模型05 相似三角形中的常见五种基本模型（原卷版）

相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专 题已经很详细的讲解，这里就不在重复 模型一、字型相似模型 字型（平行） 反字型（不平行） 模型二、8 字型与反8 字型相似模型 模型三、X 型相似模型（字型及X 字型两者相结合） 模型四、共边角相似模型（子母型） 模型探究 模型五、手拉手相似模型 考点一、字相似模型 【例1】．如图，在△B 中，∠＝78°，B＝4，＝6，将△B 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影 三角形与原三角形不相似的是（ ） ． B． ． D． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，DE∥B，⊥B 于点，与DE 交于点G．若 ，则 ＝ ． 例题精讲 【变式1-2】如图，在△B 中，M 是的中点，E 是B 上一点，E＝ B，连接EM 并延长，交 B 的延长线于D，则 ＝__________ 【变式1-3】．如图，在△B 中，点D 在边B 上，D＝9，BD＝7．＝12．△B 的角平分线E 交D 于点F． （1）求证：△D∽△B； （2）若F＝8，求E 的长度． 考点二、8 字与反8 字相似模型 【例2】．如图，G∥BD，F：FB＝1：2，B：D＝2：1，求 的值 变式训练 【变式2-1】．如图，B∥D，E∥FD，E、FD 分别交B 于点G、，则下列结论中错误的是（ ） ． B． ． D． 【变式2-2】．如图，在平行四边形BD 中，E 为边D 的中点，连接，BE 交于点F．若△EF 的面积为2，则△B 的面积为（ ） ．8 B．10 ．12 D．14 【变式2-3】如图，锐角三角形B 中，∠＝60°，BE⊥于E，D⊥B 于D，则DE：B＝ ． 考点三、X 型相似模型（字型及X 字型两者相结合） 【例3】如图，在△B 中，点D 和E 分别是边B 和的中点，连接DE，D 与BE 交于点，若 △DE 的面积为1，则△B 的面积为（ ） ．6 B．9 ．12 D．135 变式训练 【变式3-1】如图，DE 是△B 的中位线，F 为DE 中点，连接F 并延长交B 于点G，若S△EFG ＝1，则S△B＝ ． 【变式3-2】．如图：D∥EG∥B，EG 交DB 于点F，已知D＝6，B＝8，E＝6，EF＝2． （1）求EB 的长； （2）求FG 的长． 【变式3-3】如图，已知B∥D，与BD 相交于点E，点F 在线段B 上， ， ． （1）求证：B∥EF； （2）求S△BE：S△EB：S△ED． 模型四、子母型相似模型 【例4】如图，点，D 在线段B 上，△PD 是等边三角形，且∠PB＝120°，求证： （1）△P∽△PDB， （2）D2＝•BD． 变式训练 【变式4-1】如图，点P 在△B 的边上，要判断△BP∽△B，添加一个条件，不正确的是（ ） ．∠BP＝∠ B．∠PB＝∠B ． D． 【变式4-2】如图，在△B 中，点D 在边上，连接BD，若∠B+∠BD＝180°，D＝2，D＝4， 则B 的长为（ ） ．3 B．4 ． D．2 【变式4-3】．如图，边长为4 的正方形，内切圆记为圆，P 为圆上一动点，则 P+PB 的 最小值为 ． 模型五、手拉手相似模型 【例5】如图，△B 与△DEF 均为等边三角形，为B、EF 的中点，则D：BE 的值为 ． 变式训练 【变式5-1】如图，在△B 与△DE 中，∠B＝∠DE，∠B＝∠DE． 求证：（1）△B∽△DE； （2）△BD∽△E． 【变式5-2】如图，点D 是△B 内一点，且∠BD＝90°，B＝2，＝ ，∠BD＝∠BD＝30°，D ＝ ． 【变式5-3】．如图，在四边形BD 中，E⊥B，垂足为E，∠BE＝∠D，BE＝E＝2，D＝5， D＝kB（k 为常数），则BD 的长为 ．（用含k 的式子表示） 1．如图，已知DE∥B，EF∥B，则下列比例式中错误的是（ ） ． ＝ B． ． D． 2．如图，梯形BD 中，D∥B，∠B＝∠D＝90°，B＝2，D＝3，则△B 与△D 的面积比为（ ） ．2：3 B．2：5 ．4：9 D． ： 3．如图，菱形BD 中，E 点在B 上，F 点在D 上，G 点、点在D 上，且E∥∥GF．若＝8，G ＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（ ） ．F B．FD ．BE D．E 4．如图，在△B 中，B＝6，E，F 分别是B，的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交E 于点 D，∠BP 的平分线交E 于点Q，当Q＝ E 时，EP+BP 的值为（ ） 实战演练 ．6 B．9 ．12 D．18 5．如图，在四边形BD 中，D∥B，∠B＝90°，B＝2 ，D＝2，将△B 绕点顺时针方向旋转 后得△′B′，当′B′恰好经过点D 时，△B′D 为等腰三角形，若BB′＝2，则′等于（ ） ． B．2 ． D． 6．如图，已知，△B 中边B 上一点P，且∠P＝∠B，＝4，P＝2，则BP＝ ． 7．如图，在▱BD 中，、BD 相交于点，点E 是的中点，联结BE 并延长交D 于点F，如果 △EF 的面积是4，那么△BE 的面积是 ． 8．如图，在△B 中，点G 为B 的重心，过点G 作DE∥分别交边B、B 于点D、E，过点D 作 DF∥B 交于点F，如果DF＝4，那么BE 的长为 ． 9．如图，已知Rt△B 中，两条直角边B＝3，B＝4，将Rt△B 绕直角顶点B 旋转一定的角度 得到Rt△DBE，并且点落在DE 边上，则s∠BE＝ ． 10．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝60°，＝6，D 平分∠B，交边B 于点D，过点D 作 的平行线，交边B 于点E． （1）求线段DE 的长； （2）取线段D 的中点M，联结BM，交线段DE 于点F，延长线段BM 交边于点G，求 的值． 11．如图，在菱形BD 中，∠DE、∠DF 分别交B、B 于点E、F，DF 交对角线于点M，且 ∠DE＝∠DF． （1）求证：E＝F； （2）连接ME，若 ＝ ，F＝2，求ME 的长． 12．[问题背景]（1）如图①，已知△B∽△DE，求证：△BD∽△E． [尝试应用]（2）如图②，在△B 和△DE 中，∠B＝∠DE＝90° ∠B＝∠DE＝30°，与DE 相交于点F，点D 在B 边上， ＝ ， ①填空： ＝ ； ②求 的值． 13．如图，在正方形BD 中，B＝4，E、F 分别是B、D 上的点，且∠EF＝45°，E、F 分别 交BD 于点M、，连接E、EF． （1）求证：△B∽△MBE； （2）求证：BM2+D2＝M2； （3）①求△EF 的周长； ②若点G、F 分别是EF、D 的中点，连接G，则G 的长为 ． 14．问题背景 如图（1），已知△B∽△DE，求证：△BD∽△E； 尝试应用 如图（2），在△B 和△DE 中，∠B＝∠DE＝90°，∠B＝∠DE＝30°，与DE 相交 于点F，点D 在B 边上， ＝ ，求 的值； 拓展创新 如图（3），D 是△B 内一点，∠BD＝∠BD＝30°，∠BD＝90°，B＝4，＝2 ， 直接写出D 的长． 15．如图1，四边形BD 是正方形，G 是D 边上的一个动点（点G 与、D 不重合），以G 为一边在正方形BD 外作正方形EFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线 段DE 的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图1 中线段BG、线段DE 的数量关系 BG ＝ DE 及所在直线的位置关 系 BG ⊥ DE ； ②将图1 中的正方形EFG 绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如 图2，如图3 情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并 选取图2 证明你的判断； （2）将原题中正方形改为矩形（如图4 6 ﹣），且B＝，B＝b，E＝k，G＝kb（≠b，k＞ 0），则线段BG、线段DE 的数量关系 ＝ 及所在直线的位置关系 BG ⊥ DE ； （3）在第（2）题图5 中，连接DG、BE，且＝4，b＝3，k＝ ，直接写出BE2+DG2的 值为 ．