模型37 四边形对角互补模型（解析版）

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与 120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明 两个三角形全等或者相似 模型一、含90°的全等型 1 如图，已知∠B＝∠DE＝90º，平分∠B 则可以得到如下几个结论：①D＝E，②D＋E＝ ， ③ 2 如图，已知∠DE 的一边与的延长线交于点D，∠B＝∠DE＝90º，平分 ∠B 则可得到如下几个结论：①D＝E，②E－D＝ ，③ 模型二、 含60°与120°的全等型 模型介绍 如图，已知∠B＝2∠DE＝120º，平分∠B 则可得到如下几个结论：①D＝E，②D＋E＝，③ 【例1】．如图，在四边形BD 中，∠＝∠＝90°，B＝D，若这个四边形的面积为12，求 B+D 的值． 解：延长B 到E，使BE＝D，连接E，， ∵∠BE＝∠B+∠B， ∠D＝180°﹣∠D﹣∠D， ∵∠BD＝90°，∠BD＝90°， ∴∠B+∠B＝90°+90°﹣∠D﹣∠D＝180°﹣∠D﹣∠D， ∴∠BE＝∠D， 又∵BE＝D，B＝D， ∴△BE≌△D， ∴E＝，∠EB＝∠D， ∴∠E＝90°， ∴S△E＝ E2＝ E2， ∵S△E＝S 四边形BD＝12， ∴ E2＝12， ∴E＝4 ， ∴B+D＝B+BE＝E＝4 ． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，正方形BD 的对角线与BD 相交于点，E，F 分别是B，B 上的点，连 接EF．若E＝4，F＝3，E⊥F，求EF 的长． 解：∵四边形BD 是正方形， ∴B＝，∠B＝∠EF＝90°，∠B＝∠B＝45°， ∴∠EB＝∠F， 在△BE 和△F 中， ， ∴△BE≌△F（S）， ∴E＝F．BE＝F＝3， ∵B＝B， ∴BF＝E＝4， 在Rt△BEF 中，BF＝4，BE＝3， ∴EF＝5． 【变式1-2】．如图，在矩形BD 中，B＝3，B＝5，点E 在对角线上，连接BE，作 EF⊥BE，垂足为E，直线EF 交线段D 于点F，则 ＝_________ 解：如图，连接BF，取BF 的中点，连接E，． ∵四边形BD 是矩形，EF⊥BE， ∴四边形EFB 对角互补， ∴B，，F，E 四点共圆， ∴∠BEF＝∠BF＝90°，B＝D＝3，B＝D＝5， ∵B＝F， ∴E＝B＝F＝， ∴B，，F，E 四点在以为圆心的圆上， ∴∠EBF＝∠EF， t ∴∠EBF＝t∠D， ∴ ＝ ＝ ， 【例2】．如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，BD 平分∠B，∠DB＝60°，B+B＝4，则的 长是 ． 解：设点是的中点， 以为圆心，为半径作圆， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴由圆周角定理可知：点D 与B 在圆上， ∵BD 平分∠B， ∴D＝D， ∴∠D＝45°， ∴∠B＝∠DB﹣∠D＝15°， 连接B，过点E 作BE⊥于点E， ∴由圆周角定理可知：∠B＝2∠B＝30°， ∴B＝2BE， ∴＝2B＝4BE， 设B＝x， ∴B＝4﹣x， ∵B•B＝BE•， 4 ∴BE2＝x（4﹣x）， ∴2＝16BE2＝4x（4﹣x）， 由勾股定理可知：2＝x2+（4﹣x）2， 4 ∴x（4﹣x）＝x2+（4﹣x）2， 解得：x＝2± ， 当x＝2+ 时， ∴B＝4﹣x＝2﹣ ， ∴＝ ＝ ， 当x＝2﹣ 时， B＝4﹣x＝2+ 时， ∴＝ ＝ ， 故答为： ． 变式训练 【变式2-1】．如图，在平面直角坐标系中，正方形BD 顶点的坐标为（0，2），B 点在x 轴上，对角线，BD 交于点M，M＝ ，则点的坐标为 （ 6 ， 4 ） ． 解：过点作E⊥x 轴于点E，过点M 作MF⊥x 轴于点F，连接EM， ∴∠MF＝∠E＝∠B＝90°，∥MF∥E， ∵四边形BD 是正方形， ∴B＝B，∠B＝90°，M＝M， ∴∠B＝∠EB，F＝EF， ∴MF 是梯形E 的中位线， ∴MF＝ （+E）， ∵MF⊥E， ∴M＝ME． ∵在△B 和△BE 中， ， ∴△B≌△BE（S）， ∴B＝E，＝BE． ∴MF＝ （BE+B）， 又∵F＝FE， ∴△ME 是直角三角形， ∵M＝ME， ∴△ME 是等腰直角三角形， ∴E＝ ＝6， ∵（0，2）， ∴＝2， ∴BE＝2， ∴B＝E＝4． ∴（6，4）． 故答为：（6，4）． 【变式2-2】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝3，B＝4，Rt△MP，∠MP＝90°，点P 在 上，PM 交B 于点E，P 交B 于点F，当PE＝2PF 时，P＝ 3 ． 解：如图作PQ⊥B 于Q，PR⊥B 于R． ∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°， ∴四边形PQBR 是矩形， ∴∠QPR＝90°＝∠MP， ∴∠QPE＝∠RPF， ∴△QPE∽△RPF， ∴ ＝ ＝2， ∴PQ＝2PR＝2BQ， ∵PQ∥B， ∴Q：QP：P＝B：B：＝3：4：5，设PQ＝4x，则Q＝3x，P＝5x，BQ＝2x， 2 ∴x+3x＝3， ∴x＝ ， ∴P＝5x＝3． 故答为3． 【变式2-3】．如图，正方形BD，点P 是对角线上一点，连接BP，过P 作PQ⊥BP，PQ 交D 于Q，连接BQ 交于G，若P＝ ，Q 为D 中点，则下列结论： ①∠PB＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BP＝∠BQ；④正方形BD 的面积是16； 其中正确结论是_________ 解： ∵四边形BD 是正方形， ∴∠BQ＝90°， ∵PQ⊥PB， ∴∠BPQ＝90°， ∴∠BPQ+∠BQ＝180°， ∴B、、Q、P 四点共圆， ∴∠PB＝∠PQD，∠BP＝∠BQ，∴①正确；③正确； 过P 作PM⊥D 于M，PE⊥B 于E，PF⊥D 于F，则E、P、F 三点共线， ∵四边形BD 是正方形， ∴B＝D＝D＝B，∠D＝∠B，∠DB＝90°， ∴∠ME＝∠PE＝∠PM＝90°，PM＝PE， ∴四边形MPE 是正方形， ∴M＝PM＝PE＝E， ∵P＝ ， ∴在Rt△EP 中，由勾股定理得：E2+PE2＝（ ）2， 解得：E＝M＝PE＝PM＝1， ∴DF＝1， 设B＝B＝D＝D＝， 则BE＝PF＝﹣1， ∵∠BEP＝∠PFQ＝∠BPQ＝90°， ∴∠BPE+∠EBP＝90°，∠EPB+∠FPQ＝90°， ∴∠EBP＝∠FPQ， 在△BEP 和△PFQ 中 ， ∴△BEP≌△PFQ（S）， ∴PE＝FQ＝1，BP＝PQ，∴②正确； ∴DQ＝1+1＝2， ∵Q 为D 中点， ∴D＝2DQ＝4， ∴正方形BD 的面积是4×4＝16，∴④正确；故答为：①②③④ 1．如图，在四边形BD 中，∠＝∠＝90°，B＝D，若这个四边形的面积为12，则B+D＝ 4 ． 解：延长B 到E，使BE＝D，连接E，， ∵∠BE＝∠B+∠B， ∠D＝180°﹣∠D﹣∠D， ∵∠BD＝90°，∠BD＝90°， ∴∠B+∠B＝90°+90°﹣∠D﹣∠D＝180°﹣∠D﹣∠D， ∴∠BE＝∠D， 又∵BE＝D，B＝D， ∴△BE≌△D， ∴E＝，∠EB＝∠D， ∴∠E＝90°， ∴S△E＝ E2＝ ， ∵S△E＝S 四边形BD＝12， ∴ ＝12， ∴E＝4 ， ∴B+D＝B+BE＝E＝4 ． 故答为：4 ． 2．如图，在△B 中，∠B＝60°，B＝2 ，B＝8，以为腰，点为顶点作等腰△D，且∠D＝ 120°，则BD 的长为 10 ． 解：以为旋转中心，把△B 逆时针旋转120°，得到△ED，连接BE，作P⊥BE 于P， 则∠BE＝120°，B＝E， ∴∠BE＝∠EB＝30°， ∴BP＝B•s∠BP＝3，∠DE＝∠B＝60°， ∴∠DEB＝30°+60°＝90°， ∴BE＝2BP＝6， 在Rt△BED 中，BD＝ ＝10， 故答为：10． 3．如图所示，在四边形BD 中，D＝3，D＝2，∠B＝∠B＝∠D＝45°，则BD 的长为 ． 解：作D′⊥D，D′＝D，连接D′，DD′，如图： ∵∠B+∠D＝∠DD′+∠D， 即∠BD＝∠D′， 在△BD 与△D′中， ， ∴△BD≌△D′（SS）， ∴BD＝D′，∠DD′＝90°， 由勾股定理得DD′＝ ＝3 ，∠D′D+∠D＝90°， 由勾股定理得D′＝ ＝ ， ∴BD＝D′＝ ． 故答为： ． 4．四边形BD 被对角线BD 分为等腰直角△BD 和直角△BD，其中∠和∠都是直角，另一条对 角线的长度为2，求四边形BD 的面积． 解：将△B 绕点旋转90°，使B 与D 重合，到′点， 则有∠D′＝∠D+∠D′＝∠D+∠B＝180°， 所以、D、′在同一直线上， 又因为＝′， 所以△′是等腰直角三角形， 在△B 和△D′中 ∴△B≌△D′（SS）， ∴四边形BD 的面积等于等腰直角三角形′的面积， 所以S 四边形BD＝S ′ △＝ ×2×2＝2． 5．如图，正方形BD 与正方形MP 的边长均为10，点是正方形BD 的中心，正方形MP 绕 点旋转，证明：无论正方形MP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一 个定值，并求这个定值． 解：当P∥D 或P 经过点，重叠部分的面积显然为正方形的面积的 ， 即25，当P 在如图位置时，过分别作D，B 的垂线垂足分别为E、F， 如图在Rt△EG 与Rt△F 中，∠EG＝∠F，E＝F＝5， ∴△EG≌△F， ∴S 四边形G＝S 四边形EF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25． 6．基本模型 在任意四边形中，出现一组对角互补，则为对角互补模型． 解题思路： 1．过互补角的顶点作旋转构造全等或相似； 2 过互补角的顶点作双垂线构造全等或相似． 问题： 如图，在四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，BD 平分∠B． 结论：①D＝D；②B+B＝ BD；③S 四边形BD＝ BD2 请证明【基本模型】中的结论． 求证：①D＝D；②B+B＝ BD；③S 四边形BD＝ BD2． ①证明：如图， 过点D 作DF⊥B 于点F，DE⊥B 交B 的延长线于点E， ∵BD 平分∠B， ∴DE＝DF， ∵∠B＝∠D＝90°，∠DB+∠B+ + ∠∠D＝360°， ∴∠DB+∠＝180°， ∵∠DB+∠DE＝180°， ∴∠＝∠DE， ∴△ED≌△FD（S）， ∴D＝D； ②证明：如图， 以D 为中心将△DB 逆时针旋转90°得到△DE， 由旋转的性质可得，∠＝∠DE，∠BDE＝90°，DB＝DE，B＝E， + ∵∠∠BD＝180°， ∴∠DE+∠BD＝180°， ∴点B，，E 在同一直线上， ∴BE＝B+E， ∵B＝E， ∴BE＝B+B， ∵∠BDE＝90°， ∴BE2＝DB2+DE2＝2BD2， ∴BE＝ BD， ∴B+B＝ BD； ③证明：如②图， 由旋转的性质可得：△DB≌△DE， ∴S 四边形BD＝S△DBE， ∵DB＝DE，∠DBE＝90°， ∴ ， ∴ ． 7．如图1，∠B＝90°，平分∠B，以为顶点作∠DE＝90°，交于点D，B 于点E． （1）求证：D＝E； （2）图1 中，若＝3，求D+E 的长； （3）如图2，∠B＝120°，平分∠B，以为顶点作∠DE＝60°，交于点D，B 于点E．若＝ 3，求四边形ED 的面积． （1）证明：如图1，过点作G⊥于G，⊥B 于， ∵平分∠B， ∴G＝ ∵∠B＝90°，∠DE＝90°， ∴∠D+∠E＝180°， ∵∠DG+∠D＝180°， ∴∠DG＝∠E， 在△DG 与△E 中 ， ∴△DG≌△E（S）， ∴D＝E； （2）解：由（1）得△DG≌△E， ∴DG＝E， 由题易得△G 与△是全等的等腰直角三角形，且G＝， ∴D+E＝D++E＝G+＝2， 设＝＝x，在Rt△中，由勾股定理，得： 2+2＝2 ∴x2+x2＝32 ∴ （舍负） ∴＝ ∴D+E＝2＝ ； （3）解：如图，过点作G⊥于G，⊥B 于， ∵平分∠B， ∴G＝， 0 ∵∠B＝120°，∠DE＝60°， ∴∠D+∠E＝180°， ∵∠DG+∠D＝180°， ∴∠DG＝∠E， 在△DG 与△E 中 ， ∴△DG≌△E（S）， ∴DG＝E， 由题易得△G 与△是全等的直角三角形，且G＝， ∴D+E＝D++E＝G+＝2， ∴S 四边形ED＝S 四边形G＝2S△G 在Rt△中，有∠＝60°，＝3， ∴＝ ，＝ ∴ ， ∴S 四边形ED＝2S△G＝ ． 8．感知：如图1，D 平分∠B．∠B+∠＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝D． 探究：如图2，D 平分∠B，∠BD+∠D＝180°，∠BD＜90°，求证：DB＝D． 应用：如图3，四边形BD 中，∠B＝45°，∠＝135°，DB＝D＝，则B﹣＝ （用含 的代数式表示） 探究： 证明：如图②中，DE⊥B 于E，DF⊥于F， ∵D 平分∠B，DE⊥B，DF⊥， ∴DE＝DF， ∵∠B+∠D＝180°，∠D+∠FD＝180°， ∴∠B＝∠FD， 在△DF 和△DEB 中， ， ∴△DF≌△DEB（S）， ∴D＝DB． 应用：解：如图③连接D、DE⊥B 于E，DF⊥于F， ∵∠B+∠D＝180°，∠D+∠FD＝180°， ∴∠B＝∠FD， 在△DF 和△DEB 中， ∴△DF≌△DEB（S）， ∴DF＝DE，F＝BE， 在Rt△DF 和Rt△DE 中， ， ∴△DF≌△DE（L）， ∴F＝E， ∴B﹣＝（E+BE）﹣（F﹣F）＝2BE， 在Rt△DEB 中，∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝， ∴BE＝ ， ∴B﹣＝ ． 故答为 ． 9．问题提出： （1）如图1，已知线段B＝2，＝4，连接B，则三角形B 面积最大为 4 ； 问题探究： （2）如图2，在四边形BD 中，B＝D，∠BD＝∠BD＝90°，若D+B＝10，求四边形BD 的面积； 问题解决： （3）在四边形BD 中，B＝D，∠BD+∠BD＝180°，＝8，求四边形BD 面积的最大值． 解：（1）如图1，作BG⊥于点G， ∵S△B＝ •BG，＝4， ∴S△B＝ ×4BG＝2BG， ∴当BG 最大时，S△B的值最大， ∵BG≤B，B＝2， ∴BG≤2， ∴BG 的最大值为2， ∴当BG＝2 时，S△B 最大＝4， ∴三角形B 面积最大为4， 故答为：4 （2）如图2，连接BD， ∵D+B＝10， ∴（D+B）2＝100， ∴D2+B2+2D•B＝100， ∵∠BD＝∠BD＝90°，B＝D， ∴D2+B2＝B2+D2＝BD2， ∴D2+B2＝2D2， 2 ∴D2+2D•B＝100， ∴ D2+ D•B＝25， ∵S△BD＝ D2，S△BD＝ D•B， ∴S 四边形BD＝S△BD+S△BD＝ D2+ D•B＝25， ∴四边形BD 的面积为25． （3）如图3，作E⊥B 于点E，F⊥D 交D 的延长线于点F， ∵∠BD+∠BD＝180°， ∴∠B+∠D＝180°， ∴∠DF+∠D＝180°， ∴∠B＝∠DF， ∵∠EB＝∠F＝90°，B＝D， ∴△BE≌△DF（S）， ∴E＝F，E＝F，S△BE＝S△DF， ∵∠E＝∠F＝90°，＝， Rt ∴ △E Rt ≌ △F（L）， ∴S△E＝S△F， ∴S 四边形BD＝S△BE+S 四边形ED＝S△DF+S 四边形ED＝S△E+S△F＝2S△E， 设E＝m，E＝，则S 四边形BD＝2S△E＝2× E•E＝m， ∵E2+E2＝2，＝8， ∴m2+2＝64， 由（m﹣）2≥0 得m≤ （m2+2）， ∴m≤32， ∴S 四边形BD≤32， ∴S 四边形BD 最大＝32， ∴四边形BD 面积的最大值是32． 10．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）概念理解： ①在互补四边形BD 中，∠与∠是一组对角，若∠B：∠：∠D＝2：3：4，则∠＝ 90 °； ②如图1，在△B 中，点D，E 分别在边B，B 上，且BE•B＝B•BD，求证：四边形DE 是 互补四边形． （2）探究发现：如图2，在等腰△BE 中，E＝BE，点，D 分别在边BE，E 上，D＝B， 四边形ED 是互补四边形，求证：∠BD＝∠B＝ ∠E． （1）①解：∵四边形BD 是互补四边形，∠与∠是一组对角， ∴∠＝180°﹣∠， ∵∠B：∠：∠D＝2：3：4， ∴∠B＝ ，∠D＝ ， + ∵∠∠B+ + ∠∠D＝360°， ∴ +（180°﹣∠）+ ＝360°， ∴∠＝90°， 故答为：90； ②证明：∵BE•B＝B•BD， ∴ ， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△B， ∴∠BED＝∠， + ∴∠∠ED＝∠BED+∠ED＝180°， ∴四边形DE 是互补四边形； （2）证明：∵E＝BE，D＝B， ∴ED＝E， 在△E 和△EBD 中， ， ∴△E≌△EBD（SS）， ∴∠EBD＝∠E， ∵E＝BE， ∴∠EB＝∠EB， ∴∠BD＝∠B， ∵四边形ED 是互补四边形， ∴∠E+∠D＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠E+∠B＝180°， ∴∠BD+∠B＝∠E， ∴∠BD＝∠B＝ ∠E． 11．如图，正方形BD 中，是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶 点P 在射线上移动，另一边交D 于Q． （1）如图1，当点Q 在D 边上时，探究PB 与PQ 所满足的数量关系； 小明同学探究此问题的方法是： 过P 点作PE⊥D 于E 点，PF⊥B 于F 点， 根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE＝PF， 再证明△PEQ≌△PFB，可得出结论，他的结论应是 PB ＝ PQ ； （2）如图2，当点Q 落在D 的延长线上时，猜想并写出PB 与PQ 满足的数量关系，并 证明你的猜想． 解：（1）结论：PB＝PQ， 理由：过P 作PF⊥B，PE⊥D， ∵P，为正方形对角线上的点， ∴P 平分∠DB，∠DB＝90°， ∴PF＝PE， ∴四边形PEF 为正方形， ∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠QPF+∠QPE＝90°， ∴∠BPF＝∠QPE， 在△PEQ 和△PFB 中， ， Rt ∴ △PQE Rt ≌ △PBF， ∴PB＝PQ； 故答为PB＝PQ． （2）PB＝PQ， 证明：过P 作PE⊥B，PF⊥D， ∵P，为正方形对角线上的点， ∴P 平分∠DB，∠DB＝90°， ∴PF＝PE， ∴四边形PEF 为正方形， ∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°， ∴∠BPE＝∠QPF， Rt ∴ △PQF Rt ≌ △PBE， ∴PB＝PQ． 12．【提出问题】 （1）如图1，在等边△B 中，点M 是B 上的任意一点（不含端点B、），连接M，以M 为边作等边△M，连接．求证：B