模型42 单、多角平分线模型（解析版）

4 3 2 1 D A C B M 模型一、角平分线垂两边 模型二、角平分线垂中间 模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形 模型四、利用角平分线作对称模型 五、内外模型 考点一：角平分线垂两边模型 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，已知在四边形BD 中，∠BD＝90°，BD 平分∠B，B＝6，B＝9，D＝4，则 四边形BD 的面积是 30 ． 解：过点D 作DE⊥B 的延长线于点E，如图所示． ∵BD 平分∠B， ∴DE＝D＝4， ∴S 四边形BD＝S△BD+S△BD， ＝ B•DE+ B•D， ＝ ×6×4+ ×9×4， ＝30． 故答为：30． 变式训练 【变式1-1】．如图，已知：∠B＝∠＝90°，M 是B 的中点，DM 平分∠D． 求证：（1）M 平分∠DB； （2）D＝B+D． （1）证明：过点M 作ME⊥D 于E， ∵∠B＝∠＝90°， ∴MB⊥B，M⊥D， ∵DM 平分∠D，ME⊥D，M⊥D， ∴ME＝M， ∵M 是B 的中点， ∴M＝MB， ∴MB＝ME， 又∴MB⊥B，ME⊥D， ∴M 平分∠DB． （2） ∵ME⊥D，M⊥D， ∴∠＝∠DEM＝90°， 在Rt△DM 和Rt△DEM 中， ， Rt ∴ △DM Rt ≌ △DEM（L）， ∴D＝DE， 同理E＝B， ∵E+DE＝D， ∴D+B＝D． 【变式1-2】．已知：如图所示，点P 为∠B 的平分线上一点，P⊥于，∠P+∠BP＝180°， 求证：+B＝2． 证明：作PD⊥B 于D． ∴∠PD＝90°． ∵P 为∠B 的平分线P 上一点，P⊥ ∴P＝PD．∠P＝90°． ∴∠P＝∠PD． 在Rt△P 和Rt△PD 中， Rt ∴ △P Rt ≌ △PD（L）， ∴＝D． ∵∠BP+∠DBP＝180°，且∠0P+ 0 ∠BP＝180°， ∴∠P＝∠DBP． 在△P 和△BDP 中， ， ∴△P≌△BDP（S）， ∴＝BD． + ∵B＝++B， + ∴B＝BD+B+， + ∴B＝D+， + ∴B＝2， 考点二：角平分线垂中间模型 【例2】．如图，BD 是△B 的角平分线，E⊥BD，垂足为F．若∠B＝35°，∠＝50°，则∠DE 的度数为 45° ． 解：∵BD 是△B 的角平分线， ∴∠BF＝∠EBF＝ ∠B＝175°， 又∵E⊥BD， ∴∠FB＝∠EFB＝90°， ∴∠BF＝∠BEF＝90° 175° ﹣ ＝725°， ∵∠B＝35°，∠＝50°， ∴∠B＝180° 35° 50° ﹣ ﹣ ＝95°， ∴∠DB＝180° 95° 175° ﹣ ﹣ ＝675°， 由于BD 是△BDE 的对称轴，由对称性可知，∠DB＝∠EDB＝675°， ∴∠DE＝180° 675° 675° ﹣ ﹣ ＝45°， 故答为：45°． 变式训练 【变式2-1】．如图，已知，∠B＝90°，B＝，BD 是∠B 的平分线，且E⊥BD 交BD 的延长 线于点E．求证：BD＝2E． 证明：如图，延长E 与B 的延长线相交于点F， ∵∠EBF+∠F＝90°，∠F+∠F＝90°， ∴∠EBF＝∠F， 在△BD 和△F 中， ， ∴△BD≌△F（S）， ∴BD＝F， ∵BD 是∠B 的平分线， ∴∠EB＝∠EBF． 在△BE 和△BFE 中， ， ∴△BE≌△BFE（S）， ∴E＝EF， ∴F＝2E， ∴BD＝F＝2E． 【变式2-2】．如图，在△B 中，∠B＝3∠，D 平分∠B，BE⊥D 于E，求证：BE＝ （﹣ B）．（提示：延长BE 交于点F）． 证明：如图：延长BE 交于点F， ∵BF⊥D， ∴∠EB＝∠EF． ∵D 平分∠B， ∴∠BE＝∠FE 在△BE 和△FE 中， ， ∴△BE≌△FE（S） ∴∠BF＝∠FB，B＝F，BE＝EF． + ∵∠∠BF＝∠FB＝∠BF， ∠BF+∠BF＝∠B＝3∠， +2 ∴∠ ∠BF＝3∠， ∴∠BF＝∠． ∴BF＝F， ∴BE＝ BF＝ F． ∵F＝﹣F＝﹣B， ∴BE＝ （﹣B）． 考点三：角平分线＋平行线构造等腰三角形 【例3】．如图，在Rt△B 中，M 平分∠B 交B 于点M，过点M 作M∥B 交于点，且M 平分 ∠M，若＝1，则B 的长为 6 ． 解：∵在Rt△B 中，M 平分∠B 交B 于点M，过点M 作M∥B 交于点，且M 平分∠M， ∴∠M＝∠M＝∠B，∠M＝∠BM＝∠M， ∴∠B＝2∠B，M＝， ∴∠B＝30°， ∵＝1， ∴M＝2， ∴＝+＝3， ∴B＝6， 故答为6． 变式训练 【变式3-1】．如图，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线交于点E，过点E 作M∥B 交B 于M，交 于，若BM+＝9，则线段M 的长为 9 ． 解：∵∠B、∠B 的平分线相交于点E， ∴∠MBE＝∠EB，∠E＝∠EB， ∵M∥B， ∴∠EB＝∠MEB，∠E＝∠EB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠E＝∠E， ∴BM＝ME，E＝， ∴M＝ME+E， 即M＝BM+． ∵BM+＝9 ∴M＝9， 故答为：9． 【变式3-2】．（1）如图△B 中，BD、D 分别平分∠B，∠B，过点D 作EF∥B 交B、于点 E、F，试说明BE+F＝EF 的理由． （2）如图，△B 中，BD、D 分别平分∠B，∠G，过D 作EF∥B 交B、于点E、F，则 BE、F、EF 有怎样的数量关系？并说明你的理由． 解：（1）∵BD 平分∠B， ∴∠BD＝∠BD， ∵EF∥B， ∴∠EDB＝∠DB， ∴∠BD＝∠EDB， ∴BE＝ED， 同理DF＝F， ∴BE+F＝EF； （2）BE﹣F＝EF， 由（1）知BE＝ED， ∵EF∥B，∴∠ED＝∠DG＝∠D， ∴F＝DF， 又∵ED﹣DF＝EF， ∴BE﹣F＝EF． 考点四：利用角平分线作对称 【例4】．如图，在△B 中，∠B＝2∠，∠B 的角平分线交B 于D． 求证：B+BD＝． 证明：在取一点E 使B＝E， 在△BD 和△ED 中， ， ∴△BD≌△ED， ∴∠B＝∠ED，BD＝DE， 又∵∠B＝2∠， ∴∠ED＝2∠， ∵∠ED 是△ED 的外角， ∴∠ED＝∠， ∴ED＝E， ∴BD＝E， ∴B+BD＝E+E＝． 变式训练 【变式4-1】．如图，在△B 中，∠B＝60°，D、E 分别平分∠B、∠B，求证：＝E+D． 证明：在上取F＝E，连接F， ∵D 平分∠B、 ∴∠E＝∠F， 在△E 与△F 中， ∴△E≌△F（SS）， ∴∠E＝∠F； ∵D、E 分别平分∠B、∠B， ∴∠E+∠D＝ ∠B+ ∠B＝ （∠B+∠B）＝ （180°﹣∠B）＝60° 则∠＝180°﹣∠E﹣∠D＝120°； ∴∠＝∠DE＝120°，∠E＝∠D＝∠F＝60°， 则∠F＝60°， ∴∠D＝∠F， ∴在△F 与△D 中， ， ∴△F≌△D（S）， ∴D＝F， ∵＝F+F， ∴＝E+D． 【变式4-2】．如图，已知△B 中，B＝，∠＝100°，BD 平分∠B，求证：B＝BD+D． 证明：如图，在B 上截取BE＝B，延长BD 到F 使BF＝B，连接DE、F． 又∵∠1＝∠2，BD 是公共边，BE＝B， ∴△BD≌△EBD ∴∠DEB＝∠＝100°，则得∠DE＝80° ∵B＝，BD 平分∠B， ∴∠B＝∠3＝ ＝40°， 1 ∴∠＝∠2＝ ＝20°，∠3＝40° ∵B＝BF，∠2＝20°， ∴∠F＝∠FB＝ （180° 2 ﹣∠）＝80°则∠F＝∠DE 4 ∴∠＝80° 3 ﹣∠＝40°， 3 ∴∠＝∠4，∠F＝∠DE， 又∵D＝D， ∴△DE≌△DF（S） ∴DF＝DE＝D ∴B＝BF＝BD+DF＝BD+D 【变式4-3】．如图，△B 中，D 是∠B 的平分线，E、F 分别为B、上的点，连接DE、 DF，∠EDF+∠B＝180°．求证：DE＝DF． 证明：在B 上截取G＝F，连接DG，如图所示： ∵D 是∠B 的平分线， 1 ∴∠＝∠2， 在△DG 与△DF 中， ， ∴△GD≌△FD（SS） ∴∠GD＝∠FD，DG＝DF 又∵∠ED+∠EDF+∠DF+∠FE＝360°，∠EDF+∠B＝180°． ∴∠ED+∠FD＝180°， 又∠4+∠GD＝180°， 4 ∴∠＝∠3， ∴DE＝DG， ∴DE＝DF． 1．已知∠B＝80°，∠B＝50°，D 是∠B 的角平分线，E 是∠B 的角平分线，则∠DE＝ 65° 或 15° ． 解：∵∠B＝80°，∠B＝50°，且D，E 分别为∠B，∠B 的角平分线， ∴∠BD＝ ∠B＝40°，∠EB＝ ∠B＝25°， ①当在∠B 内时，如图1， ∴∠DE＝∠DB﹣∠EB＝40° 25° ﹣ ＝15°． ②当在∠B 外时，如图2， ∠DE＝∠DB+∠EB＝40°+25°＝65°． 综上所述，∠DE 的度数为65°或15°． 故答是：65°或15°． 2．（1）如图①在△B，∠＝90°，D 平分∠B，B＝6m，BD＝4m，那么点D 到B 的距离是 2 m （2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：P 平分∠B． 解：（1）如图①，作DE⊥B 于E， ∵B＝6m，BD＝4m， ∴D＝2m， ∵D 平分∠B，∠＝90°，DE⊥B， ∴DE＝D＝2m，即点D 到B 的距离是2m， 故答为：2； （2）证明：如图②，作PD⊥B 于D，PE⊥B 于E，PF⊥于F， 1 ∵∠＝∠2，PD⊥B，PE⊥B， ∴PD＝PE， 同理，PF＝PE， ∴PD＝PF，又PD⊥B，PF⊥， ∴P 平分∠B． 3．如图，已知在△B 中，BE、D 分别是∠B、∠B 的平分线，BE、D 相交于点，且BD+E＝ B．求∠的度数． 解：在B 上截取BF＝BD， ∵BD+E＝B， ∴F＝E， ∵BE、D 分别是∠B、∠B 的平分线， 1 ∴∠＝∠2，∠E＝∠F， 在△BD 与△BF 中， ， ∴△BD≌△BF（SS）， ∴∠BF＝∠BD， 同理，∠F＝∠E， ∵∠BF+∠F＝180°， ∴∠BD+∠E＝180°， ∴∠D+∠E＝180°， + ∴∠∠DE＝180°， ∵∠DE＝∠B＝180° 2 ﹣∠﹣∠F＝180°﹣ （∠B+∠B）＝180°﹣ （180°﹣∠）＝180°﹣ ∠， ∴∠＝60°． 4．如图，在△B 中，BD，D 分别平分∠B 和∠B，DE∥B，DF∥．若B＝6，则△DEF 的周长为 6 ． 解：∵BD 平分∠B， ∴∠BD＝∠EBD， ∵ED∥B， ∴∠BDE＝∠BD＝∠EBD， ∴BE＝ED． 同理可得DF＝F， ∴DE+EF+DF＝BE+EF+F＝B＝6． 故答为：6． 5．如图，已知D∥B，∠PB 的平分线与∠B 的平分线相交于E，E 的连线交P 于D．求证： D+B＝B． 证明：如图，延长BE 交P 于点F， ∵D∥B， ∴∠FE＝∠BE， ∵∠PB 的平分线与∠B 的平分线相交于E， ∴∠FE＝∠BE，∠BE＝∠BE， ∴∠FE＝∠BE， 在△FE 和△BE 中， ， ∴△FE≌△BE（S）， ∴FE＝BE，F＝B， 在△DEF 和△EB 中， ， ∴△DEF≌△EB（S）， ∴DF＝B， ∴D+B＝D+DF＝F＝B． 6．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D 平分∠B 交B 于点D，DE⊥于点E，BF∥DE 交D 于点 F．求证：DE＝BF． 证明：∵D 平分∠B， 1 ∴∠＝∠2， 1 ∵∠＝∠2，DE⊥，∠B＝90° ∴DE＝BD， 3 ∵∠＝90° 1 ﹣∠，∠4＝90° 2 ﹣∠， 3 ∴∠＝∠4， ∵BF∥DE， 4 ∴∠＝∠5， 3 ∴∠＝∠5， ∴BD＝BF， ∴DE＝BF． 7．如图，已知等腰直角三角形B 中，∠＝90°，B＝，BD 平分∠B，E⊥BD 于点E，若△BD 的面积为16，则BD 的长为（ ） ．16 B．8 ．6 D．4 解：方法一：过D 作DF⊥B 于F， ∵BD 平分∠B，∠＝90°， ∴D＝DF， ∵∠＝90°，B＝， ∴∠B＝∠B＝45°， ∴△DF 是等腰直角三角形， ∴DF＝F， 设D＝DF＝F＝x， ∴D＝ ＝ x， ∴B＝＝（1+ ）x， 在Rt△BD 与Rt△FBD 中， ， Rt ∴ △BD Rt ≌ △FBD（L）， ∴BF＝B＝（1+ ）x， ∴B＝BF+F＝（2+ ）x， ∵△BD 的面积为16， ∴ B•DF＝ ×（2+ ）x•x＝16， ∴x2＝16（2﹣ ）， ∴DF2＝16（2﹣ ），BF2＝16（ +2）， ∴BD＝ ＝8． 方法二： 延长延长E 和B 交于F， ∵∠＝90°，B＝， ∴∠F＝90°， ∵BD 平分∠B，BE⊥F， ∴∠BD＝∠BD，∠BE＝90°， ∵∠BD＝∠DE， ∴∠BD＝∠F， ∴△BD≌△F（S）， ∴BD＝F， ∵BE＝∠BE，BE⊥F， ∴F＝BD＝2E， 设E＝x，则BD＝2x， ∵△BD 的面积为16， ∴ BD•E＝ 2x•x＝16， ∴x＝4， ∴BD＝8， 故选：B． 8．如图，在△B 中，D 是∠B 的外角平分线，P 是D 上异于点的任一点，试比较PB+P 与B+ 的大小，并说明理由． 解：PB+P＞B+． 如图，在B 的延长线上取一点E，使E＝，连接EP， 由D 是∠B 的外角平分线，可知∠P＝∠EP， 又P 是公共边，E＝， 在△P 与△EP 中， ， ∴△P≌△EP（SS）， 从而有P＝PE，在△BPE 中，PB+PE＞BE， 而BE＝B+E＝B+， 故PB+PE＞B+， 所以PB+P＞B+． 9．已知：如图，在△B 中，∠B＝3∠，∠1＝∠2，BE⊥E． 求证：﹣B＝2BE． 证明：延长BE 交于M ∵BE⊥E， ∴∠EB＝∠EM＝90° 在△BE 中， 1+ 3+ ∵∠ ∠ ∠EB＝180°， 3 ∴∠＝90° 1 ﹣∠ 同理，∠4＝90° 2 ﹣∠ 1 ∵∠＝∠2， 3 ∴∠＝∠4， ∴B＝M ∵BE⊥E， ∴BM＝2BE， ∴﹣B＝﹣M＝M， 4 ∵∠是△BM 的外角 4 ∴∠＝∠5+∠ ∵∠B＝3∠，∴∠B＝∠3+ 5 ∠＝∠4+ 5 ∠ 3 ∴∠＝∠4+ 5 ∠＝2 5+ ∠ ∠ 5 ∴∠＝∠ ∴M＝BM ∴﹣B＝BM＝2BE 10．如图，BD、D 分别平分∠B、∠B，过点D 作直线分别交B、于点E、F，若E＝F，BE ＝4，F＝2，回答下列问题： （1）证明：ED＝FD； （2）试找出∠BD 与∠的数量关系，并说明理由； （3）求EF 的长． （1）证明：过D 点分别作DG⊥B，DK⊥B，D⊥，垂足分别为G，K，，如图， ∴∠EKD＝∠FD＝90°， ∵BD 平分∠B，D 平分∠B， ∴DK＝DG＝D， 在△EKD 和△FD 中， ， ∵E＝F ∴∠EF＝∠FE， ∴△EKD≌△FD（S）， ∴ED＝FD； （2）解：∠BD＝90°+ ∠． 理由如下： ∵BD 平分∠B，D 平分∠B， ∴∠DB＝ ∠B，∠DB＝ ∠B， ∴∠DB+∠DB＝ （∠B+∠B）， ∵∠BD+∠DB+∠DB＝180°， ∴∠BD+ （∠B+∠B）＝180°， + ∵∠∠B+∠B＝180°， ∴∠B+∠B＝180°﹣∠， ∴∠BD+ （180°﹣∠）＝180°， ∴∠BD＝90°+ ∠； （3）解：如图， ∵BD，D 分别平分∠B，∠B， 1 ∴∠＝∠2，∠3＝∠4， 2+ 7+ 4 ∵∠ ∠ ∠＝180°，∠5+ 6+ 7 ∠ ∠＝180°， 2+ 4 ∴∠ ∠＝∠5+ 6 ∠，即∠1+ 3 ∠＝∠5+ 6 ∠， ∵∠EF＝∠FE， 1+ 5 ∴∠ ∠＝∠3+ 6 ∠， 5 ∴∠＝∠3，∠1＝∠6， ∴△BED∽△ED， ∴ED：F＝BE：DF， ∵DE＝DF， 则ED2＝F⋅BE＝2×4＝8， 则ED＝ ， ∴EF＝2ED＝ ． 11．感知：如图1，D 平分∠B．∠B+∠＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝D． 探究：如图2，D 平分∠B，∠BD+∠D＝180°，∠BD＜90°，求证：DB＝D． 应用：如图3，四边形BD 中，∠B＝45°，∠＝135°，DB＝D＝，则B﹣＝ （用含 的代数式表示） 探究： 证明：如图②中，DE⊥B 于E，DF⊥于F， ∵D 平分∠B，DE⊥B，DF⊥， ∴DE＝DF， ∵∠B+∠D＝180°，∠D+∠FD＝180°， ∴∠B＝∠FD， 在△DF 和△DEB 中， ， ∴△DF≌△DEB（S）， ∴D＝DB． 应用：解：如图③连接D、DE⊥B 于E，DF⊥于F， ∵∠B+∠D＝180°，∠D+∠FD＝180°， ∴∠B＝∠FD， 在△DF 和△DEB 中， ∴△DF≌△DEB（S）， ∴DF＝DE，F＝BE， 在Rt△DF 和Rt△DE 中， ， ∴△DF≌△DE（L）， ∴F＝E， ∴B﹣＝（E+BE）﹣（F﹣F）＝2BE， 在Rt△DEB 中，∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝， ∴BE＝ ， ∴B﹣＝ ． 故答为 ． 12．如图，已知△B 的三个内角的平分线交于点，点D 在的延长线上，且D＝，B＝D，连 接BD． （1）求证：∠BD＝∠DB； （2）若∠B＝80°，求∠B 的长度． 证明：（1）∵△B 三个内角的平分线交于点， ∴∠＝∠B， 在△D 和△B 中， ， ∴△D≌△B（SS）， ∴D＝B，∠B＝∠D， ∴∠BD＝∠DB； （2）∵∠B＝80°， ∴∠BD＝100°， ∴∠B＝40°， ∴∠D＝140°， ∵D＝， ∴∠D＝20°， ∴∠B＝20°， ∴∠B＝40°， ∴∠B＝60°． 13．（1）如图①，在Rt△B 中，∠＝90°，∠B＝45°，D 平分∠B，交B 于点D．如果作辅助 线DE⊥B 于点E，则可以得到、D、B 三条线段之间的数量关系为 B ＝ + D ； （2）如图，△B 中，∠＝2∠B，D 平分∠B，交B 于点D．（1）中的结论是否仍然成立？ 若不成立，试说明理由；若成立，请证明． 解：（1）如图1，∵D 平分∠B， ∴∠D＝∠ED， 在△D 和△ED 中 ， ∴△D≌△ED（S）， ∴D＝DE，＝E， ∵∠B＝45°，∠DEB＝90°， ∴DE＝EB， ∴D＝BE， ∴E+BE＝+D＝B； 故答为：B＝+D． （2）