74 角平分线模型知识精讲

角平分线模型知识精讲 1 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的 性质来解决问题，例： 已知：P 是 平分线上的一点，过点P 作 于点M，过点P 作 于 点，则 2 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边 的垂线段，例： 已知：D 是 的平分线， ，过点D 作 于点E，则 3 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），例： 已知：点D 是 平分线上的一点，在、B 上分别取点E、F，且 ，连接 DE、DF，则 4 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例： 已知：点D 是 平分线上的一点，过点D 作 ，则 是等腰三角形， 即 证明： 是 的平分线， ， 又 ， 是等腰三角形 5 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点， 也可构造等腰三角形，例： 已知：平分 ，点D 是上一点，过点D 作 交B 的反向延长线于点E，则 6 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰 三角形，例： 已知：E 平分∠B，点D 在上，DE⊥E，则可延长DE 交B 于点F，则DE＝EF，D＝F， ∠DF＝∠FD 7 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等 的角构造相似三角形，例： （1）已知：平分 ，点E、F 分别在、B 上，过点E 作 于点M，过点F 作 于点，则 ，如图所示： （2）已知：平分 ，点E、F 在上，作 于点M，作 于点，则 ，如图所示： （3 ）已知：平分 ，点E 、F 在上，作 ，则 ，如图所示： 8 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例： 已知：∠B 是圆的圆周角，∠DE 是圆的圆心角，F 平分∠B，G 平分∠DE，连接BF、F、 DG、EG，则BF＝F，DG＝EG 9 【内内模型】如图， 两个内角平分线交于点D，则 证明： 平分 ， 平分 ， ， 在 中， ① 在 中， ② ， 由 得 ， 即 10 【内外模型】如图， 的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D，则 4 3 2 1 D A C B M 证明： 平分 ， 平分 ， ， 在 中， ，即 ① 在 中， ② 由 得 ，即 11 【外外模型】如图， 两个外角的角平分线交于点D，则 4 2 3 1 D A E F C B 证明： 平分 ， 平分 ， ， 在 中 ， ， 即 ① ② 由①＝②，得 ， 在 中， ， ， ， 即 ， 由④可得 ，代入③式可得 ， 整理可得 三角形几何模型-双角平分线（知识讲解） 模型1：内角平分线+内角平分线模型 如图一 模型2：内角平分线+外角平分线模型 如图二 模型三：外角平分线+外角平分线模型 如图三 模型四：飞镖+角平分线模型 1、飞镖模型内角关系模型： 图四 2、飞镖模型“内角平分线+内角平分线”模型： 图五 类型一、内角平分线+内角平分线模型 1．如图，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线相交于点P． （1）若∠B+∠B＝130°，求∠BP 的度数． （2）当∠为多少度时，∠BP＝3∠？ 【答】（1） ；（2） 【分析】 （1）根据角平分线的定义，求得 ， ，再根据三角形内角和定理即可求得 ； （2）根据（1）的方法求得 ，再结合条件∠BP＝3∠，解方程即可求得∠． 解：（1） 平分 ， 平分 ， ， B+ B ∠ ∠＝130°， ， ， （2） 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， BP ∠ ＝3∠ ， ． 【点拨】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和 定理是解题的关键． 类型二、内角平分线+外角平分线模型 2．如图，在△B 中，．∠B 与∠D 的平分线交于点1，得∠1；∠1B 与∠1D 的平分线相交 于点2，得∠2； ……；∠2013B 与∠2013D 的平分线相交于点2014，得∠2014 ．如果∠＝度，则∠2014 ＝___________度．（直接用含的代数式表示） 【答】 解：由∠D= + B ∠∠，∠1D=∠1+∠1B 可得∠= D – B ∠ ∠，∠1=∠1D –∠1B；又因∠1D= D ∠， ∠1B= B ∠，所以，∠1=∠1D –∠1B= D— ∠ B= ∠ （∠D— B ∠），即可得到∠1= ∠同理 可得∠2= ∠1= × …… = ∠ ∠ ∠所以∠2014= = ∠ = 考点：三角形内角和定理；三角形外角的性质 类型三、 外角平分线+外角平分线模型 3．如图，△B 中，分别延长△B 的边B、到D、E，∠BD 与∠BE 的平分线相交于点P， 爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律： (1)若∠＝60°，则∠P＝ °； (2)若∠＝40°，则∠P＝ °； (3)若∠＝100°，则∠P＝ °； (4)请你用数学表达式归纳∠与∠P 的关系 ． 【答】(1)65；(2)45；(3)40； (4) P=90°- ∠ ∠，理由见解析 解：试题分析：（1）若∠=50°，则有∠B+ B=130° ∠ ，∠DB+ BE=360°-130°=230° ∠ ，根据角 平分线的定义可以求得∠PB+ PB ∠ 的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P 的度数； （2）、（3）和（1）的解题步骤类似；（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可 求出∠BP= （∠+ B ∠），∠BP= （∠+ B ∠）；再利用三角形内角和定理即可求出∠与∠P 的关系． 考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质． 点评：本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．关键是熟练掌握三角形的一 个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义． 类型四、 飞镖内角平分线+内角平分线模型 4．如图， 平分 ， 平分 ， 与 交于点 ，若 ， ，则 （ ） ．80° B．75° ．60° D．45° 【答】 【分析】连接 先求解 再求解 可得 再 利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内 角和定理可得 的大小 解：连接 平分 ， 平分 ， 故选： 【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的 内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键 角平分线模型巩固练习 1．如图，四边形BD 中，∠BD＝90°，BD 平分∠B，B＝8，BD＝13，B＝12，则四边形 BD 的面积为（ ） ．50 B．56 ．60 D．72 【解答】 【解析】过D 作DE⊥B，交B 的延长线于E，则∠E＝∠＝90°， ∠ ∵ BD＝90°，BD 平分∠B， ∴DE＝D， 在Rt△BD 中，由勾股定理得： ∴DE＝5， 在Rt△BED 中，由勾股定理得： ， ∵B＝8， ∴E＝BE﹣B＝12 8 ﹣＝4， ∴四边形BD 的面积S＝S△BD+S△BED﹣S△ED ＝50， 故选：． 2．如图，Rt△B 中，∠＝90°，BD 平分∠B 交边于点D，过点D 作B 的平行线交B 于点 E．已知D＝3，DE＝4，则下列结论正确的是（ ） ．E＝BE B．DE 垂直平分 ． D． 【解答】D 【解析】过D 点作DF⊥B 于点F， ∵Rt△B 中，∠＝90°，BD 平分∠B 交边于点D， ∴D＝DF， ∵过点D 作B 的平行线交B 于点E． ∴DE∥B， ∠ ∴ DE＝∠＝90°， ∵D＝3，DE＝4， ∴ ， ∴ ， ∴D＝DF＝ ≠3，故DE 不能平分，故B 说法错误； ∵ ， ∴E≠BE，故说法错误； ∵ ， ∴故说法错误； ∵ ，故D 说法正确； 故选：D． 3．如图，△B 的外角∠B，∠DB 的平分线P，BP 相交于点P，PE⊥于E，PF⊥D 于F，下 列结论：（1）PE＝PF；（2）点P 在∠D 的平分线上；（3）∠PB＝90° ∠ ﹣ ，其中正确的 有（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【分析】 【解析】（1）证明：作P⊥B 于， ∵P 是∠B 的平分线， ∠ ∴ PE＝∠P， 在△PE 和△P 中， ， △ ∴PE △ ≌P（S）， ∴PE＝P， ∵BP 平分∠BD，且P⊥B，PF⊥BD， ∴PF＝P， ∴PE＝PF， ∴（1）正确； （2）与（1）可知：PE＝PF， 又∵PE⊥于E，PF⊥D 于F， ∴点P 在∠D 的平分线上， ∴（2）正确； （3）∵∠+∠EP+∠EPF+∠FP＝360°， 又∵∠EP+∠FP＝90°+90°＝180°， ∠+∠ ∴ EPF＝180°， 即∠+∠EP+∠P+∠PB+∠FPB＝180°， 由（1）知：△PE △ ≌P， ∠ ∴ EP＝∠P， 同理：∠FPB＝∠PB， ∠+2 ∴ （∠P+∠PB）＝180°， 即∠+2∠PB＝180°， ∠ ∴ PB＝90°﹣ ， ∴（3）错误； 故选：． 4 在 中，∠=90° ，D 平分∠B ，BE 平分∠B ，D 、BE 相交于点F ，且 ，则= ． 【解答】 【解析】过点E 作 于G，连接F，如图所示： 分别是 和 的平分线， ，F 是 的平分线， ， 在 中， ， 由勾股定理可得 5 如图，在 中， ， ， 、 的平分线相交于点E，过点E 作 交于点F，则EF 的长为 【解答】 【解析】延长FE 交B 于点D，作 于点G，作 于点，如图所示： 四边形BDEG 是矩形， 平分 ，E 平分 ， 四 边形BDEG 是正方形，在 和 中， ， 同理可得 ， 设 ，则 ， ， ， 解 得 ， ， ， 即 ， 解 得 ， 6．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，BE 平分∠B，E⊥BE 于点E，连接E．若＝B＝4，则 △BE 的面积为 ． 【解答】4 【解析】作E⊥B 于，EK⊥B 于K．在EB 上取一点，使得E＝E，连接．设E＝E＝m． ∵在Rt△B 中，∠B＝90°，＝B＝4， ∴B＝ ， ∵BE 平分∠B，E⊥BE 于点E， ∠ ∵ B＝45°，BE 平分∠B， ∠ ∴ BE＝225°， ∵E＝E＝m，∠E ＝90°， ∠ ∴ E＝45°， ∠ ∵ E＝∠B+∠B， ∠ ∴ B＝∠B＝225°， ∴＝B＝ m， ∴EB＝m+ m， ∵E2+EB2＝B2， ∴m2+（m+ m）2＝42， ∴m2＝8 4 ﹣ ， ∴S△EB＝ •E•EB＝ •m（m+ m）＝ •（1+ ）m2＝2 ， ∵EB 平分∠B，E⊥B，EK⊥B， ∴E＝EK， ∴ ， ∴S△EB＝2 × ＝4． 解法二：延长E 交B 于点F，证明△BE 的面积等于△B 的一半，可得S△EB＝4． 故答为4． 7 如图， ，BE 平分 ，E 平分 ，点E 在D 上，求证： 【解答】见解析 【解析】在直线B 上截取 ，连接EF，如图所示： 在 和 中 ， ， ， 在 和 中， ， 又 ，即 8 如图，在 中， 三条角平分线相交于点P，求点 P 到B 的距离 【解答】3 【解析】过点P 作 于点D， 于点E， 于点F，如图所示： ， 点P 是 三条角平分线的交点， ， 又 ， 即 ， 点P 到B 的距离为3 9 如图，在 中，B 为直径，D 平分 交 于点D ，求证： 【解答】见解析 【解析】连接D、BD，过点作 ，过点B 作 ，垂足分别为点M、，如 图所示： 是 的 直 径 ， D 平 分 交 于 点 D ， ， 与 都是等腰直角三角形， 在 中， ， 在 中， ， ， 是 的直径， ， ， 又 ， 10 如图， 和 都是等腰直角三角形， ， 的 顶点在 的斜边DE 上，若 ，求两个三角形的重叠部分面积 是多少？ 【解答】重叠部分面积为 【解析】连接BD，B 与D 相交于点，过点作 于点M，⊥BD 于点，如图所示： 又 ， ， ， 在 中 ， 由 勾 股 定 理 可 得 ， 在 中， ，解得 ， 平分 ， 又 于点M， 于点， ， ， ， 11．已知：如图，D∥B，DB 平分∠D，E 平分∠BD，交B 于点E，BD 于点．求证：点到 EB 与ED 的距离相等． 【解答】见解析 【解析】证明：∵D∥B， ∠ ∴ D+∠BD＝180°， ∵DB 平分∠D，E 平分∠BD， ∠ ∴ D+∠D＝90°， ∠ ∴ D＝90°， ∠ ∴ D＝∠B， 又∵＝，∠D＝∠B， △ ∴D △ ≌B（S） ∴B＝D， ∴B＝D， ∴E 是BD 的垂直平分线， ∴EB＝ED，又∠D＝90°， ∴E 平分∠BED， ∴点到EB 与ED 的距离相等． 12．如图，DE⊥B 于E，DF⊥于F，若BD＝D、BE＝F． （1）求证：D 平分∠B； （2）直接写出B+与E 之间的等量关系． 【解答】（1）见解析；（2）B+＝2E． 【解析】（1）证明：∵DE⊥B 于E，DF⊥于F， ∠ ∴ E＝∠DF＝90°， △ ∴BDE 与△DF 均为直角三角形， ∵ △ ∴BDE △ ≌DF， ∴DE＝DF，即D 平分∠B； （2）B+＝2E． 证明：∵BE＝F，D 平分∠B， ∠ ∴ ED＝∠D， ∠ ∵ E＝∠FD＝90°， ∠ ∴ DE＝∠DF， 在△ED 与△FD 中， ∵ ， △ ∴ED △ ≌FD， ∴E＝F， ∴B+＝E﹣BE+F+F＝E+E＝2E．