模型40 动态角旋转问题（原卷版）(1)

★旋转动角问题三步解题技巧总结 一 根据题意找到目标角度 二 表示出目标角度 1 角度一边动另一边不动, 角度变大: 目标角 = 起始角 + 速度×时间 2 角度一边动另一边不动, 角度变小: 目标角=起始角 - 速度 ×时间 3 角度一边动另一边不动, 角度先变小后变大: 变小: 目标角=起始角 - 速度 × 时间 变大: 目标角=速度 × 时间-起始角 4 角度两边都动, 运动方向相同且变大 目标角=起始角+速度差×时间 5 角度两边都动, 运动方向相同且变小 目标角=起始角 - 速度差× 时间 6 角度两边都动, 运动方向相反 目标角 = 起始角 + 速度和×时间 三 根据题意列方程求解 【例1】．如图，已知∠B＝126°，∠D＝54°，M 在∠内，在∠BD 内，∠M＝ ∠，∠B＝ ∠BD，当边与B 边重合时，∠D 从图中的位置绕点顺时针旋转°（0＜＜126），则°＝ 时，∠M＝2∠B． 模型介绍 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．已知两个完全相同的直角三角形纸片△B、△DEF，如图放置，点 B、D 重合， 点F 在B 上，B 与EF 交于点G．∠＝∠EFB＝90°，∠E＝∠B＝30°，现将图中的△B 绕点F 按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△B 恰有一边与DE 平行的 时间为 秒． 【变式1-2】．如图1，射线在∠B 的内部，图中共有3 个角：∠B，∠和∠B，若其中有一个 角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是∠B 的“巧分线”．如图2，若∠MP＝ 75°，且射线PQ 绕点P 从P 位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM 同时绕 点P 以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ 与P 成180°时，PQ 与PM 同时停止旋转，设 旋转的时间为t 秒．当射线PQ 是∠MP 的“巧分线”时，t 的值为 ． 【例2】．一副三角板按图1 方式拼接在一起，其中边，与直线EF 重合，∠B＝45°，∠D＝ 60°，保持三角板D 不动，将三角板B 绕着点顺时针旋转一个角度α，（如图2），在转 动过程中两块三角板都在直线EF 的上方，当B 平分由，，D 其中任意两边组成的角时， α 的值为 ． 变式训练 【变式2-1】．将一副直角三角板B，DE 按如图1 叠加放置，其中B 与E 重合，∠B＝ 45°，∠BD＝30°．将三角板DE 从图1 位置开始绕点顺时针旋转，并记M，分别为 ∠BE，∠D 的平分线，当三角板DE 旋转至如图2 的位置时，∠M 的度数为 °． 【变式2-2】．如图①，为直线B 上一点作射线，使∠＝120°，将一个直角三角尺如图摆 放，直角顶点在点处，一条直角边P 在射线上，将图①中的三角尺绕点以每秒5°的速 度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t 秒时，Q 所在直线恰好 平分∠B，则t 的值为 ． 1．如图，已知PQ∥M，点，B 分别在M，PQ 上，射线自射线M 的位置开始，以每秒3°的 速度绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线BD 自射线BP 的位置开始，以每秒1° 的速度绕点B 逆时针旋转至BQ 后停止运动．若射线BD 先转动30 秒，射线M 才开始转 动，当射线，BD 互相平行时，射线的旋转时间为 秒． 2．如图1，直线ED 上有一点，过点在直线ED 上方作射线，将一直角三角板B（∠B＝ 30°）的直角顶点放在点处，一条直角边在射线D 上，另一边B 在直线ED 上方，将直 角三角板绕着点按每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t 秒．若射线的位置保 持不变，且∠E＝140°．则在旋转过程中，如图2，当t＝ 秒时，射线，与D 中的 某一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线． 3．如图1，已知∠B＝50°，有一个三角板BDE 与∠B 共用一个顶点B，其中∠EBD＝45°． （1）若BD 平分∠B，求∠EB 的度数； （2）如图2，将三角板绕着点B 顺时针旋转α 度（0°＜α＜90°），当B⊥BD 时，求 ∠EB 的度数． 4．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点． （1）如图1，若∠D＝35°，求∠B 的度数； （2）如图（1），求∠BD+∠的度数； （3）如图（2）若三角板B 保持不动，将三角板D 的边D 与边重合，然后将其绕点旋 转．试猜想在旋转过程中，∠与∠BD 有何数量关系？请说明理由． 5．已知∠B＝60°，M 平分∠，平分∠B，求： （1）如图1，为∠B 内部任意一条射线，求∠M＝ ； （2）如图2，当旋转到∠B 的外部时，∠M 的度数会发生变化吗？请说明原因； （3）如图3，当旋转到∠B（∠B＜120°）的外部且射线在B 的下方时，M 平分∠，射线 在∠B 内部，∠＝ ∠B，求∠M﹣ ∠B 的值？ 6．如图1，点为直线B 上一点，过点作射线，使∠：∠B＝1：2，∠M 的一边M 在射线B 上， 另一边在直线B 的下方，且∠M＝90°． （1）如图1，求∠的度数； （2）将图1 中的∠M 绕点以每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 如图2，若直线恰好平分锐角∠，求∠M 所运动的时间t 值； （3）在（2）的条件下，当∠与∠互余时，求出∠B 与∠M 之间的数量关系． 7．点直线B 上一点，过点作射线，使得∠B＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点处． （1）如图1，将三角板M 的一边与射线B 重合时，求∠M 的度数； （2）如图2，将三角板M 绕点逆时针旋转一定角度，此时是∠MB 的平分线，求∠B 和∠ 的度数； （3）将三角板M 绕点逆时针旋转至图3 时，∠＝ ∠M，求∠B 的度数． 8．以直线B 上一点为端点作射线，使∠B＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即 ∠DE＝90°． （1）如图1，若直角三角板DE 的一边E 放在射线上，求∠D 的度数； （2）如图2，将直角三角板DE 绕点顺时针转动到某个位置，若E 恰好平分∠，求∠D 的度数； （3）将直三角板DE 绕点顺时针转动（D 与B 重合时为停止）的过程中，恰好∠D＝ ∠E，求此时∠BD 的度数． 9．已知∠D＝160°，B、、M、是∠D 内的射线． （1）如图1，若M 平分∠B，平分∠BD．当B 绕点在∠D 内旋转时，求∠M 的大小； （2）如图2，若∠B＝20°，M 平分∠，平分∠BD．当∠B 绕点在∠D 内旋转时，求∠M 的 大小； （3）在（2）的条件下，若∠B＝10°，当∠B 在∠D 内绕着点以2 度/秒的速度逆时针旋转 t 秒时，∠M＝ ∠D．求t 的值． 10．点为直线B 上一点，过点作射线，使∠B＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点处． （1）如图①，将三角板M 的一边与射线B 重合时，则∠M＝ ； （2）如图②，将三角板M 绕点逆时针旋转一定角度，此时是∠MB 的角平分线，求旋 转角∠B 和∠的度数； （3）将三角板M 绕点逆时针旋转至图③时，∠＝ ∠M，求∠B 的度数． 11．如图1，点为直线B 上一点，过点作射线，使∠B＝120°．将一直角三角板的直角顶点 放在点处，一边M 在射线B 上，另一边在直线B 的下方． （1）将图1 中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边M 在∠B 的内部，且恰好平分 ∠B．问：此时直线是否平分∠？请说明理由． （2）将图1 中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在∠的内部，求∠M﹣∠的度数． 12．已知∠B＝100°，∠D＝40°，E 平分∠，F 平分∠BD．（本题中的角均为大于0°且小于等 于180°的角）． （1）如图1，当B、重合时，求∠EF 的度数； （2）当∠D 从图1 所示位置绕点顺时针旋转°（0＜＜90）时，∠E﹣∠BF 的值是否为定 值？若是定值，求出∠E﹣∠BF 的值；若不是，请说明理由． （3）当∠D 从图1 所示位置绕点顺时针旋转°（0＜＜180）时，满足∠D+∠EF＝6∠D， 则＝ ． 13．新定义问题 如图①，已知∠B，在∠B 内部画射线，得到三个角，分别为∠、∠B、∠B．若这三个角 中有一个角是另外一个角的2 倍，则称射线为∠B 的“幸运线”．（本题中所研究的角 都是大于0°而小于180°的角．） 【阅读理解】 （1）角的平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】 （2）如图①，∠B＝45°，射线为∠B 的“幸运线”，则∠的度数为 ； 【解决问题】 （3）如图②，已知∠B＝60°，射线M 从出发，以每秒20°的速度绕点逆时针旋转，同 时，射线从B 出发，以每秒15°的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为t 秒（0＜t＜ 9）．若M、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”， 求出所有可能的t 值． 14．已知∠B＝130°，∠D＝80°，M，分别是∠B 和∠D 的平分线． （1）如图1，如果，重合，且D 在∠B 的内部，求∠M 的度数； （2）如图2，固定∠B，将图1 中的∠D 绕点顺时针旋转°（0＜≤90）． ①∠M 与旋转度数°有怎样的数量关系？说明理由； ②当为多少时，∠M 为直角？ （3）如果∠B 的位置和大小不变，∠D 的边D 的位置不变，改变∠D 的大小；将图1 中 的绕着点顺时针旋转m°（0＜m≤100），如图③，请直接写出∠M 与旋转度数m°之间的 数量关系： ． 15．已知∠B，过顶点作射线P，若∠BP＝ ∠P，则称射线P 为∠B 的“好线”，因此∠B 的 “好线”有两条，如图1，射线P1，P2都是∠B 的“好线”． （1）已知射线P 是∠B 的“好线”，且∠BP＝30°，求∠B 的度数； （2）如图2，是直线M 上的一点，B，分别是∠MP 和∠P 的平分线，已知∠MB＝30°， 请通过计算说明射线P 是∠B 的一条“好线”； （3）如图3，已知∠M＝120°，∠B＝40°．射线P 和分别从M 和B 同时出发，绕点按顺 时针方向旋转，P 的速度为每秒12°，的速度为每秒4°，当射线P 旋转到上时，两条射 线同时停止．在旋转过程中，射线P 能否成为∠B 的“好线”．若不能，请说明理由； 若能，直接写出符合条件的所有的旋转时间 ． 16．如图，点为直线B 上一点，∠＝90°，在直线B 上方有射线M、分别从和开始绕点顺时 针旋转，旋转过程中始终保持∠M＝2∠，Q 平分∠． （1）如图1，证明：平分∠MB； （2）如图2，在旋转过程中，当∠＝2∠MQ 时，求∠的度数； （3）如图3，在旋转过程中，∠M 是锐角，射线D 在∠M 内部，∠MD＝30°，P 平分 ∠M，∠MQ：∠PD＝m，∠B：∠Q＝，在B 下方有射线T，∠T＝90°﹣（m+）°， ∠BT+∠MQ＝110°，求∠M 的度数 17．如图1，∠B＝40°，∠D＝60°，M、分别为∠B 和∠BD 的角平分线． （1）若∠M＝70°，则∠B＝ °； （2）如图2，∠D 从第（1）问中的位置出发，绕点逆时针以每秒4°的速度旋转；当与 重合时，∠D 立即反向绕点顺时针以每秒6°的速度旋转，直到与互为反向延长线时停止 运动．整个运动过程中，∠D 的大小不变，旋转后的对应射线记为′，D 旋转后的对应射 线记为D′，∠BD′的角平分线记为′，∠D′的角平分线记为P．设运动时间为t 秒． ①当′平分∠B′时，求出对应的t 的值； ②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BP﹣∠M′|的值不变？若存在， 请直接写出这个定值及其对应的t 的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请 说明理由． 18．如图1，摆放一个三角形纸板DE，边D 在正东方向的射线上，点，B 分别在正西，正 东方向上，∠F＝30°，现将三角形纸板DE 从图1 位置开始绕点以每秒5 度的速度逆时针 方向匀速旋转，设旋转的时间为t 秒，在旋转一周的过程中． （1）当t＝5 时，求∠D 的度数，并写出点D 的方向角； （2）如图2，当三角形纸板DE 旋转至△D1E1 时，边E1 恰好落在射线F 上，且F 平分 ∠D1，D1平分∠B，求t 的值，并写出点F 的方向角； （3）当旋转至△D2E2时，E2所在直线平分∠，求t 的值． 19．如图为两个特殊三角板B 和三角板D，∠＝45°，∠D＝60°，为直角顶点，两直角顶点 重合，，，D 在同一直线上，B，重合，M 平分∠D，平分∠B． （1）∠M＝ 度； （2）若三角板B 与三角板D 位置如图（2）所示，满足∠B＝20°，求∠M 的度数； （3）在图（1）的情形下，三角板B 固定不动，若三角板D 绕着点旋转（旋转角度小于 45°），∠B＝α，求∠M 的度数（用含α 的式子表示）． 20．已知长方形纸片BD，E、F 分别是D、B 上的一点，点在射线B 上、连接EF，F，将∠ 沿EF 所在的直线对折，点落在点处，∠B 沿F 所在的直线对折，点B 落在点G 处． （1）如图1，当F 与GF 重合时，则∠EF＝ °； （2）如图2，当重叠角∠FG＝30°时，求∠EF 的度数； （3）如图3，当∠GF＝α，∠EF＝β 时，∠GF 绕点F 进行逆时针旋转，且∠GF 总有一条 边在∠EF 内，PF 是∠GF 的角平分线，QF 是∠EF 的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ 的度数（用含α，β 的式子表示）．