模型42 单、多角平分线模型（原卷版）

4 3 2 1 D A C B M 模型一、角平分线垂两边 模型二、角平分线垂中间 模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形 模型四、利用角平分线作对称模型 五、内外模型 考点一：角平分线垂两边模型 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，已知在四边形BD 中，∠BD＝90°，BD 平分∠B，B＝6，B＝9，D＝4，则 四边形BD 的面积是 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，已知：∠B＝∠＝90°，M 是B 的中点，DM 平分∠D． 求证：（1）M 平分∠DB； （2）D＝B+D． 【变式1-2】．已知：如图所示，点P 为∠B 的平分线上一点，P⊥于，∠P+∠BP＝180°， 求证：+B＝2． 考点二：角平分线垂中间模型 【例2】．如图，BD 是△B 的角平分线，E⊥BD，垂足为F．若∠B＝35°，∠＝50°，则∠DE 的度数为 ． 变式训练 【变式2-1】．如图，已知，∠B＝90°，B＝，BD 是∠B 的平分线，且E⊥BD 交BD 的延长 线于点E．求证：BD＝2E． 【变式2-2】．如图，在△B 中，∠B＝3∠，D 平分∠B，BE⊥D 于E，求证：BE＝ （﹣ B）．（提示：延长BE 交于点F）． 考点三：角平分线＋平行线构造等腰三角形 【例3】．如图，在Rt△B 中，M 平分∠B 交B 于点M，过点M 作M∥B 交于点，且M 平分 ∠M，若＝1，则B 的长为 ． 变式训练 【变式3-1】．如图，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线交于点E，过点E 作M∥B 交B 于M，交 于，若BM+＝9，则线段M 的长为 ． 【变式3-2】．（1）如图△B 中，BD、D 分别平分∠B，∠B，过点D 作EF∥B 交B、于点 E、F，试说明BE+F＝EF 的理由． （2）如图，△B 中，BD、D 分别平分∠B，∠G，过D 作EF∥B 交B、于点E、F，则 BE、F、EF 有怎样的数量关系？并说明你的理由． 考点四：利用角平分线作对称 【例4】．如图，在△B 中，∠B＝2∠，∠B 的角平分线交B 于D． 求证：B+BD＝． 变式训练 【变式4-1】．如图，在△B 中，∠B＝60°，D、E 分别平分∠B、∠B，求证：＝E+D． 【变式4-2】．如图，已知△B 中，B＝，∠＝100°，BD 平分∠B，求证：B＝BD+D． 【变式4-3】．如图，△B 中，D 是∠B 的平分线，E、F 分别为B、上的点，连接DE、 DF，∠EDF+∠B＝180°．求证：DE＝DF． 1．已知∠B＝80°，∠B＝50°，D 是∠B 的角平分线，E 是∠B 的角平分线，则∠DE＝ ． 2．（1）如图①在△B，∠＝90°，D 平分∠B，B＝6m，BD＝4m，那么点D 到B 的距离是 m （2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：P 平分∠B． 3．如图，已知在△B 中，BE、D 分别是∠B、∠B 的平分线，BE、D 相交于点，且BD+E＝ B．求∠的度数． 4．如图，在△B 中，BD，D 分别平分∠B 和∠B，DE∥B，DF∥．若B＝6，则△DEF 的周长为 ． 5．如图，已知D∥B，∠PB 的平分线与∠B 的平分线相交于E，E 的连线交P 于D．求证： D+B＝B． 6．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D 平分∠B 交B 于点D，DE⊥于点E，BF∥DE 交D 于点 F．求证：DE＝BF． 7．如图，已知等腰直角三角形B 中，∠＝90°，B＝，BD 平分∠B，E⊥BD 于点E，若△BD 的面积为16，则BD 的长为（ ） ．16 B．8 ．6 D．4 8．如图，在△B 中，D 是∠B 的外角平分线，P 是D 上异于点的任一点，试比较PB+P 与B+ 的大小，并说明理由． 10．如图，BD、D 分别平分∠B、∠B，过点D 作直线分别交B、于点E、F，若E＝F，BE ＝4，F＝2，回答下列问题： （1）证明：ED＝FD； （2）试找出∠BD 与∠的数量关系，并说明理由； （3）求EF 的长． 11．感知：如图1，D 平分∠B．∠B+∠＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝D． 探究：如图2，D 平分∠B，∠BD+∠D＝180°，∠BD＜90°，求证：DB＝D． 应用：如图3，四边形BD 中，∠B＝45°，∠＝135°，DB＝D＝，则B﹣＝ （用含的 代数式表示） 探究： 12．如图，已知△B 的三个内角的平分线交于点，点D 在的延长线上，且D＝，B＝D，连 接BD． （1）求证：∠BD＝∠DB； （2）若∠B＝80°，求∠B 的长度． 13．（1）如图①，在Rt△B 中，∠＝90°，∠B＝45°，D 平分∠B，交B 于点D．如果作辅助 线DE⊥B 于点E，则可以得到、D、B 三条线段之间的数量关系为 B ＝ + D ； （2）如图，△B 中，∠＝2∠B，D 平分∠B，交B 于点D．（1）中的结论是否仍然成立？ 若不成立，试说明理由；若成立，请证明． 14．如图①，B＝，BD 平分∠B，D 平分∠B． （1）①图中有哪几个等腰三角形？如图②，若过D 作EF∥B 交B 于点E，交于点F， 则图②比图①增加了几个等腰三角形？ （2）如图③，若B≠≠B，其他条件不变，则该图中有哪几个等腰三角形？请直接写出 线段EF，BE，F 之间的数量关系； （3）如图④，若∠B 的平分线B 与△B 的外角∠G 的平分线相交于点，过点作E∥B，交B 于点E，交于点F，这时图中有哪几个等腰三角形？请写出线段EF，BE，F 之间的数量 关系，并说明理由．