三角形中的重要模型 -平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全 等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型） 模型1、平分平行（射影）构等腰 模型1、平分平行（射影）构等腰 1）角平分线加平行线必出等腰三角形． 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线 及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总 结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 图1 图3 条件：如图1，’平分∠M，过’的一点P 作PQ// 结论：△PQ 是等腰三角形。 条件：如图2，△B 中，BD 是 ∠ B 的角平分线，DE B ∥ 。结论：△BDE 是等腰三角形。 条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点作 的平行线与 ， 分别相 交于点M，．结论：△BM、△都是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． F A B

三角形中的重要模型 -平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全 等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型） 模型1、平分平行（射影）构等腰 模型1、平分平行（射影）构等腰 1）角平分线加平行线必出等腰三角形． 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线 及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总 结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 图1 图3 条件：如图1，’平分∠M，过’的一点P 作PQ// 结论：△PQ 是等腰三角形。 条件：如图2，△B 中，BD 是 ∠ B 的角平分线，DE B ∥ 。结论：△BDE 是等腰三角形。 条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点作 的平行线与 ， 分别相 交于点M，．结论：△BM、△都是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． F A B

专题07 三角形中的重要模型之 平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全 等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 ...................2 模型1 平分平行（射影）构等腰模型...........................................................................................................2 模型2 角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型.................... .......15 模型1 平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造 等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以 后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．

专题07 三角形中的重要模型之 平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全 等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 ...................2 模型1 平分平行（射影）构等腰模型...........................................................................................................2 模型2 角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型.................... .......15 模型1 平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造 等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以 后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．

2025 年六升七数学衔接期角平分线与线段垂直平分线试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列关于角平分线的说法，正确的是： A. 角平分线是一条直线 B. 角平分线将角分成两个相等的角 C. 角平分线是角的对称轴 D. 角平分线有且只有一条 2. 点P ∠ 在 AOB 的角平分线上，则点P 到OA 和OB 的距离关系 是： A ∠ 是 AOB ∠ 的角平分线， AOB = 80° ∠ ，则 AOC 的度 数是： A. 20° B. 40° C. 80° D. 160° 4. 关于线段垂直平分线的性质，下列说法错误的是： A. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 B. 到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 C. 线段的垂直平分线有且只有一条 D. 线段的垂直平分线是线段的对称轴 5. 点M 在线段AB 的垂直平分线上，则一定有： A. MA > MB B. MA < MB C. MA = MB D. MA 与MB 关系不确定 6. 如图，直线l 是线段AB 的垂直平分线，O 是交点。若AB = 6cm，则AO 的长度是： A. 3cm B. 6cm C. 12cm

角平分线模型知识精讲 1 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的 性质来解决问题，例： 已知：P 是 平分线上的一点，过点P 作 于点M，过点P 作 于 点，则 2 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边 的垂线段，例： 已知：D 是 的平分线， ，过点D 作 于点E，则 3 在角的两边上取相等的线段，结合角平 已知：点D 是 平分线上的一点，在、B 上分别取点E、F，且 ，连接 DE、DF，则 4 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例： 已知：点D 是 平分线上的一点，过点D 作 ，则 是等腰三角形， 即 证明： 是 的平分线， ， 又 ， 是等腰三角形 5 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点， 也可构造等腰三角形，例： 已知：平分 ，点D 的反向延长线于点E，则 6 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰 三角形，例： 已知：E 平分∠B，点D 在上，DE⊥E，则可延长DE 交B 于点F，则DE＝EF，D＝F， ∠DF＝∠FD 7 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等 的角构造相似三角形，例： （1）已知：平分 ，点E、F 分别在、B 上，过点E 作 于点M，过点F

模型一、角平分线垂两边 模型二、角平分线垂中间 模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形 模型四、利用角平分线作对称模型 五、内外模型 考点一：角平分线垂两边模型 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，已知在四边形BD 中，∠BD＝90°，BD 平分∠B，B＝6，B＝9，D＝4，则 解：过点D 作DE⊥B 的延长线于点E，如图所示． ∵BD 平分∠B， ∴DE＝D＝4， ∴S 四边形BD＝S△BD+S△BD， ＝ B•DE+ B•D， ＝ ×6×4+ ×9×4， ＝30． 故答为：30． 变式训练 【变式1-1】．如图，已知：∠B＝∠＝90°，M 是B 的中点，DM 平分∠D． 求证：（1）M 平分∠DB； （2）D＝B+D． （1）证明：过点M 作ME⊥D 作ME⊥D 于E， ∵∠B＝∠＝90°， ∴MB⊥B，M⊥D， ∵DM 平分∠D，ME⊥D，M⊥D， ∴ME＝M， ∵M 是B 的中点， ∴M＝MB， ∴MB＝ME， 又∴MB⊥B，ME⊥D， ∴M 平分∠DB． （2） ∵ME⊥D，M⊥D， ∴∠＝∠DEM＝90°， 在Rt△DM 和Rt△DEM 中， ， Rt ∴ △DM Rt ≌ △DEM（L）， ∴D＝DE， 同理E＝B，

专题12 全等模型-角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全 等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 模型1 角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1， 为 的角平分线、 于点时，过点作 结论： 、 ≌ 为 的角平分线，过点D 作 结论： 、 ≌ （当 是等腰直角三角形时，还有 ） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，是∠B 的角平分线，=B，过点作D⊥、E⊥B。 结论：① ；② ；③ 例1．（2022·北京·中考真题）如图，在 中， 平分 若 则 __ __． 【答】1 【分析】作 于点F，由角平分线的性质推出 于点F，由角平分线的性质推出 ，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作 于点F， ∵ 平分 ， ， ，∴ ， ∴ ．故答为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形D 中边的高是解题的关键． 例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△B 的外角∠D 的平分线P 与内角∠B 的平分线BP 交于点P，若∠BP ＝40°，则∠P＝（ ） ．40° B．45° ．50° D．60°

模型一、角平分线垂两边 模型二、角平分线垂中间 模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形 模型四、利用角平分线作对称模型 五、内外模型 考点一：角平分线垂两边模型 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，已知在四边形BD 中，∠BD＝90°，BD 平分∠B，B＝6，B＝9，D＝4，则 解：过点D 作DE⊥B 的延长线于点E，如图所示． ∵BD 平分∠B， ∴DE＝D＝4， ∴S 四边形BD＝S△BD+S△BD， ＝ B•DE+ B•D， ＝ ×6×4+ ×9×4， ＝30． 故答为：30． 变式训练 【变式1-1】．如图，已知：∠B＝∠＝90°，M 是B 的中点，DM 平分∠D． 求证：（1）M 平分∠DB； （2）D＝B+D． （1）证明：过点M 作ME⊥D 作ME⊥D 于E， ∵∠B＝∠＝90°， ∴MB⊥B，M⊥D， ∵DM 平分∠D，ME⊥D，M⊥D， ∴ME＝M， ∵M 是B 的中点， ∴M＝MB， ∴MB＝ME， 又∴MB⊥B，ME⊥D， ∴M 平分∠DB． （2） ∵ME⊥D，M⊥D， ∴∠＝∠DEM＝90°， 在Rt△DM 和Rt△DEM 中， ， Rt ∴ △DM Rt ≌ △DEM（L）， ∴D＝DE， 同理E＝B，

模型一、角平分线垂两边 模型二、角平分线垂中间 模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形 模型四、利用角平分线作对称模型 五、内外模型 考点一：角平分线垂两边模型 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，已知在四边形BD 中，∠BD＝90°，BD 平分∠B，B＝6，B＝9，D＝4，则 【变式1-1】．如图，已知：∠B＝∠＝90°，M 是B 的中点，DM 平分∠D． 求证：（1）M 平分∠DB； （2）D＝B+D． 【变式1-2】．已知：如图所示，点P 为∠B 的平分线上一点，P⊥于，∠P+∠BP＝180°， 求证：+B＝2． 考点二：角平分线垂中间模型 【例2】．如图，BD 是△B 的角平分线，E⊥BD，垂足为F．若∠B＝35°，∠＝50°，则∠DE 的度数为 【变式2-1】．如图，已知，∠B＝90°，B＝，BD 是∠B 的平分线，且E⊥BD 交BD 的延长 线于点E．求证：BD＝2E． 【变式2-2】．如图，在△B 中，∠B＝3∠，D 平分∠B，BE⊥D 于E，求证：BE＝ （﹣ B）．（提示：延长BE 交于点F）． 考点三：角平分线＋平行线构造等腰三角形 【例3】．如图，在Rt△B 中，M 平分∠B 交B 于点M，过点M 作M∥B 交于点，且M 平分 ∠M，若＝1，则B 的长为