高考数学答题技巧题型19 10类球体的外接及内切解题技巧（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定）（解析版）（53页）

题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 （4）长（正）方形：半径等于对角线的一半 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 1. ∶ 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧 对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通 常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练. 正棱锥类型 (h−R ) 2+r 2=R 2, 解出 R 例1-1．（2020·天津·统考高考真题）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （ ） A． B． C． D． 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即 ， 所以，这个球的表面积为 . 例1-2．（全国·高考真题）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上， 这个球的表面积是（ ） A． B． C． D． 球的直径是长方体的体对角线，所以 ， 解得 ，所以球的表面积为： 例1-3．（全国·高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的 表面积为（ ） A． B． C． D． 正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高 上，记为O， PO=AO=R， ， =4-R， 在Rt△ 中， ， 由勾股定理 得 ，∴球的表面积 1．（陕西·高考真题）已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的 体积为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故 ，即得 ，所以该球的体积 ，故选D. 考点：正四棱柱的几何特征；球的体积. 2．（全国·高考真题）设长方体的长、宽、高分别为 ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3 a2 B．6 a2 C．12 a2 D．24 a2 【答案】B 【详解】方体的长、宽、高分别为 ,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的 长就是外接球的直径，所以球直径为： ， 所以球的半径为 ，所以球的表面积是 ，故选B 3．（全国·高考真题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表 面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球 心， 如图： 则其外接球的半径为 球的表面积为 ； 故选B． 4．（四川·高考真题）如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同一个大圆上，点 在球面上，如果 ，则求 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱锥 的体积公式，列出方程，求得 ，再利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，设外接球 的半径为 ，则 ， 则正四棱锥 的体积为 ，解得 ， 所以球 的表面积为 ． 【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合 体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能 力。 5．（全国·高考真题）已知正四棱锥O-ABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以O 为球心，OA 为半径的 球的表面积为 . 【答案】 【详解】设正四棱锥的高为h，则 ×( )2h＝ ，解得高h＝ .则底面正方形的对角线长为 × ＝ ，所以OA＝ ＝ ，S 球＝4π( )2＝24π. 6．（广东·高考真题）棱长为3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 【答案】 【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积． 【详解】解：正方体的体对角线就是球的直径，设其体对角线的长为， 则 ， 所以 ，所以 ，所以 . 故答案为： ． 7．（辽宁·高考真题）若一个底面边长为 ，侧棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此 球的体积为 ． 【答案】 【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为 ,球心为O,一个 顶点为A,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA,再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】 作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为 ,则球心O 是 的中点. 正六棱柱底面边长为 ,侧棱长为 中, ,可得 因此,该球的体积为 故答案为 . 【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点, 属于基础题. 8．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知正四棱台的高为，下底面边长为 ，侧棱与底面所成的角 为 ，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接 ，过 作 的垂线垂足为 ，过 作 的垂线垂足为 ，求得上、下底面所在圆的 半径 ，设球心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，利用球的截面圆的性质，列出方 程求得 ，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为 ，连接 ， 过 作 的垂线垂足为 ，过 作 的垂线垂足为 ， 因为正四棱台的高为，下底面边长为 ，侧棱与底面所成的角为 ， 可得 ，即 ， 设球心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ， 可得 ， ，故 或 ， 即 或 ，解得 ，符合题意， 所以球的体积为 ． 故选：B. 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 知识迁移 墙角模型（三条直线两两垂直） 墙角模型（三条直线两两垂直）可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解. 补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 例2．（2023·广西模拟）已知三棱锥 的四个顶点 都在球 的表面上， 平 面 ，且 ，则球 的表面积为 A． B． C． D． 由题意可知CA,CB,CD 两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球， ， 求的外接球的表面积 1．（2023·天津河西·统考二模）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三棱锥 补成长方体 ，计算出长方体 的体对角线长，即为三 棱锥 的外接球直径长，再利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 将三棱锥 补成长方体 ，如下图所示， 所以，三棱锥 的外接球直径即为长方体 的体对角线长， 设三棱锥 的外接球直径为 ，则 ，则 ， 因此，三棱锥 外接球的表面积为 . 故选：C. 2．（2023 上·浙江·高二校联考期中）在三棱锥 中，PA、AB、AC 两两垂直， ， ，则 三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先三棱锥补成长方体，利用长方体的外接球的半径公式，即可求解. 【详解】如图，将三棱锥补成长方体， 三棱锥的外接球就是长方体的外接球，所以 ， 则三棱锥外接球的表面积 . 故选：C 3．（2023·全国阶段练习）三棱锥 的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是 、 、 ， 则该三棱锥的外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三棱锥 的三条侧棱 、 、 两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接 球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积. 【详解】三棱锥 的三条侧棱 、 、 两两互相垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 设 ， ， ， 则 ， ， ， 解得， ， ， . 则长方体的对角线的长为 . 所以球的直径是 ，半径长 ， 则球的表面积 ， 故选：C. 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 知识迁移 推导过程: 通过对棱相等, 可以将其补全为长方体, 补全的长方体体对角线为外接球直径, 设长方体的长宽高 为别为 a,b,c AD=BC ¿ AB=CD ¿ AC=BD} ⇒{ a 2+b 2=BC 2=λ 2 ¿b 2+c 2=A C 2=μ 2 ¿c 2+a 2=A B 2=k 2 ¿ ⇒a 2+b 2+c 2= λ 2+μ 2+k 2 2 ⇒R= ❑ √ λ 2+μ 2+k 2 8 ¿V A−BCD=abc−1 6 abc×4=1 3 abc ¿ 或者 例3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD 中， ， ， ，则四面体ABCD 外接球的体积为（ ） 对棱相等可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解. A． B． C． D． 四面体 在一个长宽高为 的长方体中，如图， ，则 故 ， 故四面体ABCD 外接球的体积为 ， 1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5， 的长方体，求出其体对角线长即可求解作答. 【详解】三棱锥 中， ， ， ， 构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5， ，则长方体的对角线长等于三棱锥 外接球的 直径，如图， 设长方体的棱长分别为 ， ，，则 ， ， ，则 ， 因此三棱锥 外接球的直径为 ， 所以三棱锥 外接球的表面积为 ． 故选：A 2．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）在四面体 中， ， 则四面体 外接球表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，此四面体 可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，四面体 如图所示， 所以此四面体 的外接球的直径为长方体的体对角线，即 ,解得 . 所以四面体 外接球表面积是 . 故答案为：B. 3．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ， ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，证明 平面 ，再确定球心O 的位置，求出球半径作答. 【详解】在三棱锥 中，如图， ，则 ，同理 ， 而 平面 ，因此 平面 ， 在等腰 中， ，则 ， ， 令 的外接圆圆心为 ，则 平面 ， ， 有 ，取 中点D，连接OD，则有 ，又 平面 ，即 ， 从而 ，四边形 为平行四边形， ，又 ， 因此球O 的半径 ， 所以球 的表面积 . 故选：A 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 知识迁移侧棱垂直与底面-垂面型 R=❑ √ r 2+( h 2) 2 例4-1．（2023·宁夏银川·宁夏育才中学校考三模）三棱锥 中， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 先计算底面截面圆半径 r=√AB2+BC2 2 =1 ,由R=❑ √ r 2+( h 2) 2 =❑ √2，表面积 例4-2．（辽宁·高考真题）已知 是球 表面上的点， ， ， ， ，则球 表面积等于 A．4 B．3 C．2 D． 侧棱垂直底面问题可直接补形为直棱柱，进而用公式直接计算，可快速求解. 球心O 为ＳＣ的中点，所以球Ｏ的半径为 ，所以 1．（2023·山西吕梁·统考二模）在三棱锥 中，已知 底面 ， ， ，则三棱锥 外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 中点 ， 中点 ，由直角三角形外接圆为斜边中点，且由题意可知 ，所以 底面 ，则 为三棱锥 外接球的球心，可解. 【详解】设 中点 ， 中点 ， 由 ， ，所以 的外接圆直径 ， 且圆心为 ， 由于 底面 ， ，所以 底面 ， 则 为三棱锥 外接球的球心， 所以外接球的直径 ， 所以外接球的体积 ． 故选：B 2．（2023·海南·统考模拟预测）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 平面 ，在 底面 中， ， ，若球 的体积为 ，则 （ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由球体积公式求球体半径，正余弦定理求 外接圆半径，结合线面垂直模型求 即可. 【详解】由题意，设球 的半径为 ，则 ， 由 ， 外接圆半径 ， 根据线面垂直模型知： . 故选：A 3．（2023·四川·校联考模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ，则三 棱锥 的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用正弦定理求出 外接圆的半径，然后利用 求出三棱锥 外接球的 半径 ，即可算出表面积. 【详解】设 外接圆的半径为，圆心为 ， 根据正弦定理，则 ，故 ， 设三棱锥 外接球的半径为 ，球心为O， 由 ，可知 为等腰三角形， 过 作 于 ，则 为 中点，由 平面 ， 平面 ， 故 ，则 共面， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 ，故 ，于是四边形 为平行四边形， 因为 ，所以四边形 为为矩形， 则 ，故三棱锥 的外接球的表面积为 . 故选：A. 4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知正方体 的棱长为2， 为棱 上的一点， 且满足平面 平面 ，则四面体 的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定 平面 ，得到 ，根据勾股定理确定 为 中点，将四面体 放入 长方体 中，计算半径得到表面积. 【详解】如图所示： 为 的中点，连接 ， ， ， ，则 ， 平面 ，平面 平面 ， 平面 平面 ，故 平面 ， 平面 ，故 ， 设 ，则 ， ， ， ，即 ，解得 ， 将四面体 放入长方体 中， 设四面体 的外接球半径为 ，则 ， ， 外接球的表面积 . 故选：A. 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 知识迁移 侧面垂直与底面-切瓜模型 如图：平面 PAC ⊥ 平面 BAC , AB⊥BC ( AC 为小圆直径) （1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面 直径AC的长; （2）在△PAC中,可根据正弦定理 a sin A =2 R,解出R 如图：:平面PAC ⊥平面BAC , PA=PC , AB⊥AC （1）确定球心O的位置,由图知P ,O , H三点共线; （2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=h （3）勾股定理:O H 2+ A H 2=O A 2 ⇒(h−R ) 2+r 2=R 2，解出R 例5-1．（江西·高考真题）矩形 中， ， ，沿 将 矩形折起，使面 面 ，则四面体 的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 如图： 侧面垂直于底面是切接问题中相对较难的模型，需要先确定球心位置，然后求出半径即可求解，需重点强 化练习. 矩形 中，因为 ，所以 ， 设 交 于 ，则 是 和 的外心， 所以 到点 的距离均为 ，所以 为四面体 的外接球的球心， 所以四面体 的外接球的半径 ，所以四面体 的外接球的体积 . 例5-2．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为 的正方形ABCD 所在平面与矩形ABEF 所在的平面 垂直， ，N 为AF 的中点， ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 由 可知， ， ，可求 ， ， ， 因为平面 平面ABEF，平面 平面 ， 又 ， 平面 ， 所以 平面ABEF， 平面ABEF，所以 ， 由 ， ，得 ， 又 ，同理可得得 ，又 ， 所以 ，所以 . 所以MC 为外接球直径， 在Rt△MBC 中 ，即 ， 故外接球表面积为 ． 1．（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知三棱锥 中，底面 为等腰直角三角形，斜边 ，侧面 为正三角形，D 为 的中点， 底面 ，则三棱锥 外接球的表面积 为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三棱锥 外接球的球心为O，确定球心的位置，即球心落在过底面外心的垂线上，利用 图形的几何性质求得外接球半径，即可求得答案. 【详解】如图，设E 是 的中点，连接 ，D 为 的中点，故 , 底面 为等腰直角三角形，即 ,故 ； 设三棱锥 外接球的球心为O， 连接 ， 因为底面 为等腰直角三角形，E 是 的中点， 即E 为 的外心，故 平面 , 在等腰直角三角形 中，斜边 ，则 . 因为 是正三角形，所以 ， 因为 ，所以三棱锥 是正三棱锥， 所以O 在底面 上的射影F 是 的重心， 则点F 在 上，所以 . 因为 底面 ，故 , 而 底面 ，故 , 又因为 ， 平面 ,故 平面 ， 而 平面 ,故 , 故四边形 是矩形，所以 ，所以 ， 所以三棱锥 外接球的半径 ，其表面积为 ， 故选：D. 2．（2023·江西九江·统考一模）三棱锥 中， 与 均为边长为 的等边三角形，若平面 平面 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取 中点 ，连接 ， ，可得 平面 ， 平面 ，取 的外心 ， 的外心 ，分别过 ， 作平面 与平面 的垂线交于点 ， 即为球心，结合球的性质 求得半径，可得三棱锥外接球的表面积. 【详解】 解：如图，取 中点 ，连接 ， ，则 ， ， 因为平面 平面 ，所以可得 平面 ， 平面 ， 取 的外心 ， 的外心 ，分别过 作平面 与平面 的垂线交