求解. 【详解】解：因为 ，所以 ， 又 是第二象限角，所以 ， 所以 . 故选：B． 2．（2022·江西上饶·上饶市第一中学校联考二模）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的平方关系及半角的余弦公式，再结合诱导公式即可求解. 【详解】由 ，得 ， ， ， ， 所以 . 故选：A. 3．（2023·全国·模拟预测）已知 是锐角， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倍角公式的变形求出 ， ，再由两角和的余弦公式求解. 【详解】因为 是锐角，所以 ， 因为 ， ， 所以 ， ， 所以 ． 故选：D． 技法05 万能公式的应用及解题技巧 知识迁移 例5．在 △ABC 中, tan C 2 =3 tan A 2 , 则 2 sin A + 6 sinC 的最小值为 A. 4 B. 2❑ √5 C. 4 ❑ √5 D. 16 2 sin A + 6 sinC ¿ 2 2tan A 2 1+tan 2 A 2 + 6 2tan C 2 1+tan 2 C 2 ¿ ¿ 1+tan 2 A 2 tan A 2 + 3(1+tan 2 C 2 ) tan C 2 ¿ 1 tan A 2 +tan A 2 + 3 tan C 2 +3 tan C 2 理论上上所有公式都是万能公式。但是真正提起万能公式的时候，是指三角函数中的正切半角公式，或称 以切表弦公式 。这组公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示，实现 ¿ 1 tan A 2 +tan A 2 + 3 3 tan A 2 +3⋅3 tan A 2 ¿10 tan A 2 + 2 tan A 2 ≥2❑ √20=4 ❑ √5. 最小值为4 ❑ √5 1．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知 内角分别为 ，且满足 ，则 的最小值为 . 【答案】16 【分析】由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得 ，进而有 ，结合 ， 将目标式化为 ，应用基本不 等式求最小值即可. 【详解】由题设 ， 所以 ， 所以 ， 即 ， 又 ， ， 则 ， 当且仅当 时取等号， 所以 的最小值为 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将条件化为 ，再应用万能公式用正切表示正弦 为关键. 2．（2021·全国·高三竞赛）已知 满足 ，则 的最小值是 ． 【答案】16 【详解】解析： ． 令 ，则 ． 当 时， ，所以 ， 故 ． 故答案为：16 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 知识迁移 正弦平方差公式: sin 2 A−sin 2B=sin ( A+B)sin ( A−B) 余弦平方差公式: cos 2 A−sin 2B=cos ( A+B)cos ( A−B) 例6．已知 sin α=1 2 ,sin β=1 3 , 则 sin (α+β )sin (α−β )=¿________ 由已知可得 sin (α+β )sin (α−β )=sin 2α−sin 2 β=( 1 2) 2 −( 1 3) 2 = 5 36 . 1. 函数 f (x )=sin 2(x+ π 4)−sin 2(x−π 4) 是 () A. 周期为 π 的偶函数 B. 周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的奇函数 D. 周期为 2π 的奇函数 由已知可得 正余弦平方差公式是数学中一个重要的公式，它涉及到三角函数和代数运算，具有广泛的应用，需强加练 习 f (x ) ¿sin[(x+ π 4)+(x−π 4)]sin[(x+ π 4)−(x−π 4)] ¿ ¿ 选 B. 2. 在 △ABC 中, 角 A ,B ,C 所对的边长分别为 a,b,c, 已知 (a 2−b 2)sin ( A+B)=(a 2+b 2)sin ( A−B),判断 △ABC 的形状 解析：由正弦定理，原式等于 (sin 2 A−sin 2B)sin ( A+B)=(sin 2 A+sin 2B)sin ( A−B) 所以 sin ( A+B)sin ( A−B)sin ( A+B)=(sin 2 A+sin 2B)sin ( A−B) 若 A=B, 等式成立 若 A ≠B, 则 sin 2 ( A+B)=sin 2 A+sin 2B, 即 sin 2C=sin 2 A+sin 2B ,c 2=a 2+b 2 所以 △ABC 为等腰三角形或直角三角形