高考数学答题技巧题型02 函数的4大基本性质解题技巧（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（原卷版）Word（11页）

题型02 函数的4 大基本性质解题技巧 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 知识迁移 1. 同一定义域内 ①增函数（↗）+ 增函数（↗）=增函数↗ ②减函数（↘）+ 减函数（↘）=减函数↘ ③f ( x)为↗，则−f ( x)为↘， 1 f ( x) 为↘ ④增函数（↗）−减函数（↘）=增函数↗ ⑤减函数（↘）−增函数（↗）=减函数↘ ⑥增函数（↗）+ 减函数（↘）=未知（导数） 2. 复合函数的单调性 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 技法03 函数周期性的应用及解题技巧 技法04 函数对称性的应用及解题技巧 技法05 函数4 大性质的综合应用及解题技巧 在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合 函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查. 函数f (x )=h(g (x )), u 设=g (x ),叫做内函数，则f (x )=h (u)叫做外函数， { 内函数↑，外函数↑，⇒复合函数↑ 内函数↓，外函数↓，⇒复合函数↑ 内函数↑，外函数↓，⇒复合函数↓ 内函数↓，外函数↑，⇒复合函数↓ ⇒结论：同增异减 例1．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ,则 （ ） A．是奇函数，且在(0，+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0，+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，+∞)单调递减 h (x )=x3在定义域内(0，+∞)是增函数，g (x )= 1 x3 在定义域内(0，+∞)是减函数， 所以 在(0，+∞)单调递增 【答案】A 1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数 ，则（ ） A． 是偶函数且是增函数 B． 是偶函数且是减函数 C． 是奇函数且是增函数 D． 是奇函数且是减函数 2．（2021·内蒙古包头·统考一模）设函数 ，则 （ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 3．（2023·全国·模拟预测）函数 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 知识迁移 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：f (−x )=−f ( x)，图象关于原点对称，偶函数：f (−x )=f (x ) ，图象关于y 轴对称 ③奇偶性的运算 纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则 可提升解题速度，做到快速求解. 例2．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 ． 由题知 为偶函数，定义域为 ， 【法一】奇偶性的运算 只需a−2=0 即可 【法二】寻找必要条件（特值法） 所以 ，即 ， 则 ，故 1．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 （ ）． A． B．0 C． D．1 2．（2023·全国·统考高考真题）已知 是偶函数，则 （ ） A． B． C．1 D．2 3．（2021·全国·高考真题）设 是定义域为R 的奇函数，且 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．（2020·山东·统考高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 ， ． 技法03 函数周期性的应用及解题技巧 知识迁移 ①若f (x+a)=f (x ) ，则f (x ) 的周期为：T=|a| ②若f (x+a)=f (x+b) ，则f (x ) 的周期为：T=|a−b| ③若f (x+a)=−f (x ) ，则f (x ) 的周期为：T=|2a|（周期扩倍问题） ④若 f (x+a)=± 1 f (x ) ，则f (x ) 的周期为：T=|2a|（周期扩倍问题） 纵观历年考题，函数周期性是函数及高考的重要考点，要熟悉周期性的定义，若能熟悉周期性的运算，则 可提升解题速度，做到快速求解. 例3．（全国·高考真题）已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ，则 A． B． C． D． 因为 是定义域为 的奇函数，所以f (1−x )=−f (x−1)，即f (x+1)=−f (x−1)，所以周期为4 【答案】C 1．（2023 上·海南省·高三校联考）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ， ，则 （ ） A． B．0 C．3 D．6 2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ， 则 （ ） A． B． C．0 D．1 3．（2023·全国·模拟预测）若函数 的定义域为 ，且 ， ， 则 ． 技法04 函数对称性的应用及解题技巧 知识迁移 轴对称 ①若f (x+a)=f (−x ) ，则f (x ) 的对称轴为 x=a 2 ②若f (x+a)=f (−x+b) ，则f (x ) 的对称轴为 x=a+b 2 点对称 ①若f (x+a)=−f (−x ) ，则f (x ) 的对称中心为( a 2 , 0) ②若 f (x+a)+f (−x+b)=c ，则f (x ) 的对称中心为( a+b 2 , c 2) 例4-1．（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是 A． B． C． D． 纵观历年考题，函数对称性是函数及高考的重要考点，要熟悉对称性的定义，若能熟悉对称性的运算，则 可提升解题速度，做到快速求解. 【法一】函数 过定点（1，0），（1，0）关于x=1 对称的点还是（1，0），只有 过此 点． 故选项B 正确 【法二】关于x=1 对称即f (1−x )=f (1+x )，即f (x )=f (2−x ) 【答案】B 例4-2．（2016·全国·高考真题）已知函数 满足 ，若函数 与 图 像的交点为 则 A．0 B． C． D． 【详解】[方法一]：直接法. 由 得 关于 对称， 而 也关于 对称， ∴对于每一组对称点 ， ∴ ，故选B． [方法二]：特值法. 由 得 不妨设因为 ，与函数 的交点为 ∴当 时， ，故选B． [方法三]：构造法. 设 ，则 ，故 为奇函数. 设 ，则 ，故 为奇函数. ∴对于每一组对称点 . 将 ， 代入，即得 ∴ ，故选B． [方法四]： 由题意得,函数 和 的图象都关于 对称, 所以两函数的交点也关于 对称, 对于每一组对称点 和 ，都有 . 从而 .故选B. 【答案】B 例4-3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ） A． B． C． D． 因为 的图像关于直线 对称， 所以 ， 因为 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以 ， 代入得 ，即 ， 所以 ， . 因为 ，所以 ，即 ，所以 . 因为 ，所以 ，又因为 ， 联立得， ， 所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R， 所以 因为 ，所以 . 所以 . 【答案】D 1．（2023 上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知曲线 与曲线 交于点 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足对任意实数 有 ， 若 的图象关于直线 对称， ，则 （ ） A．2 B．1 C． D． 3．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）（多选）已知函数 ，则（ ） A． 的图象关于直线 轴对称 B． 的图象关于点 中心对称 C． 的所有零点为 D． 是以 为周期的函数 4．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数 ，则下列判断正确的是（ ） A．函数 的图象关于原点对称 B． 是函数 的一个周期 C．函数 的图象关于直线 对称 D．当 时， 的最小值为1 技法05 函数4 大性质的综合应用及解题技巧 知识迁移 1. 周期性对称性综合问题 ①若f (a+x )=f (a−x ) ，f (b+x )=f (b−x ) ，其中a≠b ，则f (x ) 的周期为：T=2|a−b| ②若f (a+x )=−f (a−x ) ，f (b+x )=−f (b−x ) ，其中a≠b ，则f (x ) 的周期为： T=2|a−b| ③若f (a+x )=f (a−x ) ，f (b+x )=−f (b−x ) ，其中a≠b ，则f (x ) 的周期为： T=4|a−b| 2. 奇偶性对称性综合问题 ①已知f (x ) 为偶函数，f (x+a) 为奇函数，则f (x ) 的周期为：T=4|a| ②已知 f (x ) 为奇函数，f (x+a) 为偶函数，则f (x ) 的周期为：T=4|a| 例5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数， 则（ ） A． B． C． D． 纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则 可提升解题速度，做到快速求解. 因为函数 为偶函数，则 ，可得 ， 因为函数 为奇函数，则 ，所以， ， 所以， ，即 ， 故函数 是以 为周期的周期函数， 因为函数 为奇函数，则 ， 故 ，其它三个选项未知. 【答案】B 1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 为奇函数， 为偶函数．若 ，则 （ ） A． B．0 C．2 D．2024 3．（2023·全国·模拟预测）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，若 ，则 ． 4．（2023·浙江·统考一模）设函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，当 时， ，则 .