中考数学几何模型3：对角互补模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90°的对角互 补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题 型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线 类型一：含90°的对角互补模型 类型一：含90°的对角互补模型 （1）如图，∠B= DE=90° ∠ ，平分∠B，则有以下结论： ； ； 作法1 作法2 （2）如图，∠B= DE=90° ∠ ，平分∠B，当∠DE 的一边与的延长线交于点D 时，则有以下结 论： ； ； 作法1 作法2 类型二：含120°的对角互补模型 （1）如图，∠B=2 DE=120° ∠ ，平分∠B，则有以下结论： ； ； 作法1 作法2 （2）如图，∠B= DE=90° ∠ ，平分∠B，当∠DE 的一边与的延长线交于点D 时，则有以下结

全等与相似模型-对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋 转的构造，构造手拉手全等。 常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，平分∠B 结论：①D＝E，②D＋E＝ 对180°-2α 模型” 条件：四边形BD 中，P=BP, + ∠∠B=180° 结论：P 平分∠B 注意：①P=BP，②∠+∠B=180°，③P 平分∠B，以上三个条件可知二推一。 7）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：P=BP,∠B= P ∠B 结论：P 平分∠B 的外角。 例1．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△B 中，B=，点D 为B 中点．∠MD=90°，∠MD 绕点D 旋转，

全等与相似模型-对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋 转的构造，构造手拉手全等。 常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，平分∠B 结论：①D＝E，②D＋E＝ 对180°-2α 模型” 条件：四边形BD 中，P=BP, + ∠∠B=180° 结论：P 平分∠B 注意：①P=BP，②∠+∠B=180°，③P 平分∠B，以上三个条件可知二推一。 7）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：P=BP,∠B= P ∠B 结论：P 平分∠B 的外角。 例1．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△B 中，B=，点D 为B 中点．∠MD=90°，∠MD 绕点D 旋转，

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与 120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明 两个三角形全等或者相似 模型一、含90°的全等型 1 如图，已知∠B＝∠DE＝90º，平分∠B 则可以得到如下几个结论：①D＝E，②D＋E＝ ， ③ 2 如图，已知∠DE 的一边与的延长线交于点D，∠B＝∠DE＝90º，平分 ∴S△E＝ E2＝ E2， ∵S△E＝S 四边形BD＝12， ∴ E2＝12， ∴E＝4 ， ∴B+D＝B+BE＝E＝4 ． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，正方形BD 的对角线与BD 相交于点，E，F 分别是B，B 上的点，连 接EF．若E＝4，F＝3，E⊥F，求EF 的长． 解：∵四边形BD 是正方形， ∴B＝，∠B＝∠EF＝90°，∠B＝∠B＝45°， ∴∠EB＝∠F， 中，BF＝4，BE＝3， ∴EF＝5． 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝3，B＝5，点E 在对角线上，连接BE，作 EF⊥BE，垂足为E，直线EF 交线段D 于点F，则 ＝_________ 解：如图，连接BF，取BF 的中点，连接E，． ∵四边形BD 是矩形，EF⊥BE， ∴四边形EFB 对角互补， ∴B，，F，E 四点共圆， ∴∠BEF＝∠BF＝90°，B＝D＝3，B＝D＝5，

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与 120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明 两个三角形全等或者相似 模型一、含90°的全等型 1 如图，已知∠B＝∠DE＝90º，平分∠B 则可以得到如下几个结论：①D＝E，②D＋E＝ ， ③ 2 如图，已知∠DE 的一边与的延长线交于点D，∠B＝∠DE＝90º，平分 ∴S△E＝ E2＝ E2， ∵S△E＝S 四边形BD＝12， ∴ E2＝12， ∴E＝4 ， ∴B+D＝B+BE＝E＝4 ． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，正方形BD 的对角线与BD 相交于点，E，F 分别是B，B 上的点，连 接EF．若E＝4，F＝3，E⊥F，求EF 的长． 解：∵四边形BD 是正方形， ∴B＝，∠B＝∠EF＝90°，∠B＝∠B＝45°， ∴∠EB＝∠F， 中，BF＝4，BE＝3， ∴EF＝5． 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝3，B＝5，点E 在对角线上，连接BE，作 EF⊥BE，垂足为E，直线EF 交线段D 于点F，则 ＝_________ 解：如图，连接BF，取BF 的中点，连接E，． ∵四边形BD 是矩形，EF⊥BE， ∴四边形EFB 对角互补， ∴B，，F，E 四点共圆， ∴∠BEF＝∠BF＝90°，B＝D＝3，B＝D＝5，

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与 120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明 两个三角形全等或者相似 模型一、含90°的全等型 1 如图，已知∠B＝∠DE＝90º，平分∠B 则可以得到如下几个结论：①D＝E，②D＋E＝ ， ③ 2 如图，已知∠DE 的一边与的延长线交于点D，∠B＝∠DE＝90º，平分 中，∠＝∠＝90°，B＝D，若这个四边形的面积为12，求 B+D 的值． 变式训练 【变式1-1】．如图，正方形BD 的对角线与BD 相交于点，E，F 分别是B，B 上的点，连 接EF．若E＝4，F＝3，E⊥F，求EF 的长． 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝3，B＝5，点E 在对角线上，连接BE，作 EF⊥BE，垂足为E，直线EF 交线段D 于点F，则 ＝_________ 例题精讲 【例2】．如图，四边形BD 形BD 顶点的坐标为（0，2），B 点在x 轴上，对角线，BD 交于点M，M＝ ，则点的坐标为 ． 【变式2-2】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝3，B＝4，Rt△MP，∠MP＝90°，点P 在 上，PM 交B 于点E，P 交B 于点F，当PE＝2PF 时，P＝ ． 【变式2-3】．如图，正方形BD，点P 是对角线上一点，连接BP，过P 作PQ⊥BP，PQ 交D

平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型 ◎结论1：如图，∠B=∠D=90°，D=D， 则①B+B=❑ √2BD，②S四边形ABCD=1 2BD2， ③BD 是角平分线 【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】 旋转 相等边的夹角 ⑴ DD 夹角90°,旋转90°, 延长B 至E，使E＝B ◎结论2：如图，∠B=60º，∠D=120°，D=D， 则①B+B=❑ √3BD，②S四边形ABCD= ❑ √3 4 BD2，③BD 是角平分线 【证明】 ⑴ 满足对角互补，邻边相等 DD 夹角120°，旋转120° 延长B 至点E，使E＝B，连接DE ∠DB ∵ ＋∠DB＝180° ∠DE＋∠DB＝180° ∠DB ∴ ＝∠DE 在△DB 和△DE 则①B+B=2BDcos 1 2 α，②S四边形ABCD= ❑ √3 4 BD2，③BD 是角平分线 ①【证明】满足对角互补，邻边相等 D,D 夹角180－,旋转180－ 延长B 至点E，使E＝B，连接DE ∠DB ∵ ＋∠DB＝180° ∠DE＋∠DB＝180° ∠DB ∴ ＝∠DE 在△DB 和△DE

平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型 ◎结论1：如图，∠B=∠D=90°，D=D， 则①B+B=❑ √2BD，②S四边形ABCD=1 2BD2， ③BD 是角平分线 【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相 等】 旋转相等边的夹角 ⑴ DD 夹角90°,旋转90°, 延长B 至E，使E＝B ◎结论2：如图，∠B=60º，∠D=120°，D=D， 则①B+B=❑ √3BD，②S四边形ABCD= ❑ √3 4 BD2，③BD 是角平分线 【证明】 ⑴ 满足对角互补，邻边相等 DD 夹角120°，旋转120° 延长B 至点E，使E＝B，连接DE ∠DB ∵ ＋∠DB＝180° ∠DE＋∠DB＝180° ∠DB ∴ ＝∠DE 在△DB 和△DE ◎结论3：如图，∠B=α，∠D=180º－α，D=D， 则①B+B=2BDcos 1 2 α，②S四边形ABCD= ❑ √3 4 BD2，③BD 是角平分线 ①【证明】满足对角互补，邻边相等 D,D 夹角180－,旋转180－ 延长B 至点E，使E＝B，连接DE ∠DB ∵ ＋∠DB＝180° ∠DE＋∠DB＝180° ∠DB ∴ ＝∠DE 在△DB 和△DE

专题22 全等与相似模型之对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 ...................................... .............................1 模型1 对角互补模型（全等型：90°-90°）...................................................................................................1 模型2 对角互补模型（全等型：60°-120°）................... ................................7 模型3 对角互补模型（全等型：α—180°-α）............................................................................................13 模型4 对角互补模型（相似模型）.............................

专题22 全等与相似模型之对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 ...................................... .............................1 模型1 对角互补模型（全等型：90°-90°）...................................................................................................1 模型2 对角互补模型（全等型：60°-120°）................... ...............................4 模型3 对角互补模型（全等型：α—180°-α）..............................................................................................7 模型4 对角互补模型（相似模型）.............................