专题19 相似三角形重要模型之（双）字型与（双）8 字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多， 是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）字模型和（双）8（X）字模型． 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线， 有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ，

专题19 相似三角形重要模型之（双）字型与（双）8 字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多， 是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）字模型和（双）8（X）字模型． 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线， 有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ，

专题24 相似模型之（双）字型与（双）8 字型模型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计 算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的 基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）字模型和（双） .....................................................................................16 【知识储备】字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是 直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论 小题还是大题都是屡见不鲜的。 ， ， ， ， ， ， ， ， ，故答为： ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 16．（2023·吉林长春·统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一 种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图， 是 边 上一点， 是 的中点， 过点 作 ，交 的延长线于点 ，则易证 是线段 的中点． 【经验运

专题24 相似模型之（双）字型与（双）8 字型模型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计 算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的 基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）字模型和（双） .....................................................................................10 【知识储备】字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是 直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论 小题还是大题都是屡见不鲜的。 ． 15．（23-24 九年级上·河南驻马店·期中）如图， ，点 在 上， 与 交于点 ， 若 ，则 ． 16．（2023·吉林长春·统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一 种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图， 是 边 上一点， 是 的中点， 过点 作 ，交 的延长线于点 ，则易证 是线段 的中点． 【经验运

相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专 题已经很详细的讲解，这里就不在重复 模型一、字型相似模型 字型（平行） 反字型（不平行） 模型二、8 字型与反8 字型相似模型 模型三、X 型相似模型（字型及X 字型两者相结合） 模型四、共边角相似模型（子母型） 模型探究 模型五、手拉手相似模型 考点一、字相似模型 【例1】．如图，在△B 的面积为2，则△B 的面积为（ ） ．8 B．10 ．12 D．14 【变式2-3】如图，锐角三角形B 中，∠＝60°，BE⊥于E，D⊥B 于D，则DE：B＝ ． 考点三、X 型相似模型（字型及X 字型两者相结合） 【例3】如图，在△B 中，点D 和E 分别是边B 和的中点，连接DE，D 与BE 交于点，若 △DE 的面积为1，则△B 的面积为（ ） ．6 B．9 ．12 D．135 变式训练

相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专 题已经很详细的讲解，这里就不在重复 模型一、字型相似模型 字型（平行） 反字型（不平行） 模型二、8 字型与反8 字型相似模型 模型三、X 型相似模型（字型及X 字型两者相结合） 模型四、共边角相似模型（子母型） 模型探究 模型五、手拉手相似模型 考点一、字相似模型 【例1】．如图，在△B 的面积为2，则△B 的面积为（ ） ．8 B．10 ．12 D．14 【变式2-3】如图，锐角三角形B 中，∠＝60°，BE⊥于E，D⊥B 于D，则DE：B＝ ． 考点三、X 型相似模型（字型及X 字型两者相结合） 【例3】如图，在△B 中，点D 和E 分别是边B 和的中点，连接DE，D 与BE 交于点，若 △DE 的面积为1，则△B 的面积为（ ） ．6 B．9 ．12 D．135 变式训练

平行线分线段成比例【八大题型】 【人版】 【题型1 “#”字型】................................................................................................................................................... 1 【题型2 “X”字型】................. .......2 【题型3 “”字型】..................................................................................................................................................... 4 【题型4 “8”字型】................ 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如B）称为上，位置靠下的称为下，两条 线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为  上 上 下 下，  上 上 全 全，  下 下 全 全． 【题型1 “#”字型】 【例1】（2022•醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线和DF 被l1，l2，l3所截，如果B＝ 2，B＝3，EF＝2，那么DE 的长是（ ） ．2 B．4 3 ．1 D．3

本模型． 在添加辅助线时，所添加 辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成 比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系． 常见相似模型 A 字型 “8” 字型 一线三等角型 母子型 相似基本模型专题探究之一线三等角 【知识点睛】 一. 常见基本类型： 同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景） 异侧型 二.模型性质应用： 常用结论： E D C B A G H G F E D C B A E F D C B A F E D C B A “”字型 1 图① 字型DE//B，结论： ， 2 图②反 字型∠DE=∠B，结论： 3 图③双 字型DE//B，结论： ， 4 图④内含正方形 字形，结论 （为正方形边长） I H G F E D C B A G F E D C B 根据平行线和公共角对应角相等，导出三角形相似 例2 如图， 、 是 的边 、 上的点，且 ， 求证： E D C B A 【答】∵ ∴ ∵ ∴ ∽ ∴ 【解析】由边乘积导出对应边成比例 反字型需要注意对应边和对应角的识别 例3 如图，在△B 中，点D，E，Q 分别在B，，B 上，且DE∥B，Q 交DE 于点 P．求证：DP BQ = PE QC 【答】证明：在△BQ 和△DP

专题278 相似三角形的常见模型【八大题型】 【人版】 【题型1 字型】........................................................................................................................................................ 2 【题型2 ........................................................................................ 3 【题型3 X 字型】.................................................................................................. ............... 13 【基本模型】 ①如图，在 中，点D 在 上，点E 在 上， ，则 ， ． ②模型拓展1：斜交字型条件： ，图2 结论： ； ③模型拓展2： 如图，∠D＝∠B⇔△D∽△B⇔ ． 1 【题型1 字型】 【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯 下的 处走到 处时，测得影子 的长为1 米，继续往前走2 米到达

N E D C B A 策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值 比如常见有：“”字型线段比、“8”字型线段比． “”字型线段比： ． M D C B A “8”字型线段比： ． M D C B A 转化为垂线： 共底，面积之比化为高之比： ． M N A B C D 面积能算那就算，算不出来就转换； 于 点 ，当 时，求点 的坐标． F y x O D C B A 【分析】 （1）解析式： （2）显然△F 和△DF 共高，可将面积之比化为底边之比． ， 思路1：转化底边之比为“”字型线段比 在y 轴上取点E（0，5），（为何是这个点？因此此时：E=3：2） 过点E 作B 的平行线交x 轴于G 点， G D2 E A B C D1 O x y F EG 与抛物线交点即为所求D 根据平行线分线段成比例，F：FD=：E=3：2． 直线EG 解析式为：y=-x+5， 与抛物线联立方程，得： ， 解得： ， ． 故D 点坐标为（1，4）或（2，3）． 思路2：转化底边之比为“8”字型线段比 G A B C D O x y F 过点D 作DG∥y 轴交B 边于点G，则 ，又=3，故点G 满足DG=2 即可．这个问 题设D 点坐标即可求解． 也可以构造水平“8”字，过点D