高考数学答题技巧题型02 函数的4大基本性质解题技巧（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（解析版）Word（24页）

题型02 函数的4 大基本性质解题技巧 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 知识迁移 1. 同一定义域内 ①增函数（↗）+ 增函数（↗）=增函数↗ ②减函数（↘）+ 减函数（↘）=减函数↘ ③f ( x)为↗，则−f ( x)为↘， 1 f ( x) 为↘ ④增函数（↗）−减函数（↘）=增函数↗ ⑤减函数（↘）−增函数（↗）=减函数↘ ⑥增函数（↗）+ 减函数（↘）=未知（导数） 2. 复合函数的单调性 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 技法03 函数周期性的应用及解题技巧 技法04 函数对称性的应用及解题技巧 技法05 函数4 大性质的综合应用及解题技巧 在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合 函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查. 函数f (x )=h(g (x )), u 设=g (x ),叫做内函数，则f (x )=h (u)叫做外函数， { 内函数↑，外函数↑，⇒复合函数↑ 内函数↓，外函数↓，⇒复合函数↑ 内函数↑，外函数↓，⇒复合函数↓ 内函数↓，外函数↑，⇒复合函数↓ ⇒结论：同增异减 例1．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ,则 （ ） A．是奇函数，且在(0，+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0，+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，+∞)单调递减 h (x )=x3在定义域内(0，+∞)是增函数，g (x )= 1 x3 在定义域内(0，+∞)是减函数， 所以 在(0，+∞)单调递增 【答案】A 1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数 ，则（ ） A． 是偶函数且是增函数 B． 是偶函数且是减函数 C． 是奇函数且是增函数 D． 是奇函数且是减函数 【答案】C 【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答. 【详解】函数 的定义域为R， ，即函数 是奇函 数，AB 错误， 因为函数 在R 上递增，则函数 在R 上递减，所以函数 是增函数，D 错误，C 正确. 故选：C 2．（2021·内蒙古包头·统考一模）设函数 ，则 （ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 【答案】C 【分析】首先确定 定义域关于原点对称，又有 ，可知 为偶函数；利用复合函数单 调性的判定方法可确定 时， 单调递减，由对称性可知 时， 单调递增， 由此得到结果. 【详解】由 得： ， 定义域为 ； 又 ， 为定义域内的偶函数，可排除BD； 当 时， ， 在 上单调递减， 单调递增， 在 上单调递减，可排除A； 为偶函数且在 上单调递减， 在 上单调递增，C 正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题对于函数单调性的判断的关键是能够根据 的范围得到 的解析式，利用复 合函数单调性的判断，即“同增异减”的方法确定函数在区间内的单调性. 3．（2023·全国·模拟预测）函数 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据真数大于零，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递 减区间. 【详解】由 得， 所以函数 的定义域为 令 ，则 是单调递减函数 又 ，在 上单调递增，在 上单调递减 由复合函数的单调性可得函数 的单调递减区间为 . 故选：A. 【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的性质，属于中档题. 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 知识迁移 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：f (−x )=−f ( x)，图象关于原点对称，偶函数：f (−x )=f (x ) ，图象关于y 轴对称 ③奇偶性的运算 例2．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 ． 由题知 为偶函数，定义域为 ， 【法一】奇偶性的运算 只需a−2=0 即可 【法二】寻找必要条件（特值法） 纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则 可提升解题速度，做到快速求解. 所以 ，即 ， 则 ，故 1．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 （ ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ， 当 时， ， ，解得 或 ， 则其定义域为 或 ，关于原点对称. ， 故此时 为偶函数. 故选：B. 2．（2023·全国·统考高考真题）已知 是偶函数，则 （ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为 为偶函数，则 ， 又因为 不恒为0，可得 ，即 ， 则 ，即 ，解得 . 故选：D. 3．（2021·全国·高考真题）设 是定义域为R 的奇函数，且 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值. 【详解】由题意可得： ， 而 ， 故 . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化 是解决本题的关键. 4．（2020·山东·统考高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等 于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ， 所以 在 上也是单调递减，且 ， ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以由 可得： 或 或 解得 或 ， 所以满足 的 的取值范围是 ， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 5．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称 若奇函数的 有意义，则 且 且 ， 函数 为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得 ， 由 得， ， ， 故答案为： ； ． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数 为奇函数 [方法三]： 因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为 ，再由 可得， ．即 ，在定义域 内满足 ，符合题意． 故答案为： ； ． 技法03 函数周期性的应用及解题技巧 知识迁移 ①若f (x+a)=f (x ) ，则f (x ) 的周期为：T=|a| ②若f (x+a)=f (x+b) ，则f (x ) 的周期为：T=|a−b| ③若f (x+a)=−f (x ) ，则f (x ) 的周期为：T=|2a|（周期扩倍问题） ④若 f (x+a)=± 1 f (x ) ，则f (x ) 的周期为：T=|2a|（周期扩倍问题） 例3．（全国·高考真题）已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ，则 A． B． C． D． 纵观历年考题，函数周期性是函数及高考的重要考点，要熟悉周期性的定义，若能熟悉周期性的运算，则 可提升解题速度，做到快速求解. 因为 是定义域为 的奇函数，所以f (1−x )=−f (x−1)，即f (x+1)=−f (x−1)，所以周期为4 【答案】C 1．（2023 上·海南省·高三校联考）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ， ，则 （ ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】A 【分析】由函数为奇函数可得 ， ，再根据 求出函数的周期，再 根据函数的周期即可得解. 【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ， ， 因为 ，所以 ，则 ， 所以 ， 所以 是以为周期的一个周期函数， 所以 . 故选：A． 2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ， 则 （ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为，求出函数一个周期中的 的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可 得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得， ，即有 ，从而可知 ， ，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为．因为 ， ， ， ， ，所以 一个周期内的 ．由于22 除以6 余4， 所以 ．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由 ，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设 ，则由方法一中 知 ， 解得 ，取 ， 所以 ，则 ，所以 符合条件，因此 的周期 ， ，且 ，所以 ， 由于22 除以6 余4， 所以 ．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题， 简单明了，是该题的最优解. 3．（2023·全国·模拟预测）若函数 的定义域为 ，且 ， ， 则 ． 【答案】 【分析】利用赋值法依次求得 ，再利用赋值法推得 的周期为12，从而利用函数 的周期性即可得解. 【详解】因为 ， 令 ，有 ，则 或 ． 若 ，则令 ， ， 有 ，得 ，与已知 矛盾，所以 ． 令 ，有 ， 则 ，得 ． 令 ， ，有 ，得 ． 令 ， ，有 ，得 ． 令 ， ，有 ，得 ． 令 ， ，有 ，得 ． 令 ， ，有 ，得 ． 令 ，有 ，得 ， 令 ，有 ，即 ， 所以 ，故 ， 所以 的周期为12． 又因为 ， 所以 ． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用赋值法推得 的周期性，从而得解. 技法04 函数对称性的应用及解题技巧 知识迁移 轴对称 ①若f (x+a)=f (−x ) ，则f (x ) 的对称轴为 x=a 2 ②若f (x+a)=f (−x+b) ，则f (x ) 的对称轴为 x=a+b 2 点对称 ①若f (x+a)=−f (−x ) ，则f (x ) 的对称中心为( a 2 , 0) ②若 f (x+a)+f (−x+b)=c ，则f (x ) 的对称中心为( a+b 2 , c 2) 例4-1．（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是 A． B． C． D． 【法一】函数 过定点（1，0），（1，0）关于x=1 对称的点还是（1，0），只有 过此 点． 故选项B 正确 纵观历年考题，函数对称性是函数及高考的重要考点，要熟悉对称性的定义，若能熟悉对称性的运算，则 可提升解题速度，做到快速求解. 【法二】关于x=1 对称即f (1−x )=f (1+x )，即f (x )=f (2−x ) 【答案】B 例4-2．（2016·全国·高考真题）已知函数 满足 ，若函数 与 图 像的交点为 则 A．0 B． C． D． 【详解】[方法一]：直接法. 由 得 关于 对称， 而 也关于 对称， ∴对于每一组对称点 ， ∴ ，故选B． [方法二]：特值法. 由 得 不妨设因为 ，与函数 的交点为 ∴当 时， ，故选B． [方法三]：构造法. 设 ，则 ，故 为奇函数. 设 ，则 ，故 为奇函数. ∴对于每一组对称点 . 将 ， 代入，即得 ∴ ，故选B． [方法四]： 由题意得,函数 和 的图象都关于 对称, 所以两函数的交点也关于 对称, 对于每一组对称点 和 ，都有 . 从而 .故选B. 【答案】B 例4-3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ） A． B． C． D． 因为 的图像关于直线 对称， 所以 ， 因为 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以 ， 代入得 ，即 ， 所以 ， . 因为 ，所以 ，即 ，所以 . 因为 ，所以 ，又因为 ， 联立得， ， 所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R， 所以 因为 ，所以 . 所以 . 【答案】D 1．（2023 上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知曲线 与曲线 交于点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令 ，由 和 可确定两曲线均关于 中心对称；利用导数可求得 单调性和极值，结合 的单调性可确定两曲线在 上的图象，由此可确定交点个数，结合对称性可求得结果. 【详解】令 ， 则 ， ， ， 关于 中心对称； ， 关于 中心对称； ， 当 时， ；当 时， ； 在 上单调递减，在 上单调递增， 极小值为 ，极大值为 ； 当 时， 单调递减，且 ， 当 时， ； 作出 与 在 时的图象如下图所示， 由图象可知： 与 在 上有且仅有两个不同的交点， 由对称性可知： 与 在 上有且仅有两个不同的交点， . 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据函数的解析式，确定两函数关于同 一对称中心对称，结合两函数图象确定交点个数后，即可根据对称性求得交点横纵坐标之和. 2．（2023·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足对任意实数 有 ， 若 的图象关于直线 对称， ，则 （ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意 ，从而 是周期函数，又 的图象关于直线 对称，从而函数 的图象关于直线 对称，由 ，从而即可求解. 【详解】因为 ，所以 ， 从而可得 ，所以 ，所以函数 的一个周期为6． 因为 的图象关于直线 对称， 所以 ， 即函数 的图象关于直线 对称． 又 ， ， 所以 ，所以 ， 所以 ．由于23 除以6 余5， 所以 ． 故选：C． 【点睛】易错点点睛：对于“系数不为1”的复合型函数，一般情况下，内函数多为一次函数型 ， 涉及奇偶性（图象的对称性）时处理方法有：①利用奇偶性（图象的对称性）直接替换题中对应的变量； ②类比三角函数；③引入新函数，如令 ，则 ．本题中， 的 图象关于直线 对称，令 ，则 ，从而 ， 即 ，函数 的图象关于直线 对称，不能误认为函数 的图象关于直线 对称． 3．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）（多选）已知函数 ，则（ ） A． 的图象关于直线 轴对称 B． 的图象关于点 中心对称 C． 的所有零点为 D． 是以 为周期的函数 【答案】AC 【分析】对于A：根据对称轴的定义分析证明；对于B：举例说明即可；对于C：根据零点的定义结合倍角 公式运算求解；对于D：举例说明即可. 【详解】对于A：因为 ， 所以 的图象关于直线 轴对称，故A 正确； 对于B：因为 ， ，所以 的图象不关于点 中心对称，B 错误. 对于C：因为 ， 注意到 ， 令 ，得 ，即 ， 故 的所有零点为 ，故C 正确； 对于D：因为 ，所以 不是 的周期，故D 错误； 故选：AC. 4．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数 ，则下列判断正确的是（ ） A．函数 的图象关于原点对称 B． 是函数 的一个周期 C．函数 的图象关于直线 对称 D．当 时， 的最小值为1 【答案】ABD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断A 项，运用周期定义即可判断B 项，结合A 项、B 项即可判断C 项， 运用完全平方公式、二倍角公式化简函数 ，结合换元法即可求得函数的最小值进而可判断D 项. 【详解】对于A 项，因为 ， 所以函数 的定义域为 ， 又 ，所以 是奇函数，其图象关于原点对称，故 A 项正确； 对于B 项， ，所以 是函数 的一个周期，故 B 项正确； 对于C 项，由B 项知 ，由A 项知 ， 所以 ，所以 的图象关于点 对称，故C 项错误； 对于D 项， ， 令 ， 又 ，则 ，所以 ，即 ， 所以 ，（ ）， 又 在 上单调递减， 所以当 时， 取得最小值为 ，故D 项正确. 故选：ABD. 技法05 函数4 大性质的综合应用及解题技巧 知识迁移 1. 周期性对称性综合问题 ①若f (a+x )=f (a−x ) ，f (b+x )=f (b−x ) ，其中a≠b ，则f (x ) 的周期为：T=2|a−b| ②若f (a+x )=−f (a−x ) ，f (b+x )=−f (b−x ) ，其中a≠b ，则f (x ) 的周期为： T=2|a−b| ③若f (a+x )=f (a−x ) ，f (b+x )=−f (b−x ) ，其中a≠b ，则f (x ) 的周期为： T=4|a−b| 2. 奇偶性对称性综合问题 ①已知f (x ) 为偶函数，f (x+a) 为奇函数，则f (x ) 的周期为：T=4|a| 纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则 可提升解题速度，做到快速求解. ②已知 f (x ) 为奇函数，f (x+a) 为偶函数，则f (x ) 的周期为：T=4|a| 例5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数， 则（ ） A． B． C． D． 因为函数 为偶函数，则 ，可得 ， 因为函数 为奇函数，则 ，所以， ， 所以， ，即 ， 故函数 是以 为周期的周期函数， 因为函数 为奇函数，则 ， 故 ，其它三个选项未知. 【答案】B 1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利 用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为 是奇函数，所以 ①； 因为 是偶函数，所以 ②． 令 ，由①得： ，由②得： ， 因为 ，所以 ， 令 ，由①得： ，所以 ． 思路一：从定义入手． 所以 ． [方法二]： 因为 是奇函数，所以 ①； 因为 是偶函数，所以 ②． 令 ，由①得： ，由②得： ， 因为 ，所以 ， 令 ，由①得： ，所以 ． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数 的周期 ． 所以 ． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计 算的效果． 2．（2023·全国·模拟预测）已知定义在