84 对角互补模型

中考数学几何模型3：对角互补模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90°的对角互 补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题 型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线 类型一：含90°的对角互补模型 （1）如图，∠B= DE=90° ∠ ，平分∠B，则有以下结论： ； ； 作法1 作法2 （2）如图，∠B= DE=90° ∠ ，平分∠B，当∠DE 的一边与的延长线交于点D 时，则有以下结 论： ； ； 作法1 作法2 类型二：含120°的对角互补模型 （1）如图，∠B=2 DE=120° ∠ ，平分∠B，则有以下结论： ； ； 作法1 作法2 （2）如图，∠B= DE=90° ∠ ，平分∠B，当∠DE 的一边与的延长线交于点D 时，则有以下结 论： ； ； 作法1 作法2 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1 如图，正方形BD 与正方形MP 的边长均为10，点是正方形BD 的中心，正方形MP 绕点旋转，证明：无论正方形MP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是 一个定值，并求这个定值． 【解答】解：当P∥D 或P 经过点， 重叠部分的面积显然为正方形的面积的 ，即25， 当P 在如图位置时，过分别作D，B 的垂线垂足分别为E、F， 如图在Rt△EG 与Rt△F 中，∠EG＝∠F，E＝F＝5， ∴△EG≌△F， ∴S 四边形G＝S 四边形EF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25． 变式练习>>> 1 角线交于点，点E、F 分别在B、B 上（E＜BE），且∠EF＝90°，E、D 的延长线交于点 M， F、B 的延长线交于点，连接M． （1）求证：M＝． （2）若正方形BD 的边长为4，E 为M 的中点，求M 的长． 【解答】解：（1）∵四边形BD 是正方形， ∴＝B，∠D＝45°，∠B＝45°， ∴∠M＝∠B＝135°， ∵∠EF＝90°，∠B＝90°， ∴∠M＝∠B， ∴△M≌△B（S）， ∴M＝； 例题2 四边形BD 被对角线BD 分为等腰直角△BD 和直角△BD，其中∠和∠都是直角，另一 条 对角线的长度为2，求四边形BD 的面积． 【解答】解：将△B 绕点旋转90°，使B 与D 重合，到′点， 则有∠D′＝∠D+∠D′＝∠D+∠B＝180°， 所以、D、′在同一直线上，则D′是三角形， 又因为＝′， 所以△′是等腰直角三角形， 在△B 和△D′中 ∴△B≌△D′（SS）， ∴四边形BD 的面积等于等腰直角三角形′的面积， 所以S 四边形BD＝S ′ △＝ ×2×2＝2． 变式练习>>> 2 如图，在四边形BD 中，∠= =90° ∠ ，B=D，若这个四边形的面积为12，则B+D=_______ 答： 例题3 如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝3，B＝4，Rt△MP，∠MP＝90°，点P 在上，PM 交B 于点E，P 交B 于点F，当PE＝2PF 时，P＝ 3 ． 【解答】解：如图作PQ⊥B 于Q，PR⊥B 于R． ∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°， ∴四边形PQBR 是矩形， ∴∠QPR＝90°＝∠MP， ∴∠QPE＝∠RPF， ∴△QPE∽△RPF， ∴ ＝ ＝2， ∴PQ＝2PR＝2BQ， ∵PQ∥B， ∴Q：QP：P＝B：B：＝3：4：5，设PQ＝4x，则Q＝3x，P＝5x，BQ＝2x， 2 ∴x+3x＝3， ∴x＝ ， ∴P＝5x＝3． 故答为3． 变式练习>>> 3 如图，在矩形BD 中，B＝3，B＝5，点E 在对角线上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E， 直线EF 交线段D 于点F，则 ＝（ ） ． B． ． D． 【解答】解：如图，连接BF，取BF 的中点，连接E，． ∵四边形BD 是矩形，EF⊥BE， ∴∠BEF＝∠BF＝90°，B＝D＝3，B＝D＝5， ∵B＝F， ∴E＝B＝F＝， ∴B，，F，E 四点共圆， ∴∠EBF＝∠EF， t ∴∠EBF＝t∠D， ∴ ＝ ＝ ， 故选：B．【本题两种方法解答，过E 作两垂线亦可】 例题4 用两个全等且边长为4 的等边三角形△B 和△D 拼成菱形BD．把一个60°角的三角尺 与 这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点重合，两边分别与B，重合，将三角尺绕点按 逆时 针方向旋转． （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边B，D 相交于点E，F 时，（如图1），通过观察或 测量BE，F 的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边B，D 的延长线相交于点E，F 时（如图2），你在 （1）中得到的结论还成立吗？说明理由； （3）在上述情况中，△E 的面积是否会等于 ？如果能，求BE 的长；如果不能，请说 明理由． 【解答】解：（1）BE＝F． 证明：在△BE 和△F 中， ∵∠BE+∠E＝∠F+∠E＝60°， ∴∠BE＝∠F． ∵B＝，∠B＝∠F＝60°， ∴△BE≌△F（S）． ∴BE＝F； （3）能． △E 的E 边上的高为等边△B 的高，为2 ， ∵△E 的面积等于 ， ∴底边E＝2， ∴BE＝6 或2． 变式练习>>> 4 我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”． （1）若点（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点的坐标； （2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形B 是正方形，点坐标为（0，4），连接B，E 点从向B 运动，速度为2 个单位/秒，到B 点时运动停止，设运动时间为t． ①不管t 为何值，E 点总是“完美点”； ②如图2，连接E，过E 点作PQ⊥x 轴分别交B、于P、Q 两点，过点E 作EF⊥E 交x 轴于 点F，问：当E 点运动时，四边形FQP 的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值； 若改变，请说明理由． 【解答】解（1）∵点（x，y）是“完美点” ∴x＝y ∵x+y＝4 ∴x＝2，y＝2 ∴点坐标（2，2） （2）①∵四边形B 是正方形， 点坐标为（0，4）， ∴＝B＝B＝4 ∴B（4，4） 设直线B 解析式y＝kx 过B 点 4 ∴＝4k k＝1 ∴直线B 解析式y＝x 设点E 坐标（x，y） ∵点E 在直线B 上移动 ∴x＝y ∴不管t 为何值，E 点总是“完美点”． 例题5 已知，点P 是∠M 的平分线上的一动点，射线P 交射线M 于点，将射线P 绕点P 逆 时针旋转交射线于点B，且使∠PB+∠M＝180°． （1）利用图1，求证：P＝PB； （2）如图2，若点是B 与P 的交点，当S△PB＝3S△PB时，求PB 与P 的比值； （3）若∠M＝60°，B＝2，射线P 交于点D，且满足且∠PBD＝∠B，请借助图3 补全图 形，并求P 的长． 【解答】解：（1）作PE⊥M，PF⊥，垂足为E、F ∵四边形EPF 中，∠EP＝∠FP＝90°， ∴∠EPF+∠M＝180°，已知∠PB+∠M＝180°， ∴∠EPF＝∠PB，即∠EP+∠PF＝∠PF+∠FPB， ∴∠EP＝∠FPB， 由角平分线的性质，得PE＝PF， ∴△EP≌△FPB，即P＝PB； （2）∵S△PB＝3S△PB， ∴P＝3P， 由（1）可知△PB 为等腰三角形，则 ∠PB＝ （180°﹣∠PB）＝ ∠M＝∠BP， 又∵∠BP＝∠PB（公共角）， ∴△PB∽△PB， ∴ ＝ ， 即PB2＝P•P＝3P2， ∴ ＝ 达标检测 领悟提升 强化落实 1 如图，在等腰Rt B △中，∠=90°，=8，F 是B 边上的中点，点D、E 分别在、B 边上运动， 且保持D=E，连结DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF 是等腰直角三 角形；②四边形DFE 不可能为正方形；③四边形DFE 的面积保持不变；④DE 长度的最小值 为4；⑤△DE 面积的最大值为8，其中正确的结论是______________ 答：①②③ 2 如图，在四边形BD 中，B=B，∠B= D=90° ∠ ，BE D ⊥ 于点E，且四边形BD 的面积为8，求 BE 的长 答： 3 如图，正方形BD 的边长为6，点是对角线，BD 的交点，点E 在D 上，且DE＝2E，连接 BE．过点作F⊥BE，垂足为点F，连接F．求： （1）F 的长； （2）F 的长． 【解答】解：（1）如图，在BE 上截取BG＝F，连接G， ∵RT△BE 中，F⊥BE， ∴∠EB＝∠EF， ∵∠B＝∠D＝45°， ∴∠BG＝∠F， 在△BG 与△F 中， ， ∴△BG≌△F（SS）， ∴G＝F，∠BG＝∠F， ∴G⊥F， 在RT△BE 中，B＝D＝6，DE＝2E， ∴E＝2， ∴BE＝ ＝ ＝2 ， ∵B2＝BF•BE， 则62＝BF•2 解得：BF＝ ， ∴EF＝BE﹣BF＝ ， ∵F2＝BF•EF， ∴F＝ ； 4 如图①，∠QP 的顶点P 在正方形BD 两条对角线的交点处，∠QP＝α，将∠QP 绕点P 旋 转，旋转过程中∠QP 的两边分别与正方形BD 的边D 和D 交于点E 和点F（点F 与点， D 不重合）． （1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，D 之间满足的数量关系是 DE + DF ＝ D ； （2）如图②，将图①中的正方形BD 改为∠D＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60° 时，（1）中的结论变为DE+DF＝ D，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QP 的边PQ 与射线D 交于点E，其他条件不变， 探究在整个运动变化过程中，DE，DF，D 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用 加以证明． 【解答】解：（1）正方形BD 的对角线，BD 交于点P， ∴P＝PD，∠PE＝∠PDF＝45°， ∵∠PE+∠EPD＝∠DPF+∠EPD＝90°， ∴∠PE＝∠DPF， 在△PE 和△DPF 中 ∴△PE≌△DPF（S）， ∴E＝DF， ∴DE+DF＝D； （2）如图②，取D 的中点M，连接PM， ∵四边形BD 为∠D＝120°的菱形， ∴BD＝D，∠DP＝30°，∠DP＝∠DP＝60°， ∴△MDP 是等边三角形， ∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°， ∵∠PM＝30°， ∴∠MPD＝60°， ∵∠QP＝60°， ∴∠MPE＝∠FPD， 在△MPE 和△DPF 中， ∴△MPE≌△DPF（S） ∴ME＝DF， ∴DE+DF＝ D； 5 “如图1，在Rt△B 中，∠B＝90°，D⊥B 于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识， 易证： ＝ ．在图1 这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E 是直线 上一动点，连接DE，过点D 作FD⊥ED，交直线B 于点F，设 ＝ ．” （1）探究发现：如图②，若m＝，点E 在线段上，则 ＝ 1 ； （2）数学思考： ①如图3，若点E 在线段上，则 ＝ （用含m，的代数式表示）； ②当点E 在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4 的情形给出证明； （3）拓展应用：若＝ ，B＝2 ，DF＝4 ，请直接写出E 的长． 【解答】解：（1）当m＝时，即：B＝， ∵∠B＝90°， + ∴∠∠B＝90°， ∵D⊥B， ∴∠DB+∠B＝90°， ∴∠＝∠DB， ∵∠FDE＝∠D＝90°， ∴∠FDE﹣∠DE＝∠D﹣∠DE， 即∠DE＝∠DF， ∴△DE∽△DF，∴ ＝ ， ∵∠＝∠DB，∠D＝∠BD＝90°， ∴△D∽△DB， ∴ ＝ ＝1，∴ ＝1， 故答为1． （2）①∵∠B＝90°， + ∴∠∠B＝90°， ∵D⊥B， ∴∠DB+∠B＝90°， ∴∠＝∠DB， ∵∠FDE＝∠D＝90°， ∴∠FDE﹣∠DE＝∠D﹣∠DE， 即∠DE＝∠DF， ∴△DE∽△DF，∴ ＝ ， ∵∠＝∠DB，∠D＝∠BD＝90°， ∴△D∽△DB， ∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ， 故答为 ． （3）由（2）有，△DE∽△DF， ∵ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴F＝2E， 在Rt△DEF 中，DE＝2 ，DF＝4 ， ∴EF＝ ＝ ＝2 ， ①当E 在线段上时，在Rt△EF 中， F＝2E＝2（﹣E）＝2（ ﹣E），EF＝2 ， 根据勾股定理得，E2+F2＝EF2， ∴E2+[2（ ﹣E）]2＝40 ∴E＝2 ，或E＝﹣ （舍） 而＝ ＜E， ∴此种情况不存在， 6（2019·贵阳适应性）如图①，已知=B，⊥B，直线M 经过点B，过点作D M ⊥ ，垂足为 D，连接D． （1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法） （2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想D、BD 与D 之间的数量关系，并说明理由； （3）探索拓广：一天小明一家在某公游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②， 爸爸在处，妈妈在处，小明在D 处，B 为公大门口，若B、D 在直线M 上，且⊥B，D M ⊥ ， =B，D=100m，D=40m，求出小明到公门口的距离BD 的长度