高考数学答题技巧题型04 函数图象问题解题技巧（奇偶性+特值法+极限法）（解析版）Word（21页）

题型04 函数图象问题解题技巧 （奇偶性+特值法+极限法） 技法01 已知函数解析式判断函数图象解题技巧 知识迁移 1. 函数的奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：f (−x )=−f ( x)，图象关于原点对称，偶函数：f (−x )=f (x ) ，图象关于y 轴对称 ③奇偶性的运算 2. 特值与极限 ①√2=1.414, √3=1.732, √5=2.236,√6=2.45, √7=2.646 技法01 已知函数解析式判断函数图象解题技巧 技法02 已知函数图象判断函数解析式解题技巧 本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，结合奇偶性的判断，特值的 辅助，极限思想的应用可以快速求解，所以几类特值需重点掌握. ②e=2.71828, e2=7.39, e 1 2=√e=1.65 ③ln1=0, ln2=0.69, ln3=1.1, ln e=1, ln√e=1 2 ④sin1=0.84, cos1=0.54, sin2=0.91, cos2=−0.42 特别地：当x→0 时sin x=x 例如：sin 0.1=0.099≈0.1，sin0.2=0.199≈0.2, sin0.3=0.296≈0.3 当x→0 时cos x=1 cos0.1=0.995≈1, cos(−0.2)=0.980≈1 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 令 ，由奇偶性定义知 为奇函数，排除BD； 【法一】特值 f (0.1)=(30.1−3−0.1)cos0.1≈(30.1−3−0.1)×0.995>0，故选：A. 【法二】极限法 当x→0+ 时cos x=1，3x→1+ ，3−x→1− 所以当x→0+ 时 ，故选：A. 【法三】 当 时， ，所以 【答案】A 例1-2．（2022·天津·统考高考真题）函数 的图像为（ ） A． B． C． D． 【详解】函数 的定义域为 ，且 ， 函数 为奇函数，A 选项错误； 【法一】特值 f (0.1)=|0.12−1| 0.1 >0，排除C，f (2)=|22−1| 2 =1.5 ，f (3)=|32−1| 3 =8 3≈2.67 ，故选：D. 【法二】极限 当x→0+ 时 ，排除C，当x→+∞时 ，故选：D. 【法三】 当 时， ，C 选项错误； 当 时， 函数单调递增，故B 选项错误； 【答案】D 1．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）函数 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项. 【详解】设 ， 对任意 ， ， 所以 ， 所以 的定义域为 ， ， 所以函数 为奇函数. 令 ， 可得 ，即 ， 所以 ，可得 ， 由 可得 ，解得 ， 所以 的定义域为 ， 又 ， 所以函数 为奇函数，排除BD 选项， 当 时， 是减函数， 则 ， ， 所以 ，排除A 选项. 故选：C 2．（2023 下·广东江门·高三校联考开学考试）函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的定义域及奇偶性进行排除,根据0 到第一个零点处的函数值正负,即可判断选项C,D 的 正误. 【详解】解:由题知 , 定义域为 ,解得 , 所以 , 故 为奇函数, 排除A,B; 令 可得 ,即 , 解得 , 当 时, , ,此时 , 故选项D 错误,选项C 正确. 故选:C 3．（2023·重庆·统考模拟预测）函数 的部分图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，从函数的奇偶性、特殊值符号、零点进行判断即可得所求函数图象. 【详解】函数 得定义域为 ，则 ，故该函数为奇 函数，故可排除B 选项； 又 ，故可排除C 选项； 又 ， ，可以排除D 选项. 故符合的函数图象为A. 故选：A. 4．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）函数 在 上的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊点处函数值的正负即可排除求解. 【详解】由于函数的定义域为 ，关于原点对称，且 ，所以 为偶函数，故图象关于 轴对称， 且 ，故此时可排除AD,当 时， ， 因此排除C， 故选：B 5．（2023·山东烟台·统考二模）函数 的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可. 【详解】由 ， 得 ， 所以 为偶函数，故排除BD. 当 时， ，排除A. 故选：C. 6．（2023·湖北武汉·统考三模）函数 的部分图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性排除D；根据特殊区间上函数值的符号排除BC 可得答案. 【详解】 的定义域为 ，关于原点对称， 又因为 ，所以 是奇函数，其图象关于原点对称，故D 不正确； 当 时， ，则 ，故B 不正确； 当 时， ，故 ，故C 不正确. 故选：A 7．（2023·山东德州·三模）函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数 为奇函数，可排除A、B 选项，再根据指数函数与对数函数的增长趋势，得到 时， ，可排除C 选项，即可求解. 【详解】由函数 ，都可其定义域为 关于原点对称， 又由 ，所以函数 为奇函数， 所以函数 的图象关于原点对称，可排除A、B 选项； 当 时， ；当 时， ；当 时， ， 根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得 时， ，可排除C 选项. 故选：D. 8．（2023·全国·模拟预测）函数 的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可排除两个选项，再由特殊值的函数值即可得解. 【详解】函数 的定义域为 ， 因为 ， 所以函数 为奇函数，函数图像关于原点对称，故排除C，D， 当 时， ，故 , 而 ，故此时 ，故排除B． 故选：A． 9．（2023·山东泰安·统考模拟预测）函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】定义判断函数奇偶性，对函数求导，再求 的值，应用排除法即可得答案. 【详解】 ， 定义域为 ，所以 为奇函数，排除A、B， ， 所以 ，排除C， 故选：D 10．（2023·福建·统考模拟预测）函数 的图象大数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数 为奇函数.然后得到 时， ，根 据导函数求得 的单调性，并且可得极大值点 ，即可得出答案. 【详解】由题意可知，函数 的定义域为 . 又 ， 所以，函数 为奇函数. 当 时， ， 则 . 设 ，则 在 上恒成立， 所以， 在 上单调递增. 又 ， ， 所以，根据零点存在定理可得， ，有 ， 且当 时，有 ，显然 ， 所以 在 上单调递增； 当 时，有 ，显然 ， 所以 在 上单调递减. 因为 ，所以C 项满足题意. 故选：C. 11．（2023·浙江·校联考三模）函数 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解. 【详解】设 ，则有 ， 是奇函数，排除D； ，排除B； 当 时， ，排除C； 故选：A. 12．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）函数 的部分图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性，特值法求解即可. 【详解】 ， 所以 ， 所以 为奇函数，故排除A，D； 当 时， ，故排除B； 故选：C. 13．（2023·云南昆明·统考一模）函数 在区间 上的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性排除B、D，再取特值 排除C. 【详解】对于函数 ， ∵ ， 故 为奇函数，图象关于原点对称，B、D 错误； 又∵ ，且 ， 故 ，C 错误； 故选：A. 14．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）函数 的部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 ，排除选项C，D，令 ，利用导数法得到 时， ，令 ，从而 时， ，再根据 单调递减判断. 【详解】解：因为 ，所以 ， 而 ，所以C，D 错误. 令 ，所以 ，即 单调递减， 当 时， ，即 ， 所以 时， ， 令 ， 所以 时， ， 而 ，即 时， 单调递减， 所以 时， ，在 单调递增错误，B 错误. 故选：A 15．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数， 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数 ，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的 函数为 ，则其部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，与选项中的图象比较即可得出答案. 【详解】令 ， 求导得 ， 当 时，由 解得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以，当 和 时， 取极大值；当 时， 取极小值， 由于 ， 可得 ，当 时 ， 结合图象，只有C 选项满足． 故选：C． 技法02 已知函数图象判断函数解析式解题技巧 本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，结合奇偶性的判断，特值的 辅助，极限思想的应用可以快速求解，所以几类特值需重点掌握. 例2-1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函 数是（ ） A． B． C． D． 【法一】特值 由图知：f (2)<0 ， 对于A ，f (2)=−2 5 ，对于B ，f (2)=6 5 ，对于C ，f (2)=2×2×(−0.42) 5 <0 ，对于D ， f (2)=2×0.91 5 >0 排除BD 结合函数零点位置可选A 【法二】猜测近似函数值 由图知f (1)≈1 分别计算四个函数值即可得到答案 【法三】 设 ，则 ，故排除B; 设 ，当 时， ， 所以 ，故排除C; 设 ，则 ，故排除D. 【答案】A 例2-2．（2023·天津·统考高考真题）函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且 ， 由 且定义域为R，即B 中函数为奇函数，排除； 当 时 、 ，即A、C 中 上函数值为正，排除 【答案】D 1．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【详解】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C， ，则 ， 当 时， ，与图象不符，排除C. 故选：D. 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值确定正确答案. 【详解】从图象可知函数 的图象关于原点对称，所以函数 是奇函数． 因为 ， 是偶函数， 是奇函数， 所以 都是偶函数，可排除A，D． 对于 ，对于C， ， 结合题图可知选B． 故选：B 3．（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域排除选项A，根据函数图象过原点排除选项B，根据函数单调性排除选项C，根据定义 域和单调性判断D. 【详解】对于A，要使函数 有意义，则 ，即 ， 所以 或 或 或 ， 所以函数 的定义域为 ，A 不正确； 对于B， ，而已知函数 图象过原点，B 不正确； 对于C，对于函数 ，则 ，当 时， ， 则函数 在 上单调递增，不符合题中图象，C 不正确， 对于D，对于函数 ，定义域为 ，且 ， ，当 时， ，当 时， ， 当 时， ，所以函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，在 上单调递减，符合图象，故D 正确. 故选：D. 4．（2023·浙江温州·统考二模）某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性可判断C，根据 和 即可排除AD. 【详解】4 个选项函数定义域均为R，对于A, ，故 为 奇函数，且 对于B, 故 为奇函数， ， 对于C, ,故 为偶函数， 对于D， 故 为奇函数， ， 由图知为奇函数，故排除C；由 ，排除A,由 ，排除D, 故选：B． 5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知 的图象如图，则 的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象确定函数 的定义域，奇偶性，以及函数值的大小即可求解. 【详解】由函数的图象可知函数的定义域为 ， 而选项B， 的定义域为 ，由此即可排除选项 ； 函数图象关于原点对称，即为奇函数， 而选项A, ， ， 所以 为偶函数，由此可排除选项A； 根据图象可知 ，而选项D, ， , 由此可排除D，选项C 满足图象特征.