方法点拨 知识点1 两直线平行 如图，直线b∥，那么kb=k，若已知k 及的坐标即可求出直线b 的解析式 知识点2 两直线垂直 如图，直线⊥，那么k*k=-1，若已知k 及或B 的坐标即可求出直线的 解析式（针对这一性质，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解） 考点一：一次函数平行问题 模型介绍 例题精讲 【例1】．一次函数y＝kx+b 与y＝3x+1 平行，且经过点（﹣3，4），则这个函数的表达式 ﹣ ＜y＝﹣20+5≤0， 解得： ≤≤4， 所以＝1，2，3，4， 故答为：4． 考点二：一次函数垂直问题 【例2】．已知直线y＝kx+b 经过点（3，8），并与直线y＝2x 3 ﹣垂直，则k＝ ﹣ ； b＝ ． 解：∵已知直线y＝kx+b 与直线y＝2x 3 ﹣垂直， 则k＝﹣ ， ∴y＝ x+b， 将（3，8）代入， 8＝ +b， 解得b＝ ， 故答为﹣ ， ． 交于（x1，y1），B（x2，y2）两点，当⊥B 时， 直线B 恒过一个定点，该定点坐标为 （ 0 ， 4 ） ．[提示：直线l1：y＝k1x+b1与直线 l2：y＝k2x+b2互相垂直，则k1•k2＝﹣1] 解：∵直线y＝kx+b 与抛物线y＝ x2交于（x1，y1）、B（x2，y2）两点， ∴kx+b＝ x2， 化简，得x2 4 ﹣kx 4 ﹣b＝0， ∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，

方法点拨 知识点1 两直线平行 如图，直线b∥，那么kb=k，若已知k 及的坐标即可求出直线b 的解析式 知识点2 两直线垂直 如图，直线⊥，那么k*k=-1，若已知k 及或B 的坐标即可求出直线的 解析式（针对这一性质，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解） 考点一：一次函数平行问题 模型介绍 例题精讲 【例1】．一次函数y＝kx+b 与y＝3x+1 平行，且经过点（﹣3，4），则这个函数的表达式 ﹣ ＜y＝﹣20+5≤0， 解得： ≤≤4， 所以＝1，2，3，4， 故答为：4． 考点二：一次函数垂直问题 【例2】．已知直线y＝kx+b 经过点（3，8），并与直线y＝2x 3 ﹣垂直，则k＝ ﹣ ； b＝ ． 解：∵已知直线y＝kx+b 与直线y＝2x 3 ﹣垂直， 则k＝﹣ ， ∴y＝ x+b， 将（3，8）代入， 8＝ +b， 解得b＝ ， 故答为﹣ ， ． 交于（x1，y1），B（x2，y2）两点，当⊥B 时， 直线B 恒过一个定点，该定点坐标为 （ 0 ， 4 ） ．[提示：直线l1：y＝k1x+b1与直线 l2：y＝k2x+b2互相垂直，则k1•k2＝﹣1] 解：∵直线y＝kx+b 与抛物线y＝ x2交于（x1，y1）、B（x2，y2）两点， ∴kx+b＝ x2， 化简，得x2 4 ﹣kx 4 ﹣b＝0， ∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，

方法点拨 知识点1 两直线平行 如图，直线b∥，那么kb=k，若已知k 及的坐标即可求出直线b 的解析式 知识点2 两直线垂直 如图，直线⊥，那么k*k=-1，若已知k 及或B 的坐标即可求出直线的 解析式（针对这一性质，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解） 考点一：一次函数平行问题 模型介绍 例题精讲 【例1】．一次函数y＝kx+b 与y＝3x+1 平行，且经过点（﹣3，4），则这个函数的表达式 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为、B， 并且过点（﹣1，﹣20），则在线段B 上（包括端点、B），横、纵坐标都是整数的点有 个． 考点二：一次函数垂直问题 【例2】．已知直线y＝kx+b 经过点（3，8），并与直线y＝2x 3 ﹣垂直，则k＝ ；b ＝ ． 变式训练 【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+4 与x 轴、y 轴分别交于点、B， 【变2-2】．直线y＝kx+b 与抛物线y＝ x2 交于（x1，y1），B（x2，y2）两点，当⊥B 时， 直线B 恒过一个定点，该定点坐标为 ．[提示：直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝ k2x+b2互相垂直，则k1•k2＝﹣1] 考点三：一次函数的面积问题 【例3】．已知一次函数y＝mx+2 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则常数m＝ ． 变式训练 【变3-1】．已知直线y＝ （为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为

专题133 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】 【人版】 【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】..........................................................................................1 【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】......................... .............................6 【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】............................................................................................10 【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】............................ ..................13 【题型5 线段垂直平分线的判定】.......................................................................................................................17 【题型6 线段垂直平分线的作法】.......................

2025 年六升七数学衔接期线段垂直平分线应用试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离（ ） A. 相等B. 不相等C. 可能相等D. 无法确定 2. 如图，若直线MN 是线段AB 的垂直平分线，O 为交点，则下列说 法正确的是（ ） A. AO = BO B 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点 4. 已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，若AB=6cm，则PA+PB 的最小值为（ ） A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 无法确定 5. 若点P 满足PA=PB，则点P 一定在（ ） A. 线段AB 的中点上B. 线段AB 的垂直平分线上 C. 线段AB 的延长线上D. 与AB 平行的直线上 6. △ 在ABC 中，边AB 的垂直平分线交BC 于点D，若AC=5， BC=8 △ ，则ADC 的周长为（ ） A. 13 B. 18 C. 21 D. 无法确定 7. 用尺规作图作已知线段的垂直平分线，其依据是构造（ ） A. SAS 全等B. SSS 全等C. AAS 全等D

专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直 模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：高分线模型 条件：D 是高，E 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 是解答此题的关键． 例2．（2023 春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△B 中，∠1＝∠2，G 为D 的中点，BG 的延长线交于 点E，F 为B 上的一点，F 与D 垂直，交D 于点，则下面判断正确的有（ ） ①D 是△BE 的角平分线；②BE 是△BD 的边D 上的中线； ③是△D 的边D 上的高；④是△F 的角平分线和高 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质， 熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键． 模型2：双垂直模型 结论：①∠=∠ ；②∠B=∠FD=∠FE；③ 。 例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在 中， 分别是 边上的高，并且 交于 点P，若 ，则 的度数为（ ） ． B．

专题133 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】 【人版】 【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】..........................................................................................1 【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】......................... .............................2 【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】..............................................................................................3 【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】........................... ...................5 【题型5 线段垂直平分线的判定】.........................................................................................................................6 【题型6 线段垂直平分线的作法】......................

题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 R 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 D． 2．（全国·高考真题）设长方体的长、宽、高分别为 ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3 a2 B．6 a2 C．12 a2 D．24 a2 3．（全国·高考真题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表 面积为（ ） A． B． C． D． 4．（四川·高考真题）如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同一个大圆上，点

题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 ∶ 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 【详解】方体的长、宽、高分别为 ,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的 长就是外接球的直径，所以球直径为： ， 所以球的半径为 ，所以球的表面积是 ，故选B 3．（全国·高考真题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表 面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球

专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直 模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：高分线模型 条件：D 是高，E 度数为（ ） ． B． ． D． 例2．（2023 春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△B 中，∠1＝∠2，G 为D 的中点，BG 的延长线交于 点E，F 为B 上的一点，F 与D 垂直，交D 于点，则下面判断正确的有（ ） ①D 是△BE 的角平分线；②BE 是△BD 的边D 上的中线； ③是△D 的边D 上的高；④是△F 的角平分线和高 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 的高和角平分线， 若 ， ．(1)求 的度数．(2)试写出 与 关系式，并证明．(3)如图，F 为E 的延长线上的一点， 于D，这时 与 的关系式是否变化，说明理由． 模型2：双垂直模型 结论：①∠=∠ ；②∠B=∠FD=∠FE；③ 。 例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在 中， 分别是 边上的高，并且 交于 点P，若 ，则 的度数为（ ） ． B．