题型03 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及 f(a)+f(-a)解题技巧 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 知识迁移 在定义域内，若F (x )=f (x )+ A ，其中f (x ) 为奇函数，A 为常数，则最大值M ，最小值m 有 M +m=2 A 即M +m=2倍常数 （1）与指数函数相关的奇函数和偶函数 f ( x)=ax+a−x ，（ ，且 ）为偶函数， ）为偶函数， ，（ ，且 ）为奇函数 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数 的奇偶性，则最大值+最小值可秒解. 为偶函数 （2）与对数函数相关的奇函数和偶函数 （2）与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（ 且 ）为奇函数， ，（ 且 ）为奇函数 例1-1．（2023 上·江苏·高三模拟）已知 分别是函数 + +1 的最大值、最小值，则 M +m=2 倍常数=2 例1-2．．（2023 上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数 ， 的最大值为M，最小值为m，则 . 【法一】M +m=2 倍常数=14 【法二】M +m=2f

题型03 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及 f(a)+f(-a)解题技巧 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 知识迁移 在定义域内，若F (x )=f (x )+ A ，其中f (x ) 为奇函数，A 为常数，则最大值M ，最小值m 有 M +m=2 A 即M +m=2倍常数 （1）与指数函数相关的奇函数和偶函数 f ( x)=ax+a−x ，（ ，且 ）为偶函数， ）为偶函数， ，（ ，且 ）为奇函数 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数 的奇偶性，则最大值+最小值可秒解. 为偶函数 （2）与对数函数相关的奇函数和偶函数 （2）与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（ 且 ）为奇函数， ，（ 且 ）为奇函数 例1-1．（2023 上·江苏·高三模拟）已知 分别是函数 + +1 的最大值、最小值，则 M +m=2 倍常数=2 例1-2．．（2023 上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数 ， 的最大值为M，最小值为m，则 . 【法一】M +m=2 倍常数=14 【法二】M +m=2f

内函数↓，外函数↓，⇒复合函数↑ 内函数↑，外函数↓，⇒复合函数↓ 内函数↓，外函数↑，⇒复合函数↓ ⇒结论：同增异减 例1．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ,则 （ ） A．是奇函数，且在(0，+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0，+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，+∞)单调递减 h (x )=x3在定义域内(0，+∞)是增函数，g (x )= 1 知函数 ，则（ ） A． 是偶函数且是增函数 B． 是偶函数且是减函数 C． 是奇函数且是增函数 D． 是奇函数且是减函数 2．（2021·内蒙古包头·统考一模）设函数 ，则 （ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 3．（2023·全国·模拟预测）函数 的单调递减区间为（ ） A． A． B． C． D． 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 知识迁移 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：f (−x )=−f ( x)，图象关于原点对称，偶函数：f (−x )=f (x ) ，图象关于y 轴对称 ③奇偶性的运算 纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则 可提升解题速度，做到快速求解

内函数↓，外函数↓，⇒复合函数↑ 内函数↑，外函数↓，⇒复合函数↓ 内函数↓，外函数↑，⇒复合函数↓ ⇒结论：同增异减 例1．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ,则 （ ） A．是奇函数，且在(0，+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0，+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，+∞)单调递减 h (x )=x3在定义域内(0，+∞)是增函数，g (x )= 1 在定义域内(0，+∞)是减函数， 所以 在(0，+∞)单调递增 【答案】A 1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数 ，则（ ） A． 是偶函数且是增函数 B． 是偶函数且是减函数 C． 是奇函数且是增函数 D． 是奇函数且是减函数 【答案】C 【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答. 【详解】函数 的定义域为R， ，即函数 是奇函 数，AB 错误， 因为函数 在R 上递增，则函数 上递减，所以函数 是增函数，D 错误，C 正确. 故选：C 2．（2021·内蒙古包头·统考一模）设函数 ，则 （ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 【答案】C 【分析】首先确定 定义域关于原点对称，又有 ，可知 为偶函数；利用复合函数单 调性的判定方法可确定 时， 单调递减，由对称性可知 时，

函数图象问题解题技巧 （奇偶性+特值法+极限法） 技法01 已知函数解析式判断函数图象解题技巧 知识迁移 1. 函数的奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：f (−x )=−f ( x)，图象关于原点对称，偶函数：f (−x )=f (x ) ，图象关于y 轴对称 ③奇偶性的运算 2. 特值与极限 ①√2=1.414, √3=1.732, √5=2 cos0.1=0.995≈1, cos(−0.2)=0.980≈1 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 令 ，由奇偶性定义知 为奇函数，排除BD； 【法一】特值 f (0.1)=(30.1−3−0.1)cos0.1≈(30.1−3−0.1)×0.995>0，故选：A. 【法二】极限法 当x→0+ 时cos x=1，3x→1+ ，故选：A. 【法三】 当 时， ，所以 【答案】A 例1-2．（2022·天津·统考高考真题）函数 的图像为（ ） A． B． C． D． 【详解】函数 的定义域为 ，且 ， 函数 为奇函数，A 选项错误； 【法一】特值 f (0.1)=|0.12−1| 0.1 >0，排除C，f (2)=|22−1| 2 =1.5 ，f (3)=|32−1| 3 =8 3≈2.67 ，故选：D

图象在第一象限位于直线 上方，在第二象限位于直线 下方。 ... 5 分 （注： 图象两个关键点画错不给分，画成与y 轴有交点不给分，与 图象位置不对 扣1 分，不画 图象不扣分） （2） 为奇函数. ................................................................................................ 定义域为 ， 因为 ，都有 ， ................................................................ 7 分 且 ， 所以 为奇函数。 ................................................................................................ ...................... 1 分 ( ) f x 的图象关于 成中心对称的充要条件是 为奇函数。 .................... 2 分 数学参考答案及评分细则 （第5页 共5页） 设 ，则 因为 ，都有 ，且 ， 所以 为奇函数。 .....................................................

图象在第一象限位于直线 上方，在第二象限位于直线 下方。 ... 5 分 （注： 图象两个关键点画错不给分，画成与y 轴有交点不给分，与 图象位置不对 扣1 分，不画 图象不扣分） （2） 为奇函数. ................................................................................................ 定义域为 ， 因为 ，都有 ， ................................................................ 7 分 且 ， 所以 为奇函数。 ................................................................................................ ...................... 1 分 ( ) f x 的图象关于 成中心对称的充要条件是 为奇函数。 .................... 2 分 数学参考答案及评分细则 （第5页 共5页） 设 ，则 因为 ，都有 ，且 ， 所以 为奇函数。 .....................................................

，那么 的最小值为2 11．关于函数 ，列说法中正确的有（ ） （北京）股份有限公司 A．函数 是奇函数 B．函数 的零点有三个 C．不等式 的解集是 D．若存在实数 满足 ，则 的最小值是 9 12．已知函数 的图像关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数， 函数 的图像关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数则（ ） A．函数 的对称中心是 B．函数 的充分不必要条件”，求实数 的取值范围． 18．（本题满分12 分）已知 （1）化简 ． （2）若 ，求 的值． （3）若 ，且 ，求 的值． 19．（本题满分12 分）已知函数 ，函数 （1）若函数 为奇函数，求 的值． （2）若 ，且 ，求不等式 的解集． 20．（本题满分12 分）已知函数 （其中 ）的图像与 轴交于 ， 两点， ， 两点间的最短距离为 ，且直线 是函数 图像的一条对称轴． （1）求 因为 和 是奇函数， 是偶函数在 上单调递减 是偶函数在 上单调递增 4．A 是偶函数而 是奇函数，所以 是奇函数，当 函数值大于0 5．B 扇形面积 ， ，所以 ，所以 ， 6 ．B 由 ，则 或 ，由左边不能推出右边，但是 可以得出 ，所以 是 的必要不充分条件 7 ． D ， ， ， 又 因 为 ，所以 ， ． 8．D 令 ，则 ，令 则可以得到 所以函数 是奇函数，令 ，可以得到

，所以 ，即 ． 故选：C 8．定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则关于 的 函数 的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数各区间的函数性质画出 的图象，将问题转化为 与直线 的交点问题，结合已知条件判断交点横坐标间的对称关系，进而求零点的和. 【详解】由题设，画出 上 的大致图象，又 为奇函数，可得 的图象 如下： 试卷第5页，共3页 A．函数 是奇函数 B．函数 在其定义域上有解 C．函数 的图象过定点 D．当 时，函数 在其定义域上为单调递增函数 【答案】ABD 【分析】对于A，先求出定义域后利用奇函数的定义判断，对于BC，由A 可知 为 上的奇 函数，所以可得 ，从而可进行判断，对于D，由指数函数的单调 性判断 试卷第7页，共3页 （北京）股份有限公司 【详解】 ，定义域为 ， ，所以 为奇函数，且 ，故选项A，B ; （2）由题知 , 故原式 . 14．已知定义域为 的函数 是奇函数. (1)求 的值; (2)用定义证明 在 上为减函数; (3)若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的范围. 【答案】(1) ， . (2)证明见解析. 试卷第10页，共3页 (3) 【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案. （2）根据函数单调性的定义即可证明结论. （3）利用函数的奇偶性和单调性将

下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的 为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 则 （ ） A. 1 B. 5 C. D. 7. 定义在 上的奇函数 满足 且在(0，,+∞)上单调递减，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 的解集是 ，下列说法正确的 是（ ） A. B. C. 关于 的不等式 的解集是 D. 如果 ，则 12.设函数 ,给出下列四个命题，其中正确的有（ ） A. 时， 是奇函数 B. 时，方程 只有一个实数 根 C.方程 至多有两个实数根 D. 的图像关于 对称 三､填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分 ，求实数m 的取值范围. 18. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， . （1）求函数 的解析式； （2）作出函数 的图像，并根据图像写出函数 的单调区间. 19．已知幂函数 在 上单调递增. （1）求 的解析式； （2）若f ( x)>3 x+k−1在[−1,1]上恒成立，求实数k 的取值范围. 20.设函数 是定义在 上的奇函数，且 ． 求函数 的解析式； 判断 在 上的单调性，并用单调性定义证明。