小学奥数基础：和差倍问题图形化解题策略专项训练 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 甲、乙两数之和为48，甲比乙多8 ，则甲数是（）。 A. 20 B. 28 C. 30 D. 32 2. “ 用线段图表示苹果比梨多3 ” 倍的关系，正确的是（）。 A. 苹果线段长度是梨的3 倍 B. 苹果线段长度是梨的4 倍 C. 梨线段长度是苹果的3 梨线段长度是苹果的3 倍 D. 梨线段长度是苹果的4 倍 3. 若两数之差是15，较小数的4 倍等于较大数，则较大数是（）。 A. 20 B. 25 C. 30 D. 45 4. 哥哥和妹妹共有糖果30 颗，哥哥的糖果是妹妹的2 倍。若用线段 图表示，妹妹的糖果应画（）份。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 一个长方形周长40 厘米，长比宽多6 80÷2 D. 10÷2 7. 红球数量是蓝球的3 倍，且红球比蓝球多12 个。蓝球有（）个。 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 两数之和为60，大数是小数的2 倍。小数是（）。 A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 9. 书架上下两层共有书90 本，上层书是下层的2 倍少6 本。下层书 数量为（）。 A. 32

18 因动点产生的线段和差问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例15 2023 年张家界市中考第23 题 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋的图像与x 轴交于点(－2, 0)和点 B(6, 0)，与y 轴交于点(0, 6)．点D 为线段B 上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求△D 周长的最小值； （3）如图2，过动点D

倍半角模型知识精讲 一、二倍角模型处理方法 1 作二倍角的平分线，构成等腰三角形 例：如图，在△B 中，∠B＝2∠，作∠B 的平分线交于点D，则∠DB＝∠，DB＝D，即△DB 是 等腰三角形 2 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形 例：如图，在△B 中，∠B＝2∠，延长B 到点D，使得BD＝B，连接D，则△BD、△D 都是等 腰三角形 例题：如图，在△B 中，＝E，∠D＝∠ED，D＝D， ∴△D≌△ED，∴∠＝∠E ， 又∵∠DB＝∠D＝∠，∴∠E＝∠DB，∴D＝DE，∴∠B＝90º 二、倍半角综合 1 由“倍”造“半” 已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可 如图，若 ，则 （ ） 2 由“半”造“倍” 已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可 如图，在Rt△B（∠＜45º）的直角边上取点D，当BD＝D 时，则∠BD＝2∠，设 三边比为 ，若 ， 则 ； （2）如图2，Rt△B 三边比为3:4:5，Rt△BD 三边比为 ，若 ， 则 ； （3）如图3，Rt△B 三边比为3:4:5，Rt△BD 三边比为 ，若 ，则 倍半角模型巩固练习（提优） 1 如图，在正方形BD 中，点E、F 分别在B、B 上，且∠FDE＝45º，连接DE、DF、 EF，试探究EF、F、E 之间的数量关系 【解答】EF＝F＋E，证明见解析

全等模型—倍长中线模型 夯实双基，稳中求进 倍长中线模型 题型一：求三角形中线取值范围 【例1】（2021·重庆市暨华中学校八年级月考）在 中， ，中线 ，则 边的取值范围 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】延长D 至E，使DE=D，然后利用“边角边”证明△BD 和△ED 全等，根据全等三角形对应边相等 可得B=E，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出E 归类探究 三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线 三角形边长的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边 倍长中线定义：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶 点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之 间的关系（通常用“SS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 ∴E=7+7=14， 14+5=19 ∵ ，14-5=9， 9 ∴＜E＜19， 即9＜B＜19． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之 差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 变式训练 【变式1-1】（2021·全国）如图， 是 的边 上的中线， ，则 的取值范围为（ ） ． B． ． D． 【答】

二倍角、半角问题 一、方法突破 既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半 角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角 的方法也并不唯一，常用如下： 思路1：构造半角三角函数． tan α 2 = a b+ a2+b2 tanα= a b a2+b2 a2+b2 b a α 2 α 构造二倍角三角函数： 构造二倍角三角函数： 勾股定理可求二倍角三角函数值 2α α α 思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和． α α 2α 二、典例精析 例一：如图，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，抛 物线 经过、B 两点且与x 轴的负半轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D 为直线B 上方抛物线上的一个动点，当∠BD=2∠B 时，求点D x C B A O O A B C D x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）思路：转化为等角 本题中的∠B 和∠BD 是内错角，若是构造∠BD=∠B，作平行线即可． 两倍角亦可以作平行构造出， 过B 作x 轴的平行线， 作B 关于平行线对称的直线，与抛物线交点即为D 点． D α α α O A B C x y 考虑到 ，故 ， 可得直线BD 解析式为：

2025 年六升七数学衔接期角的和差计算与实际问题试卷及答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. ∠ 若 A=35° ∠ ，则 A 的余角是（） A. 55° B. 145° C. 35° D. 65° 2. 两个角的和是180° ，这两个角的关系是（） A. 余角B. 邻补角C. 对顶角D. 同位角 3. 用一副三角板不能拼出的角度是（） 若两个角的和是90° ，则这两个角互为补角。（） 3. 对顶角一定相等。（） 4. 一个角的补角一定大于这个角。（） 5. ∠ 若 A=60° ∠ ，则 A 的余角与补角的差是30° 。（） 6. 两个锐角的和可能是钝角。（） 7. 只有锐角才有余角。（） 8. 钟表上3:30 时，时针与分针的夹角是75° 。（） 9.

专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添 加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 边关系即可得出答；（2）延长FD 至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出 ，根据垂直平分线 的性质可得出 ，利用三角形三边关系即可得出结论； （3）延长B 至，使B=DF，连接，可得 ，证明 ，得出 ， 利用角的和差关系可推出 ，再证明 ，得出 ，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 在 中根据三角形三边关系可得出： ，即 ∴ 故答为： ； （2）延长FD 至M，使DF=DM，连接BM，EM， 的中点，连接DF，F．请你判断线段DF 与D 的数量关系，并 给出证明； 【答】(1)见解析(2)线段DF 与D 的数量关系为：D＝2DF，证明见解析； 【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论． （2）运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论． （1）证明：如图，延长D 至M，使MD＝FD，连接M， 在△BDF 和△DM 中，∵ ，

专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添 加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 逆时针旋转120°得到线段DE．F 是线段BE 的中点，连接DF，F．请你判断线段DF 与D 的数量关系，并 给出证明； 模型2 截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句， 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

至少翻一倍 1、发生时间(背景):不限 2.地点:不限 3.人物(造型、性格、穿着) :我,妹子 4,起因:快要结婚了,我嫌弃厂里工资太低,就辞职干了外卖,经常有个妹子主动找 我说话,我知道我还是有点帅气的, 5．经过与对话: 昨天又跟那个妹子送外卖,她说: “就凭你长相,靠跑腿赚钱实在浪费。 我说:“没办法我要结婚了,哪个挣钱干哪行 妹子接着说: "就凭你长相,你拿个碗一蹲,保准你赚的至少翻八翻。

中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点（2，4），过点的直 线y＝kx+b（k＞0）与x 轴、y 轴分别交于B，两点． （1）求正比例函数的表达式； （2）若△B 的面积为△B 的面积的 倍，求直线y＝kx+b 的表达式； （3）在（2）的条件下，若一条平行于的直线DE 与直线B 在第二象限内相交于点D， 与y 轴相交于点E，连接D，当平分∠D 时，求点D 的坐标． 解：（1）把点