专题43 线段、射线、直线【十大题型】 【人版】 【题型1 线段、射线、直线概念辨析】................................................................................................................. 1 【题型2 线段、射线、直线的区别与联系】................ .......35 【知识点1 线段、射线、直线】 名称 直线 射线 线段 图形 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线B（B） 射线 射线B 线段 线段B（B） 作法叙述 作直线 作直线B 作射线 作射线B 作线段 作线段B 连接B 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 【题型1 线段、射线、直线概念辨析】 【例1】（2022·河北保定·七年级期末）《红楼梦》第57 回有这么一句话，“自古道:‘千里 姻缘一线牵’,管姻缘的有一位月下老，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住．”请问， 这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是（ ） B B B 1 ．直线 B．射线 ．线段 D．以上都不对 【答】 【分析】根据线段的定义解答即可． 【详解】解：“自古道：‘千里姻缘一线牵’，管姻缘的有一位月下老，暗里只用一根红 线，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是线

专题43 线段、射线、直线【十大题型】 【人版】 【题型1 线段、射线、直线概念辨析】................................................................................................................. 1 【题型2 线段、射线、直线的区别与联系】................ .......12 【知识点1 线段、射线、直线】 名称 直线 射线 线段 图形 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线B（B） 射线 射线B 线段 线段B（B） 作法叙述 作直线 作直线B 作射线 作射线B 作线段 作线段B 连接B 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 【题型1 线段、射线、直线概念辨析】 【例1】（2022·河北保定·七年级期末）《红楼梦》第57 这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是（ ） B B B 1 ．直线 B．射线 ．线段 D．以上都不对 【变式1-1】（2022·全国·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ） ．直线B 和直线B 表示同一条直线 B．过一点P 只能作一条直线 ．射线B 和射线B 表示同一条射线 D．射线比直线b 短 【变式1-2】（2022·河北邢台·七年级期中）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，

上一点，∠＝90°，∠BD＝30°，且射线绕点以9°/s 的速度逆时针旋 转，射线D 绕点以6°/s 的速度顺时针旋转，两条射线、D 同时运动，运动时间为ts(0＜t＜ 20)，试求当t 为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角． 2．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点D、、共线且∠D＝20°，∠B＝80°，射线M， 分别平分∠B 和∠BD． 如图2，将射线D 以每秒6°的速度绕点顺时针旋转一周，同时将∠B 时针旋转，当射线与射线重合时，∠B 停止运动．设射线D 的运动时间为t． (1)运动开始前，如图1，∠M＝ °，∠D＝ °； 1 (2)旋转过程中，当t 为何值时，射线B 平分∠？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠M＝35°？若存在，请求出t 的值；若不存在，请 说明理由． 3．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线 O 一个角的3 倍，则称射线OC为∠AOB的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于0°而 小于180°的角．） (1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，求∠AOC的度数； (3)如图②，已知∠AOB=60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋 转，同时，射线ON从OB出发，以

秋•潜江期末）如图，已知∠B＝2∠，D 平分∠B，且∠D＝20°，求∠B 的度数． 3．如图，、、B 三点在一条直线上，∠＝2∠D，E 平分∠BD，∠E＝77°，求∠D 的度数． 4．如图，已知∠B 内有两条射线，D，∠D＝2∠BD，∠¿ 1 3 ∠B，∠D＝70°．求∠的度数． 5．（2019 秋•东西湖区期末）如图，∠与∠B 互余，D 平分∠B，∠E＝4∠E． （1）若∠D＝70°，求∠E 的度数；（2）若∠DE＝63°，求∠E 7．如图，∠B＝120°，∠＝70°，过点作射线D，使∠BD＝3∠B．求∠D 的度数． 类型三 单角平分线 8．（2022 秋•萧山区期末）已知为直线B 上一点，射线D，，E 位于直线B 上方，D 在E 的左侧，∠＝ 120°，∠DE＝50°，设∠BE＝． （1）若射线E 在∠B 的内部（如图1）， ①若＝43°，求∠D 的度数； ②当∠D＝3∠E 时，求∠D 的度数． （2）若射线E 恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求的值． 恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求的值． 9．（2021 秋•未央区校级期末）如图，已知∠B＝150°，为∠B 内部的一条射线，∠B＝60°．若E 平分∠B， D 为∠B 内部的一条射线，∠D¿ 1 2 ∠BD，求∠DE 的度数． 10．（1）如图1，已知是直线上一点，B 是一条射线，D 平分∠B，E 在∠B 内，∠E＝2∠BE，∠DE＝70°， 求∠E 的度数． （2）如图2，为直线B 上一点，∠＝50°，D

(2)在图①，若 ，直接写出 的度数_________(用含的代数式表示)； (3)将图①中的 绕顶点顺时针旋转至图②的位置． ①探究 和 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在 的内部有一条射线 ，满足 ，试确定 与 的 度数之间的关系，说明理由． 【答】(1)14°；(2) ；(3)①∠＝2∠DE；(2)2∠DE− ∠F＝90° 【详解】解：(1)∵∠D 是直角，E 平分∠B，∠＝28°， 综上所述，∠+2∠DE=270°或2∠DE- =90° ∠ 或∠+2∠DE=450°或∠-2∠DE=90°． 【变式训练2】如图，以直线B 上一点为端点作射线，使 ，将一个直角三角形的直角顶点放在 点处．(注： ) (1)如图①，若直角三角板DE 的一边D 放在射线B 上，则 ________ ； (2)如图②，将直角三角板DE 转到如图位置，当恰好平分 时，求 的度数； (3)如图③，将直角三角板DE 的内部)，若射线 恰好平分 ，若 ，求 的度数; (3)将三角形纸片绕点 从 与 重合位置逆时针转到 与 重合的位置，猜想在转动过程中 和 的数量关系？并说明理由 【答】(1) ；(2) ；(3) ，证明见解析 【详解】解：(1)∵ 平分斜边 与 的夹角， 平分 ． M ∴ 平分∠, 平分∠BD ∴设 ∴ ， ∵ ∴ ，∴ ，故答为: (2)∵ ，∴设 ∵射线 恰好平方

(2)在图①，若 ，直接写出 的度数_________(用含的代数式表示)； (3)将图①中的 绕顶点顺时针旋转至图②的位置． ①探究 和 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在 的内部有一条射线 ，满足 ，试确定 与 的 度数之间的关系，说明理由． 【变式训练1】已知∠B＝∠D＝90°，E 平分∠B． (1)如图，若∠＝30°，则∠DE 的度数是______；(直接写出答) (2) (3)若∠是钝角，请先画出图形，再探索∠DE 与∠之间的数量关系．(不用写探索过程，将结论直接写在你画 的图的下面) 【变式训练2】如图，以直线B 上一点为端点作射线，使 ，将一个直角三角形的直角顶点放在 点处．(注： ) (1)如图①，若直角三角板DE 的一边D 放在射线B 上，则 ________ ； (2)如图②，将直角三角板DE 转到如图位置，当恰好平分 时，求 的度数； (3)如图③，将直角三角板DE 的内部)，若射线 恰好平分 ，若 ，求 的度数; (3)将三角形纸片绕点 从 与 重合位置逆时针转到 与 重合的位置，猜想在转动过程中 和 的数量关系？并说明理由 类型二、定值问题 例．已知将一副三角尺(直角三角尺 和 )的两个顶点重合于点 ， ， (1)如图1，将三角尺 绕点 逆时针方向转动，当 恰好平分 时，求 的度数； (2)如图2，当三角尺 摆放在 内部时，作射线 平分 ，射线

专题10 角的运动压轴题的三种考法 类型一、角度之间数量关系问题 例．如图，点为直线 上一点，过点作射线 ．将一直角三角板的直角顶点放在点处（ ），一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方． (1)当 时，请解决一下问题； ①将图1 中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平分 ．求 的度数． ②将图1 中的三角板绕点以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 的数量关系，并说明理由． (2)图1 中射线 在 上方且 ，当三角板绕点顺时针旋转（旋转角度 ），试探究 三者之间的数量关系． 【变式训练1】以直线 上一点为端点，在直线 的上方作射线 ，使 ， 将一个直角三角板 的直角顶点放在处，即 ，直角三角板 可绕顶点转 动，在转动的过程中，直角三角板 所有部分始终保持在直线 上或上方． (1)如图1，若直角三角板 的一边 在射线 上，则 ______； (2)将直角三角板 上，在同一平面内，以为顶点作直角 ．射线 、 射线 分别平分 、 ． (1)如图1，当 时， ________ ， ________ ． (2)如图1，猜想 与 的数量关系，并说明理由． (3)直接写出图2 和图3 中， 与 的数量关系． 图2：__________；图3：__________． 【变式训练3】如图， 是直线 上一点， 是 的余角，射线 平分 ． (1)若 ，求

专题10 角的运动压轴题的三种考法 类型一、角度之间数量关系问题 例．如图，点为直线 上一点，过点作射线 ．将一直角三角板的直角顶点放在点处（ ），一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方． (1)当 时，请解决一下问题； ①将图1 中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平分 ．求 的度数． ②将图1 中的三角板绕点以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 的数量关系，并说明理由． (2)图1 中射线 在 上方且 ，当三角板绕点顺时针旋转（旋转角度 ），试探究 三者之间的数量关系． 【答】(1) ； 或 ； ，理由见解析 (2)当旋转角 时， ； 当 旋转角 时， ； 当 旋转角 时， ． 【分析】（1） 平分 ，可求得 ，再由互余关系即可求得结果； 分两种情况：射线 平分 ，可计算出 旋转的角度，则可计算出旋转的时间； 射线 平分 ，可计算出 旋转 ， 当射线 平分 时，如图2 所示， ， 旋转的角度为 ，直线 旋转的时间为 （秒）；当射线 平分 时，如图4 所示， ， 旋转的角度为 ，直线 旋转的时间为 （秒）； 综上知，则的值为； 或 ；故答为： 或 ； ，且 ， ， ， 即 与 的数量关系为： ； （2）解：当旋转角 时，射线 在 的内部时，如图5； 则 ， ， ； ； 当 旋转角 时，此时射线 在 的内部，如图6

【变式1-2】．如图1，射线在∠B 的内部，图中共有3 个角：∠B，∠和∠B，若其中有一个 角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是∠B 的“巧分线”．如图2，若∠MP＝ 75°，且射线PQ 绕点P 从P 位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM 同时绕 点P 以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ 与P 成180°时，PQ 与PM 同时停止旋转，设 旋转的时间为t 秒．当射线PQ 是∠MP 的“巧分线”时，t 【变式2-2】．如图①，为直线B 上一点作射线，使∠＝120°，将一个直角三角尺如图摆 放，直角顶点在点处，一条直角边P 在射线上，将图①中的三角尺绕点以每秒5°的速 度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t 秒时，Q 所在直线恰好 平分∠B，则t 的值为 ． 1．如图，已知PQ∥M，点，B 分别在M，PQ 上，射线自射线M 的位置开始，以每秒3°的 速度绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线BD 自射线BP 的位置开始，以每秒1° 的速度绕点B 逆时针旋转至BQ 后停止运动．若射线BD 先转动30 秒，射线M 才开始转 动，当射线，BD 互相平行时，射线的旋转时间为 秒． 2．如图1，直线ED 上有一点，过点在直线ED 上方作射线，将一直角三角板B（∠B＝ 30°）的直角顶点放在点处，一条直角边在射线D 上，另一边B 在直线ED 上方，将直

【变式1-2】．如图1，射线在∠B 的内部，图中共有3 个角：∠B，∠和∠B，若其中有一个 角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是∠B 的“巧分线”．如图2，若∠MP＝ 75°，且射线PQ 绕点P 从P 位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM 同时绕 点P 以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ 与P 成180°时，PQ 与PM 同时停止旋转，设 旋转的时间为t 秒．当射线PQ 是∠MP 的“巧分线”时，t 【变式2-2】．如图①，为直线B 上一点作射线，使∠＝120°，将一个直角三角尺如图摆 放，直角顶点在点处，一条直角边P 在射线上，将图①中的三角尺绕点以每秒5°的速 度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t 秒时，Q 所在直线恰好 平分∠B，则t 的值为 ． 1．如图，已知PQ∥M，点，B 分别在M，PQ 上，射线自射线M 的位置开始，以每秒3°的 速度绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线BD 自射线BP 的位置开始，以每秒1° 的速度绕点B 逆时针旋转至BQ 后停止运动．若射线BD 先转动30 秒，射线M 才开始转 动，当射线，BD 互相平行时，射线的旋转时间为 秒． 2．如图1，直线ED 上有一点，过点在直线ED 上方作射线，将一直角三角板B（∠B＝ 30°）的直角顶点放在点处，一条直角边在射线D 上，另一边B 在直线ED 上方，将直