附8 相似三角形的常见模型

学霸班主任精编2022 年中考数学相似三角形的常见模型 1 了解相似三角形的性质定理与判定定理； 2 能利用相似三角形的性质定理和判定定理解决简单问题 1 相似三角形的判定； 2 能构成相似三角形的常见模型 《模型分析》 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现， 其变化很多，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型， 再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型． 在添加辅助线时，所添加 辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成 比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系． 常见相似模型 A 字型 “8” 字型 一线三等角型 母子型 相似基本模型专题探究之一线三等角 【知识点睛】 一. 常见基本类型： 同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景） 异侧型 二.模型性质应用： 常用结论： 1.易得△左∽△右； 2.如图②，当DE=DF时，△BDE ≌△CFD； 3. “ ” 中点型一线三等角中，可得三个三角形两两相似 如右图，若∠1= ∠2= ∠3，且BD=DC，则△1∽△2∽△3 模型构造： 1. 图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题 2. 图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题 3. 图中某直线上只存在1 个角，补上“两等角”，构造模型解题 如果直线上只有1 个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30°、 45°、60°） 特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。 “一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度 一般地：当动点E 运动到底边的 中点时，F 有最大值 当∠=∠时 B D △∽△ 性质： 相似常见模型之平行相似 【知识点睛】  字图及其变型“斜型” 变型 ☆：斜型在圆中的应用： 如图可得：△PB∽△PD  8 字图及其变型“蝴蝶型” 变型 一、相似的有关概念 当B D ∥ 时 B D △∽△ 性质： ☆：“字图”最值应用 字图中作动态矩形求最大面积时，通常当M 为△B 中位线， 矩形面积达到最大值！ 知识点睛 ☆：字图与8 字图相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此两种模型 常见“∥”的引入方式： 1. 直接给出平行的已知条件 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等几何图形中自带的平行 3. 由很多中点构造的“中位线”的平行 4. 根据线段成比例的条件或结论自己构造平行辅助线 当DE B ∥时 DE B △ ∽△ 性质： ☆：“蝴蝶型”常见应用 1. 常出现在“圆”中，直接由相交弦得到，求角度相关此时注意“同弧所对圆周角相等”的应用 2. 出现在“手拉手模型”中，用于证明“两直线垂直”或者“两直线成一固定已知角度” 当∠DE= B ∠时 DE B △ ∽△ 性质： ①AD AB = AE AC = DE BC AD AC = AE AB = DE BC ②AD DB = AE EC AB CD = OA OD = OB OC AB CD = JA JC = JB JD 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图 形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图， 与 相似，记作 ，符号 读作“相似于”． A' B' C' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定 是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图， 与 相似，则有 ． A' B' C' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 如图， 与 相似，则有 （ 为相似比）． A' B' C' C B A 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1 ， 与 相似， 是 中 边上的中线， 是 中 边上的中线，则有 （ 为相似比）． M' M A' B' C' C B A 图1 如图2， 与 相似， 是 中 边上的高线， 是 中 边上的高线，则有 （ 为相似比）． H' H A B C C' B' A' 图2 如图3 ， 与 相似， 是 中 的角平分线， 是 中 的角平分线，则有 （ 为相似比）． D' D A' B' C' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4， 与 相似，则有 （ 为相似比）．应用 比例的等比性质有 ． A' B' C' C B A 图4 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图5， 与 相似， 是 中 边上的高线， 是 中 边上的高线，则有 （ 为相似比）．进而可得 ． H' H A B C C' B' A' 图5 四、相似三角形的判定 1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与 原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似． 3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这 两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似． 5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个 等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式 证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法 欲证 ，横向观察，比例式中的分子的两条线段是 和 ，三个字母 恰为 的顶点；分母的两条线段是 和 ，三个字母 恰为 的三个顶点．因此只需证 ． 2．纵向定型法 欲证 ，纵向观察，比例式左边的比 和 中的三个字母 恰为 的顶点；右边的比两条线段是 和 中的三个字母 恰为 的三个顶点．因此只需证 ． 3．中间比法 由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运 用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法 就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比． 比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射 影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解． 倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和 的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之． 复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换， 等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明． 六、相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同 时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等 积代换等． 如图： 平分 交 于 ，求证： ． 3 2 1 E D C A B 证法一：过 作 ，交 的延长线于 ． ∴ ， ． ∵ ，∴ ．∴ ． ∵ ，∴ ． 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“”型图的基本模型． B A C D E 1 2 证法二；过 作 的平行线，交 的延长线于 ． ∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ． 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型． 七、相似证明中的面积法 面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下： H D C B A 如图： ． G H O D C B A 如图： ． C D E B A 如图： ． 八、相似证明中的基本模型 I H G F E D C B A G F E D C B A E D C B A E D C B A E F D C B A F E D C B A O D C B A O D C B A H E D C B A E D C B A E D C B A O D C B A D C B D B A C A E D C B A D C B A G F E D C B A G F E D C B A G F E D C B A D E F C B A H P M N F E D C B A G H G F E D C B A E F D C B A F E D C B A “”字型 1 图① 字型DE//B，结论： ， 2 图②反 字型∠DE=∠B，结论： 3 图③双 字型DE//B，结论： ， 4 图④内含正方形 字形，结论 （为正方形边长） I H G F E D C B A G F E D C B A E D C B A E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 例1 如图，在△B 中，D，E 分别是B 和上的点，且DE∥B， ＝ ，DE＝ 6，则B 的长为（ ） ．8 B．9 ．10 D．12 【分析】根据相似三角形的性质可得 ＝ ，再根据 ＝ ，DE＝6，即可得出 ＝ ，进而得到B 长． 【解答】解：∵DE∥B， △ ∴DE∽△B， ∴ ＝ ， 又∵ ＝ ，DE＝6， ∴ ＝ ， ∴B＝10， 故选：． 根据平行线和公共角对应角相等，导出三角形相似 例2 如图， 、 是 的边 、 上的点，且 ， 求证： E D C B A 【答】∵ ∴ ∵ ∴ ∽ ∴ 【解析】由边乘积导出对应边成比例 反字型需要注意对应边和对应角的识别 例3 如图，在△B 中，点D，E，Q 分别在B，，B 上，且DE∥B，Q 交DE 于点 P．求证：DP BQ = PE QC 【答】证明：在△BQ 和△DP 中， DP∥BQ ∵ ， △DP∽△BQ ∴ ， ∴DP BQ = AP AQ ， 同理在△Q 和△PE 中，PE QC = AP AQ ， ∴DP BQ = PE QC 【解析】可证明△DP∽△BQ，△Q∽△DP，从而得出DP BQ = PE QC 以上两个题目为双字模型，注意相同比例的等量代换 例4 如图，在△B 中，B＝＝10，B＝12，矩形DEFG 的顶点位于△B 的边上，设 EF＝x，S 四边形DEFG＝y． （1）填空：自变量x 的取值范围是 0 ＜ x ＜ 12 ； （2）求出y 与x 的函数表达式； （3）请描述y 随x 的变化而变化的情况． 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）利用勾股定理和等腰三角形的三线合一求得B、，再利用△DG∽△B，得出比例线 段，利用x 表示出M，进一步利用矩形的面积求的函数解析式；列表取值，描点画出图 象； （3）根据以上三种表示方式回答问题即可． 【解答】解：（1）0＜x＜12； 故答为：0＜x＜12； （2）如图，过点作⊥B 于点，交DG 于点M， ∵B＝＝10，B＝12，⊥B， ∴B＝＝6，＝ ＝8， ∵DG∥B， ∠ ∴ DG＝∠B，∠GD＝∠B， △ ∴DG∽△B， ，即 ， ∴M＝8﹣ x． ∴y＝EF•M＝x（8﹣ x）＝﹣ x2+8x＝﹣ （x 6 ﹣）2+24； （3）当0＜x＜6 时，y 随x 的增大而增大； 当x＝6 时，y 的值达到最大值24， 当6＜x＜12 时，y 随x 的增大而减小． 练习1 如图，在一块三角形区域B 中，∠＝60°，D 是△B 的高，B＝10 米，D＝8 米．现 要在这个三角形区域内建造一个矩形水池EFG，如图的方是点G，在B 边上，点E 在 B 边上，点F 在边上． （1）设 EG＝x，当x 取何值时，水池EFG 的面积为15 米2？ （2）该水池的面积能不能为25 米2？ （3）实际施工时，发现在B 上距点3 米处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩 形水池的边上？在或不在，请说明理由． 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得EF∥B，然后求出△EF 和△B 相似，再利用相似 三角形对应高的比等于相似比列式表示出EF，再根据矩形的面积公式列式计算即可得 解； （2）根据面积等于25 列出方程，利用根的判别式判断即可； （3）根据二次函数的最值问题求出面积最大时的x 的值，再利用∠的正切值求出的长 度，然后与3 米比较即可判断． 【解答】解：（1）∵四边形EFG 是矩形， ∴EF∥B， △ ∴EF∽△B， ∴ ＝ ， 即 ＝ ， 解得EF＝ ， ∴水池EFG 的面积＝x• ＝ ， 当面积为15 米2时， ＝15， 整理得，x2 8 ﹣x+12＝0， 解得x1＝2，x2＝6， 答：x＝2 米或6 米时，水池EFG 的面积为15 米2； （2）假设水池的面积能为25 米2， 则 ＝25， 整理得，x2 8 ﹣x+20＝0， △ ∵＝b2 4 ﹣＝（﹣8）2 4×1×20 ﹣ ＝64 80 ﹣ ＝﹣16＜0， ∴方程没有实数解， 故水池的面积不能为25 米2； （3）∵水池EFG 的面积＝ ＝﹣ （x2 8 ﹣x）＝﹣ （x 4 ﹣）2+20， ∴当x＝4 时，水池的面积最大， ∠ ∵ ＝60°， ∴＝x÷t60°＝4÷ ＝ ＜3， ∴大树能位于最大矩形水池的边G 上． 本题难度稍微大一点，综合性比较强，涉及到二次函数的内容，学生需要计算功底比较扎 实 “8”字型 1 图①“8”字型B//D，结论： ， 2 图②“反8”字型∠=∠，结论： 、四点共圆 3 图③“双8”字型B//D，结论： ， 4 图④“ 、8”字型B//D//EF，结论： 5 图⑤，结论： 、 E F D C B A F E D C B A O D C B A O D C B A 图① 图② 图③ 图④ G F E D C B A 图⑤ 例1 如图，▱BD 中，E 是D 的延长线上一点，BE 与D 交于点F．证明： △BF∽△EB． 【分析】根据平行四边形对角相等可得∠＝∠，对边平行可得B∥D，根据两直线平行， 内错角相等得到∠BF＝∠E，然后利用两角对应相等，两三角形相似即可证明． 【解答】证明：∵四边形BD 是平行四边形， ∠ ∴ ＝∠，B∥D， ∵B∥D， ∠ ∴ BF＝∠E， 在△BF 和△EB 中，∠＝∠，∠BF＝∠E， △ ∴BF∽△EB． 练习1 如图，△B 中，D、BE 是两条中线，则S△ED：S△B＝（ ） ．1：2 B．2：3 ．1：3 D．1：4 【分析】在△B 中，D、BE 是两条中线，可得DE 是△B 的中位线，即可证得 △ED∽△B，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答． 【解答】解：∵△B 中，D、BE 是两条中线， ∴DE 是△B 的中位线， ∴DE∥B，DE＝ B， △ ∴ED∽△B， ∴S△ED：S△B＝（ ）2＝ ． 故选：D． 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数 形结合思想的应用． 例2 如图，在▱BD 中，∠B 的平分线BF 分别与、D 交于点E、F． （1）求证：B＝F； （2）当B＝3，B＝5 时，求 的值． 【分析】（1）由在▱BD 中，D∥B，利用平行线的性质，可求得∠2＝∠3，又由BF 是 ∠B 的平分线，易证得∠1＝∠3，利用等角对等边的知识，即可证得B＝F； （2）易证得△EF∽△EB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得 的值． 【解答】解：（1）如图，在▱BD 中，D∥B． ∠2 ∴ ＝∠3， ∵BF 是∠B 的平分线， ∠1 ∴ ＝∠2， ∠1 ∴ ＝∠3， ∴B＝F； （2）∵∠EF＝∠EB，∠2＝∠3， △ ∴EF∽△EB， ∵F＝B＝3， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ． 练习1 如图，在正方形BD 中，E⊥DF 于点，假设正方形的边长1，F＝x． （1）试求四边形DE 的面积； （2）当F 是B 的中点时，求四边形DE 的面积的值． 【分析】（1）先得△BE △ ≌DF，则S△BE＝S△DF＝ x，再由△F∽△BE 求得S△F，则S 四边形DE＝1﹣S△BE﹣S△DF﹣S△F． （2）当F 是B 的中点时，x＝ ，代入（1）中所求的表达式求得四边形DE 的面积的 值． 【解答】解：（1）易知△BE △ ≌DF， 得BE＝F＝x，E2＝1+x2， ． 又△F∽△BE， 所以S△BE：S△F＝E2：F2＝（1+x2）：x2， 得 ． 所以 ． （2）当F 是B 的中点时， ， 此时 ． 以上两个题目是字型和8 字型的综合题目，需要将两种模型的特点结合使用，题目分析思 路相对比较复杂 例3 如图，点E 在矩形BD 的边D 上，且∠EB＝∠EB． （1）求证：E＝ED； （2）连接BD 交B 于点F，求△BF 和△DEF 的面积之比． 【分析】（1）根据L 证明Rt△BE Rt△ ≌ DE 即可． （2）利用相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形BD 是矩形， ∴B＝D，∠＝∠DE＝90°， ∠ ∵ EB＝∠EB， ∴EB＝E， Rt△ ∴ BE Rt△ ≌ DE（L）， ∴E＝ED． （2）解：∵B＝D，E＝ED， ∴B＝2DE， ∵DE∥B， △ ∴DEF∽△BF， ∴ ＝（ ）2＝ ． 练习1 如图，在四边形BD 中，∠B＝90°，对角线平分∠BD，2＝B•D． （1）求证：⊥D； （2）若点E 是D 的中点，连接E，∠E＝134°，求∠BD 的度数． 【分析】（1）只要证明△B∽△D，看到∠B＝∠D＝90°解决问题； （2）首先证明∠D＝∠ED＝67°，再利用相似三角形的性质推出∠B＝∠D＝67°即可解 决问题； 【解答】（1）证明