专题56 一次函数中的倍、半角问题（解析版）(1)

【例1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4 的图象与x 轴、y 轴分别交于 点和点B，过点B 的直线B：y＝kx+b 交x 轴于点（﹣8，0）． （1）k 的值为 ； （2）点M 为直线B 上一点，若∠MB＝∠B，则点M 的坐标是 （ 2 ， 5 ）或（﹣ 2 ， 3 ） ． 解：（1）在y＝﹣2x+4 中，令x＝0 得y＝4， ∴B（0，4）， 把B（0，4），（﹣8，0）代入y＝kx+b 得： ， 解得 ， ∴k 的值为 ， 故答为： ； （2）如图： 例题精讲 由（1）知，直线B：y＝ x+4， 设M（m， m+4），则BM＝ ＝ |m|， 在y＝﹣2x+4 中，令y＝0 得x＝2， ∴（2，0）， ∵B（0，4），（﹣8，0）， ∴B2＝（2 0 ﹣）2+（0 4 ﹣）2＝20，2＝（2+8）2+（0+0）2＝100，B2＝（0+8）2+（4﹣ 0）2＝80， ∴B2+B2＝2，B＝2 ， ∴∠B＝90°＝∠B， 若∠MB＝∠B，则△B∽△MB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得m＝2 或m＝﹣2， ∴M（2，5）或（﹣2，3）， 故答为：（2，5）或（﹣2，3）． 变式训练 【变1-1】．如图，直线y＝﹣x 4 ﹣交x 轴和y 轴于点和点，点B（0，2）在y 轴上，连接 B，点P 为直线B 上一动点． （1）直线B 的解析式为 y ＝ x +2 ； （2）若S△P＝S△，求点P 的坐标； （3）当∠BP＝∠B 时，求直线P 的解析式及P 的长． 解：（1）∵直线y＝﹣x 4 ﹣交x 轴和y 轴于点和点， ∴点（﹣4，0），点（0，﹣4）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， 由题意可得： ， 解得： ， ∴直线B 的解析式为y＝ x+2， 故答为：y＝ x+2； （2）∵点（﹣4，0），点（0，﹣4），点B（0，2）， ∴＝＝4，B＝2， ∴B＝6， 设点P（m， m+2）， 当点P 在线段B 上时， ∵S△P＝S△， ∴S△B﹣S△PB＝ ×4×4， ∴ ×6×4﹣ ×6×（﹣m）＝8， ∴m＝﹣ ， ∴点P（﹣ ， ）； 当点P 在B 的延长线上时， ∵S△P＝S△， ∴S△PB﹣S△B＝ ×4×4， ∴ ×6×（﹣m）﹣ ×6×4＝8， ∴m＝﹣ ， ∴点P（﹣ ，﹣ ）， 综上所述：点P 坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ）； （3）如图，当点P 在线段B 上时，设P 与交于点， 在△B 和△中， ， ∴△B≌△（S）， ∴＝B＝2， ∴点坐标为（﹣2，0）， 设直线P 解析式y＝x+， 由题意可得 ， 解得： ， ∴直线P 解析式为y＝﹣2x 4 ﹣， 联立方程组得： ， 解得： ， ∴点P（﹣ ， ）， ∴P＝ ＝ ， 当点P'在B 延长线上时，设 P'与x 轴交于点'， 同理可求直线P'解析式为y＝2x 4 ﹣， 联立方程组 ， ∴点P（4，4）， ∴P＝ ＝4 ， 综上所述：P 的解析式为：y＝﹣2x 4 ﹣或y＝2x 4 ﹣；P 的长为 或4 ． 【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线D：y＝﹣x+4 交y 轴于点，交x 轴于点D． 直线B 交x 轴于点B（﹣3，0），点P 为直线B 上的动点． （1）求直线B 的关系式； （2）连接PD，当线段PD⊥B 时，直线D 上有一点动M，x 轴上有一动点，直接写出 △PM 周长的最小值； （3）若∠P＝ ∠B，直接写出点P 的纵坐标． 解：（1）在y＝﹣x+4 中，令x＝0 得y＝4， ∴（0，4）， 设直线B 的关系式为y＝kx+4，把B（﹣3，0）代入得： 3 ﹣k+4＝0， 解得k＝ ， ∴直线B 的关系式为y＝ x+4； （2）设P（m， m+4）， ∵PD⊥B， ∴BP2+PD2＝BD2， ∵B（﹣3，0），D（4，0）， ∴（m+3）2+（ m+4）2+（m 4 ﹣）2+（ m+4）2＝49， 解得m＝﹣3（与B 重合，舍去）或m＝﹣ ， ∴P（﹣ ， ）， 作P 关于x 轴的对称点S，连接PS 交x 轴于R，延长RP 交直线D 于K，过K 作 KT⊥RK，取KT＝KP，如图： ∴S（﹣ ，﹣ ）， ∵∠DKR＝∠D＝45°，KT⊥RK， ∴∠DKR＝45°＝∠DKT， ∵KT＝KP， ∴P，T 关于直线D 对称， 连接TS 交D 于M，交x 轴于，则此时△PM 周长的最小，最小值即为TS 的长， 在y＝﹣x+4 中，令x＝﹣ 得y＝ ， ∴K（﹣ ， ）， ∴PK＝KT＝ ， ∵KS＝ + ＝ ， ∴TS＝ ＝ ， ∴△PM 周长的最小值为 ； （3）当P 在y 轴左侧时，过P 作P⊥y 轴于，在下方取＝，连接P，若此时P＝，则∠P ＝∠B＝2∠P，如图： ∵B＝3，＝4， ∴ ＝ ＝ ， 设P＝3t，则＝＝4t， ∴P＝5t＝， ++ ∵ ＝＝4， 5 ∴t+4t+4t＝4，解得t＝ ， ∴＝9t＝ ， ∴P 的纵坐标为 ； 当P 在y 轴右侧时，过P 作PF⊥y 轴于F，如图： ∵∠B＝2∠P， ∴∠P+∠P＝2∠P， ∴∠P＝∠P， ∴＝P＝4， ∵ ＝ ＝ ， ∴F＝ ， ∴F＝ ， ∴P 的纵坐标为 ， 综上所述，P 的纵坐标为 或 ． 【例2】．如图，直线y＝kx+b 与直线y＝﹣x+4 相交于点（2，2），与y 轴交于点B（0， ﹣2）． （1）求直线y＝kx+b 的函数表达式； （2）若直线y＝﹣x+4 与y 轴交于点D，点P 在直线y＝﹣x+4 上，当∠B＝∠PD 时，直 接写出点P 的坐标． 解：（1）∵直线y＝kx+b 与直线y＝﹣x+4 相交于点（2，2），与y 轴交于点B（0，﹣ 2）． ∴ ， ， ∴直线y＝kx+b 的函数表达式为y＝2x 2 ﹣； （2）①点P 在y 轴右侧时， ∵∠B＝∠PD， ∴P∥B， ∵直线B 的函数表达式为y＝2x 2 ﹣， ∴直线P 为y＝2x． 联立y＝﹣x+4 得： ， 解得x＝ ， ∴P（ ， ）； ②点P 在y 轴左侧时，过点作M⊥x 轴于M，减P 于，设B 交x 轴于点， ∴∠M＝∠B＝90°， ∵（2，2）， ∴M（0，2）， ∵B（0，﹣2）， ∴M＝B＝2， ∵∠B＝∠PD， ∴△B≌△M， ∴M＝， ∵直线B 的函数表达式为y＝2x 2 ﹣， ∴点（1，0）， ∴＝1， ∴M＝1， ∴（﹣1，2）， 设直线的函数表达式为y＝mx， ∴﹣x＝2，解得x＝﹣2， ∴直线的函数表达式为y＝﹣2x， 联立y＝﹣x+4 得： ， 解得x＝﹣4， ∴P（﹣4，8）． 综上所述：点P 坐标为（ ， ）或（﹣4，8）． 变式训练 【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为y＝﹣ x+b，它与坐标轴分 别交于、B 两点，已知点B 的纵坐标为4． （1）求出点的坐标． （2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q 使得∠QB＝90°？若存在，求点Q 的坐标； 若不存在，请说明理由． （3）点P 为y 轴上一点，连结P，若∠P＝2∠B，求点P 的坐标． 解：（1）∵B 的纵坐标为4．直线ly＝﹣ x+b，与坐标轴分别交于、B 两点， ∴点B（0，4）， 将点B（0，4）代入直线l 的解析式y＝﹣ x+b 得：b＝4， ∴直线l 的解析式为：y＝﹣ x+4， 令y＝0 得：x＝3， ∴（3，0）； （2）存在， ∵（3，0），B（0，4）， ∴B＝ ＝ ＝5， ∵Q 在第一象限的角平分线上， 设Q（x，x）， 根据勾股定理： QB2+B2＝Q2， x2+（x 4 ﹣）2+52＝x2+（x 3 ﹣）2， 解得x＝16， 故Q（16，16）； （3）如图： ①当点P 为y 轴正半轴上一点时， ∵∠P＝2∠B，∠P＝∠B+∠PB， ∴∠B＝∠PB， ∴P＝PB， 设P（0，p）， ∴P2＝PB2， 3 ∴2+p2＝（4﹣p）2， ∴p＝ ， ∴P（0， ）； ②当点P 为y 轴负半轴上一点时， ∠P′P＝∠P＝2∠B， ∴P＝P′， ∵⊥PP′， ∴P′＝P＝ ， ∴P′（0，﹣ ）． 综上所述：点P 的坐标为（0， ）或P（0，﹣ ）． 【变2-2】．如图1，已知函数y＝ x+3 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点与点关于y 轴 对称． （1）求直线B 的函数解析式； （2）设点M 是x 轴上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交直线B 于点P，交直线 B 于点Q． ①若△PQB 的面积为 ，求点Q 的坐标； ②点M 在线段上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠B，直接写出P 的坐标． 解：（1）对于y＝ x+3， 由x＝0 得：y＝3， ∴B（0，3）． 由y＝0 得： x+3＝0，解得x＝﹣6， ∴（﹣6，0）， ∵点与点关于y 轴对称． ∴（6，0） 设直线B 的函数解析式为y＝kx+b， ∴ ，解得 ， ∴直线B 的函数解析式为y＝﹣ x+3； （2）①设点M（m，0），则点P（m， m+3），点Q（m，﹣ m+3）， 过点B 作BD⊥PQ 与点D， 则PQ＝|﹣ m+3﹣（ m+3）|＝|m|，BD＝|m|， 则△PQB 的面积＝ PQ•BD＝ m2＝ ，解得m＝± ， 故点Q 的坐标为（ ，3﹣ ）或（﹣ ，3+ ）； ②如图2，当点M 在y 轴的左侧时， ∵点与点关于y 轴对称， ∴B＝B， ∴∠B＝∠B， ∵∠BMP＝∠B， ∴∠BMP＝∠B， ∵∠BMP+∠BM＝90°， ∴∠BM+∠B＝90° ∴∠MB＝180°﹣（∠BM+∠B）＝90°， ∴BM2+B2＝M2， 设M（x，0），则P（x， x+3）， ∴BM2＝M2+B2＝x2+9，M2＝（6﹣x）2，B2＝2+B2＝62+32＝45， ∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣ ， ∴P（﹣ ， ）， 如图2，当点M 在y 轴的右侧时， 同理可得P（ ， ）， 综上，点P 的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）． 1．如图，平面直角坐标系中，直线B 与x 轴、y 轴分别交于点（4，0）、点B（0，2）． （1）求直线B 的表达式； （2）设点为线段B 上一点，过点分别作D⊥x 轴、E⊥y 轴，垂足分别为D、E，当平分 ∠B 时，求点的坐标． 解：（1）设直线B 的表达式为：y＝kx+b， 把（4，0）、B（0，2）代入y＝kx+b 得： ， 解得： ， ∴直线B 的表达式为： ； （2）设点的坐标为 ． ∵D⊥x 轴、E⊥y 轴，平分∠B， ∵D＝E， ∴ ．解得 ， ∴点的坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线B 与x 轴交于点（8，0），与y 轴交于B（0，8）， 点D 为延长线上一动点，以BD 为直角边在其上方作等腰三角形BDE，连接E． （1）求证∠ED＝∠B； （2）求直线E 与y 轴交点F 的坐标． （1）证明：过点E 作EG⊥x 轴，如图1 所示， ∴∠EGD＝∠DB＝∠EDB＝90°，ED＝DB， 1+ 2 ∴∠ ∠＝90°，∠2+ 3 ∠＝90°， 1 ∴∠＝∠3， 在△EGD 和△DB 中， ， ∴△EGD≌△DB（S）， ∴EG＝D，GD＝B， ∵（8，0），B（0，8）， ∴B＝＝8， ∴GD＝， ∴D＝D+＝D+DG＝G， ∴EG＝G， ∴∠EG＝∠GE＝45°， 又＝B＝8， ∴∠B＝∠B＝45°， ∴∠ED＝∠B； （2）解：如图2， ∵∠ED＝45°，∠F＝90°， ∴∠F＝∠F＝45°， ∴＝F＝8， ∴点F 的坐标为（0，﹣8）． 3．如图1，直线y＝﹣x+b 分别交x，y 轴于，B 两点，点（0，2），若S△B＝2S△． （1）求b 的值； （2）若点P 是射线B 上的一点，S△P＝S△P，求点P 的坐标； （3）如图2，过点的直线交直线B 于点E，已知D（﹣1，0），∠BE＝∠D，求直线E 的解析式． 解：（1）∵直线y＝﹣x+b 分别交x，y 轴于，B 两点， ∴点（b，0），点B（0，b）， ∴S△B＝ ＝ ，S△＝ ＝ ， ∵S△B＝2S△， ∴ ， 解得b＝6； （2）由（1）知b＝6，直线B 表达式为y＝﹣x+6， ∴点坐标（6，0），B 点坐标（0，6）， 设直线的表达式为y＝kx+b，将点、代入得， ，解得 ， ∴直线的解析式为y＝ x+2， ①当点P 在第一象限时，过点P 作PQ⊥x 轴，交于点Q，设Q（x，﹣ x+2），则点P （x，﹣x+6）， 方法一： ∴PQ＝﹣x+6﹣（﹣ x+2）＝﹣ +4， ∴S△P＝S△PQ+S△PQ ＝ + ＝12 2 ﹣x， S△P＝ ＝x， ∵S△P＝S△P，即12 2 ﹣x＝x，解得：x＝4，则P 点坐标（4，2）； 方法二：∵S△P＝S△B﹣S△BP， ∴S△P＝ ﹣ ＝ ＝12 2 ﹣x， ∵S△P＝ ＝ ， ∴S△P＝S△P， 12 2 ∴ ﹣x＝x， 解得x＝4， ∴P（4，2）； ②当P 点在第二象限时，设点P（x，﹣x+6）， ∴S△P＝S△PB+S△B ＝ + ＝12 2 ﹣x， S△P＝ ＝﹣x， ∵S△P＝S△P，即12 2 ﹣x＝﹣x，解得：x＝12， ∴第二象限x＜0，x＝12 不符合题意舍去， ∴P 点坐标（4，2）； （3）过点作F⊥B 于点F， ∵F⊥B，直线B 解析式为y＝﹣x+6，且点（0，2）， ∴可得直线F 的解析式为y＝x+2， 联立得 ，解得 ，即交点F 坐标（2，4）， ∴F＝ ＝2 ， 设点E（x，﹣x+6）， ∴EF＝ ＝ （x 2 ﹣）， ∵∠BE＝∠D，∠D＝∠FE＝90°， ∴△D∽△EF， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：x＝3， ∴点E 坐标（3，3），点（0，2）， 设直线E 解析式为y＝x+b，将点E、代入得 ，解得 ， ∴直线E 的解析式为y＝ ． 解法二：如图，过点D 作DF⊥D 交E 于点F，过点F 作F∠D 于，设E 交x 轴于点G． ∵∠BE＝∠D， ∴∠B+∠EG＝∠EG+∠DG， ∴∠DG＝∠＝45°， ∴D＝DF， ∵∠FD+∠D＝90°，∠D+∠D＝90°， ∴∠D＝∠FD， ∵∠FD＝∠D＝90°， ∴△FD≌△D（S）， ∴F＝D＝1，D＝＝2， ∴F（﹣3，1）， ∴直线E 的解析式为y＝ ． 4．在平面直角坐标系xy 中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点（2，4），过点的直 线y＝kx+b（k＞0）与x 轴、y 轴分别交于B，两点． （1）求正比例函数的表达式； （2）若△B 的面积为△B 的面积的 倍，求直线y＝kx+b 的表达式； （3）在（2）的条件下，若一条平行于的直线DE 与直线B 在第二象限内相交于点D， 与y 轴相交于点E，连接D，当平分∠D 时，求点D 的坐标． 解：（1）把点（2，4）代入正比例函数y＝mx（m≠0）， 2 ∴m＝4，解得m＝2， ∴正比例函数的表达式为：y＝2x； （2）当点B 在x 轴负半轴时，根据题意可画出图形，如下所示，过点作x 轴和y 轴的垂 线，垂足分别为和M， 则M＝2，＝4， 设△B 的面积为3S，则△B 的面积为4S， ∴△的面积为S，即△B 的面积＝4△的面积， ∵△的面积＝ •M＝， △B 的面积＝ B•＝2B， 2 ∴B＝4，即B＝2， 令x＝0，则y＝b， ∴（0，b）， ∴＝b， ∴B＝2b，即B（﹣2b，0）， 将B（﹣2b，0），（2，4）代入函数解析式，可得， ，解得 ， ∴直线B 的解析式为：y＝ x+3； 当点B 在x 轴正半轴时，如图所示， 设△B 的面积为3S，则△B 的面积为4S， ∴△的面积为7S，即7△B 的面积＝4△的面积， ∵△的面积＝ •M＝， △B 的面积＝ B•＝2B， 14 ∴ B＝4，即B＝ ， 令x＝0，则y＝b， ∴（0，b）， ∴＝b， ∴B＝ b，即B（﹣ b，0）， 将B（﹣ b，0），（2，4）代入函数解析式，可得， ，解得 ， ∴直线B 的解析式为：y＝ x 3 ﹣； 综上，直线B 的解析式为：y＝ x+3 或y＝ x 3 ﹣； （3）如图，作点关于y 轴的对称点′，连接′， 由对称可知，∠＝∠′，即平分∠′， ∴线段′与直线B 的交点即为点D． 由对称可知，′（﹣2，4）， ∴直线′的解析式为：y＝﹣2x， 令﹣2x＝ x+3，解得x＝﹣ ， ∴y＝﹣2x＝ ， ∴D（﹣ ， ）． 5．综合与探究 如图1，直线B 与坐标轴交于，B 两点，已知点的坐标为（0，3），点B 的坐标为（4， 0），点是线段B 上一点． 知识初探：如图1，求直线B 的解析式． 探究计算：如图2，若点是线段B 的中点，则点的坐标为（ 2 ， ） 拓展探究：如图3，若点是线段B 的中点，过点作线段B 的垂线，交x 轴于点M，求点 M 的坐标． 类比探究：如图4，过点作线段B 的垂线，交x 轴于点，连接，当∠＝∠时，则点的坐标 为（ ， 0 ） 解：知识初探：设直线B 的解析式为y＝kx+b， 将，B 两点坐标代入，得 ， 解得 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+3； 探究计算：∵点为线段B 的中点，点的坐标为（0，3），点B 的坐标为（4，0）， ∴由中点公式得，点（2， ）， 故答为：2， ； 拓展探究：连接M， 设M（m，0），则M＝m，BM＝4﹣m， ∵点是线段B 的中点，M⊥B， ∴M＝BM＝4﹣m， 在Rt△M 中，M2＝M2+2， ∴（4﹣m）2＝m2+32， ∴m＝ ， ∴M（ ，0）； 类比探究：∵⊥B，⊥， ∴当∠＝∠时，即平分∠B 时，＝， 在Rt△和Rt△中， ， Rt Rt ∴ △ △ ≌ （L）， ∴＝＝3， 在Rt△B 中，由勾股定理得B＝ ＝5， ∴B＝B﹣＝2， 设点的坐标为（，0），则＝，则＝，B＝4﹣， 在Rt△B 中，由勾股定理得（4﹣）2﹣2＝22， 解得＝ ， ∴点M 的坐标为（ ，0）． 故答为： ，0． 6．平面直角坐标系中，已知的坐标为（﹣2，0），B 在y 轴正半轴上，且 ， 将线段B 绕点顺时针方向旋转45°，交y 轴于点． （1）求直线的解析式； （2）点D 是直线上的一点，且满足∠DB＝∠B，求点D 坐标． 解：（1）如图：过点B 作BM⊥于M， ∵的坐标为（﹣2，0）， ， ∴＝2， ， 在Rt△B 中，根据勾股定理得： ， ∵∠B＝45°，M⊥B， ∴M＝BM， 在Rt△BM 中，由勾股定理得： ， 解得： ， ∵∠＝∠BM，∠＝∠BM， ∴△∽△BM， 设＝x，＝y，则 ， ∴ ，即 ， ， 解得： ， ∴（0，1）． 设直线的函数表达