专题51 一次函数的平行、垂直、面积问题（解析版）(1)

方法点拨 知识点1 两直线平行 如图，直线b∥，那么kb=k，若已知k 及的坐标即可求出直线b 的解析式 知识点2 两直线垂直 如图，直线⊥，那么k*k=-1，若已知k 及或B 的坐标即可求出直线的 解析式（针对这一性质，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解） 考点一：一次函数平行问题 模型介绍 例题精讲 【例1】．一次函数y＝kx+b 与y＝3x+1 平行，且经过点（﹣3，4），则这个函数的表达式 为 y ＝ 3 x +13 ． 解：∵一次函数y＝kx+b 与y＝3x+1 平行， ∴k＝3， 把（﹣3，4）代入y＝3x+b 得﹣9+b＝4，解得b＝13， ∴所求一次函数解析式为y＝3x+13． 故答为y＝3x+13． 变式训练 【变1-1】．一条直线平行于直线y＝2x 1 ﹣，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直 线的解析式是（ ） ．y＝2x+4 B．y＝2x 4 ﹣ ．y＝2x±4 D．y＝x+2 解：∵所求直线与直线y＝2x 1 ﹣平行 ∴可设所求直线的解析式为y＝2x+b 令x＝0 可得直线在y 轴的截距为b 令y＝0 可得直线在x 轴的截距为 由题意可知：b× × ＝4 ∴b＝±4， 故选：． 【变1-2】．一个一次函数图象与直线y＝ x+ 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为、B， 并且过点（﹣1，﹣20），则在线段B 上（包括端点、B），横、纵坐标都是整数的点有 4 个． 解：因为一次函数的图象与直线y＝ x+ 平行， 所以所求直线的斜率为 ， 又因为所求直线过点（﹣1，﹣20）， 所以所求直线为5x 4 ﹣y 75 ﹣ ＝0， 所以此直线与x 轴、y 轴的交点分别为（15，0）、B（0，﹣ ）， 设在直线B 上并且横、纵坐标都是整数的点的横坐标是x＝﹣1+4，纵坐标是y＝﹣ 20+5，（是整数）． 因为在线段B 上这样的点应满足0≤x＝﹣1+4≤15，且﹣ ＜y＝﹣20+5≤0， 解得： ≤≤4， 所以＝1，2，3，4， 故答为：4． 考点二：一次函数垂直问题 【例2】．已知直线y＝kx+b 经过点（3，8），并与直线y＝2x 3 ﹣垂直，则k＝ ﹣ ； b＝ ． 解：∵已知直线y＝kx+b 与直线y＝2x 3 ﹣垂直， 则k＝﹣ ， ∴y＝ x+b， 将（3，8）代入， 8＝ +b， 解得b＝ ， 故答为﹣ ， ． 变式训练 【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+4 与x 轴、y 轴分别交于点、B， 直线D 与y 轴交于点（0，﹣8），与直线B 交于点D，若△B∽△DB，则点D 的坐标为 （ ， ） ． 解：∵△B∽△DB， ∴∠DB＝∠B＝90°， 设直线D 的解析式为：y＝2x+b， ∵点的坐标为（0，﹣8）， ∴b＝﹣8， ， 解得， ， 则点D 的坐标为：（ ， ）， 故答为：（ ， ）． 【变2-2】．直线y＝kx+b 与抛物线y＝ x2 交于（x1，y1），B（x2，y2）两点，当⊥B 时， 直线B 恒过一个定点，该定点坐标为 （ 0 ， 4 ） ．[提示：直线l1：y＝k1x+b1与直线 l2：y＝k2x+b2互相垂直，则k1•k2＝﹣1] 解：∵直线y＝kx+b 与抛物线y＝ x2交于（x1，y1）、B（x2，y2）两点， ∴kx+b＝ x2， 化简，得x2 4 ﹣kx 4 ﹣b＝0， ∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b， 又∵⊥B， ∴ × ＝ ＝ ＝ ＝ ＝﹣1， 解得，b＝4， 即直线y＝kx+4， 故直线恒过顶点（0，4）， 故答为：（0，4）． 考点三：一次函数的面积问题 【例3】．已知一次函数y＝mx+2 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则常数m＝ ±2 ． 解：令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣ ， ∵一次函数y＝mx+2 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为1， ∴ ×2×|﹣ |＝1，解得m＝±2． 故答为：±2． 变式训练 【变3-1】．已知直线y＝ （为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为 S．则S1+S2+S3+…+S2020的值为（ ） ． B． ． D． 解：令x＝0，则y＝ ， 令y＝0，则 ＝0， 解得x＝ ， 所以，S＝ • • ＝ （ ﹣ ）， 所以，S1+S2+S3+…+S2020＝ （ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）＝ （ ﹣ ）＝ ． 故选：B． 【变3-2】．如图，正比例函数y＝﹣3x 的图象与一次函数y＝kx+b 的图象交于点P（m， 3），一次函数图象经过点B（1，1），与y 轴的交点为D，与x 轴的交点为． （1）求一次函数表达式； （2）求△P 的面积． 解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x 的图象过点P（m，3）， 3 ∴＝﹣3m， 解得：m＝﹣1， ∴P（﹣1，3）， ∵一次函数y＝kx+b 的图象过点P（﹣1，3），B（1，1）， ∴ ， 解得： ， ∴一次函数表达式为y＝﹣x+2； （2）由（1）知，一次函数表达式为y＝﹣x+2， 令y＝0，﹣x+2＝0， 解得：x＝2， ∴（2，0）， ∴＝2， ∴ ＝3． 1．两直线y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2相交于y 轴，则（ ） ．k1≠k2，b1≠b2 B．k1≠k2，b1＝b2 ．k1＝k2，b1≠b2 D．k1＝k2，b1＝b2 解：两直线y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2相交于y 轴，则两直线与y 轴的交点是同一点， 在直线y1＝k1x+b1中，令x＝0，解得y＝b1，与y 轴的交点是（0，b1）， 同理直线y2＝k2x+b2与y 轴的交点是（0，b2）， 则b1＝b2， 若k1＝k2，则两直线重合，因而k1≠k2． 故选：B． 2．若直线x+3y+1＝0 与x+y+1＝0 互相垂直，则实数的值为（ ） ．﹣3 B．﹣ ． D．3 解：直线x+3y+1＝0 的斜率为：﹣ ， 直线x+y+1 的斜率为：﹣， ∵两直线垂直， ∴﹣ ×（﹣）＝﹣1， ∴＝﹣3， 故选：． 3．已知一次函数y＝x+2 与y＝﹣2+x，下面说法正确的是（ ） ．两直线交于点（1，0） B．两直线之间的距离为4 个单位 ．两直线与x 轴的夹角都是30° D．两条已知直线与直线y＝x 都平行 解：根据一次函数的性质，一次函数y＝x+2 与y＝﹣2+x，分别与y 轴相交于（0，2） 和（0，﹣2）两点， 因为x 的系数，都为1，因此直线的方向是一样的，都与直线y＝x 平行． 故选：D． 4．如图，直线l1过原点，直线l2解析式为y＝﹣ x+2，且直线l1和l2互相垂直，那么直 线l1解析式为（ ） ．y＝ x B．y＝ x ．y＝ x D．y＝ x 解：∵一次函数经过原点， ∴设所求的一次函数为y＝kx， ∵一次函数的图象与直线y＝﹣ x+2 垂直， ∴k＝ ， 则直线l1解析式为y＝ x， 故选：D． 5．已知直线y＝mx 1 ﹣上有一点B（1，），它到原点的距离是 ，则此直线与两坐标轴 围成的三角形的面积为（ ） ． B． 或 ． 或 D． 或 解：∵点B（1，）到原点的距离是 ， ∴2+1＝10，即＝±3． 则B（1，±3），代入一次函数解析式得y＝4x 1 ﹣或y＝﹣2x 1 ﹣． （1）y＝4x 1 ﹣与两坐标轴围成的三角形的面积为： × ×1＝ ； （2）y＝﹣2x 1 ﹣与两坐标轴围成的三角形的面积为： × ×1＝ ． 故选：． 6．如图，一次函数y＝kx+b 的图象与正比例函数y＝2x 的图象平行且经过点（1，﹣2）， 则kb＝ ﹣ 8 ． 解：∵一次函数y＝kx+b 的图象与正比例函数y＝2x 的图象平行， ∴k＝2， ∴y＝2x+b， 把点（1，﹣2）代入y＝2x+b 得2+b＝﹣2，解得b＝﹣4， ∴kb＝2×（﹣4）＝﹣8． 故答为﹣8． 7．若平行于直线y＝﹣2x 的某直线y＝kx+b 与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则b＝ ． 解：直线y＝kx+b 与直线y＝﹣2x 平行， 因而k＝﹣2， 直线y＝﹣2x+b 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是（0，b）， ∴ | |•|b|＝5，即 ＝5， 解得：b＝±2 ． 8．如图，直线y＝﹣ x+2 与x，y 轴交于、B 两点，以B 为边在第一象限作矩形BD，矩形 的对称中心为点M，若双曲线y＝ （x＞0）恰好过点、M，则k＝ ． 解：∵y＝﹣ x+2， ∴x＝0 时，y＝2； y＝0 时，﹣ x+2＝0，解得x＝4， ∴（4，0），B（0，2）． ∵四边形BD 是矩形， ∴∠B＝90°． 设直线B 的解析式为y＝2x+b， 将B（0，2）代入得，b＝2， ∴直线B 的解析式为y＝2x+2， 设（，2+2）， ∵矩形BD 的对称中心为点M， ∴M 为的中点， ∴M（ ，+1）． ∵双曲线y＝ （x＞0）过点、M， ∴（2+2）＝ （+1）， 解得1＝ ，2＝﹣1（不合题意舍去）， ∴k＝（2+2）＝ （2× +2）＝ ． 故答为 ． 9．在平面直角坐标系xy 中，已知直线B 与x 轴交于点（2，0），与y 轴交于点B（0， 1）． （1）求直线B 的解析式； （2）若x 轴上有一点，且S△B＝2，求点的坐标． 解：（1）设直线B 的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将点（2，0），B（0，1）代入，可得 ， 解得 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+1； （2）∵x 轴上有一点， 设点（x，0）， ∴＝|2﹣x|， ∵S△B＝2， ∴ ×|2﹣x|×1＝2， ∴x＝﹣2 或x＝6， ∴（﹣2，0）或（6，0）． 10．如图，直线l1：y＝x 3 ﹣与x 轴交于点，与y 轴交于点B，直线l2：y＝kx+b 与x 轴交于 点（05，0），与y 轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E． （1）求直线l2的函数表达式． （2）试说明D＝E． （3）若P 为直线l1上一点，当∠PB＝∠BDE 时，求点P 的坐标． 解：（1）将（05，0）．D（0，2）代入y＝kx+b 得， ， 解得 ， ∴直线l2的函数解析式为y＝﹣4x+2； （2）当﹣4x+2＝x 3 ﹣时， ∴x＝1， ∴E（1，﹣2）， 过点E 作EF⊥x 轴于F， ∴EF＝D＝2， ∵∠D＝∠EF，∠D＝∠EF， ∴△D≌△EF（S）， ∴D＝E； （3）∵∠PB＝∠BDE， ∴点P 在l1上有两个位置， 当点P 在点B 上方时，如图， ∴P∥DE， ∴直线P 的函数解析式为y＝﹣4x， 4 ∴﹣x＝x 3 ﹣， ∴x＝ ， 当x＝ 时，y＝﹣ ， ∴P（ ，﹣ ）， 当点P 在点B 的下方时，设点P 关于y 轴的对称点为Q，连接Q 交l1为点P'， ∴Q（﹣ ）， 则直线Q 的函数解析式为y＝4x， ∴直线Q 与l1的交点为P'（﹣1，﹣4）， 综上所述：P（ ，﹣ ）或（﹣1，﹣4）． 11．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板△B 放在第三象限，斜靠在两坐标 轴上，点坐标为（0，﹣4），直角顶点B 坐标为（﹣1，0），一次函数y＝kx+b 的图象 经过点、交x 轴于点D． （1）求点的坐标； （2）求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 解：（1）作E⊥x 轴，垂足为E． ∵∠EB＝90°， ∴∠BE+∠B＝90°． 在Rt△EB 中， ∵∠BE+∠EB＝90°， ∴∠B＝∠EB， 在△EB 和△B 中， ， ∴△EB≌△B（S）． ∴E＝B＝1，BE＝＝4， ∴E＝B+BE＝1+4＝5， ∴（﹣5，﹣1）． （2）把（﹣5，﹣1），（0，﹣4）代入y＝kx+b，得 ， 解得 ， 函数解析式为：y＝﹣ x 4 ﹣， 当y＝0 时，x＝﹣ ， D（﹣ ，0）． S△D＝ × ×4＝ ． 12．如图，直线l1：y＝x+3 分别与直线l2：y＝kx+b（k≠0）、直线l3：y＝k1x+b1（k1≠0）交 于、B 两点，直线l1交y 轴于点E，直线l2与x 轴和y 轴分别交于、D 两点，已知点的纵 坐标为 ，B 的横坐标为1，l2∥l3，D＝1，连BD． （1）求直线l3的解析式； （2）求△BD 的面积． 解：（1）在y＝x+3 中，令y＝ ，则x＝﹣ ， ∴（﹣ ， ）， ∵D＝1， ∴D（0，﹣1）， 把点，D 的坐标代入l2：y＝kx+b，可得 ，解得 ， ∴l2：y＝﹣ x 1 ﹣， 在y＝x+3 中，令x＝1，则y＝4， ∴B（1，4）， ∵l2∥l3， ∴k1＝﹣ ， 把B（1，4）代入y＝﹣ x+b1可得， 4＝﹣ +b1， ∴b1＝ ， ∴直线l3的解析式为y＝﹣ x+ ； （2）在y＝x+3 中，令x＝0，则y＝3， ∴E（0，3）， ∴DE＝3+1＝4， ∴S△BD＝ DE（|x|+|xB|）＝ （ +1）＝5． 13．如图，一次函数y＝ x 2 ﹣的图象与x 轴交于点，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象 交于点B，且点B 的纵坐标为1． （1）求反比例函数y＝ （x＞0）的表达式； （2）过点作x 轴的垂线交反比例函数y＝ （x＞0）的图象于点，平移直线y＝ x 2 ﹣ 得到过点的直线l，l 的函数表达式为y＝mx+，结合函数的图象，求 ＞mx+对应x 的取 值范围． 解：（1）∵点B 在一次函数y＝ x 2 ﹣的图象上，且B 的纵坐标为1， 1 ∴＝ ， ∴x＝6， ∴B（6，1）， ∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象过点B， ∴ ， ∴k＝6， ∴反比例函数的表达式为 （x＞0）； （2）∵一次函数y＝ x 2 ﹣的图象与x 轴交于点， ∴令y＝0 得， ， ∴x＝4， ∴（4，0）， ∵⊥x 轴， ∴点的横坐标为4， 结合函数图象可知，要求 ＞mx+，即反比例函数y＝ 的图象在一次函数y＝mx+的图 象的上方， 0 ∴＜x＜4． 14．已知抛物线y＝x2﹣（＞0）． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）设为抛物线上的一定点，抛物线和x 轴交点为E、F，直线l：y＝kx+2k+3 与抛物 线交于点、B（点B 与点不重合），与y 轴交于点P，直线BD 垂直于直线y＝﹣，垂足 为D，且△EF 为等腰直角三角形． ①求点的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每一个给定的实数k，都有DP∥． 解：（1）在y＝x2﹣中，令y＝0，得x2﹣＝0， ∵＞0， ∴x2 1 ﹣＝0， 解得：x＝﹣1 或x＝1， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）和（1，0）； （2）①∵y＝x2﹣， ∴E（﹣1，0），F（1，0）， ∵△EF 为等腰直角三角形， ∴E＝F，∠EF＝90°，∠EF＝∠FE＝45°， ∵∠E＝∠F＝90°，E＝F＝1， ∴＝E＝1， ∴（0，﹣1）， 将（0，﹣1）代入y＝x2﹣中，则﹣＝﹣1， ∴＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2 1 ﹣； ②由题意得： ， 解得： 或 ， ∴（﹣2，3），B（k+2，k2+4k+3），且k+2≠0， ∵直线BD 垂直于直线y＝﹣1，垂足为D， ∴D（k+2，﹣1）， 在y＝kx+2k+3 中，令x＝0，得y＝2k+3， ∴P（0，2k+3）， 设直线解析式为y＝mx+， 则 ， 解得： ， ∴直线解析式为y＝﹣2x 1 ﹣， 设直线DP 的解析式为y＝m′x+′， 则 ， 解得： ， ∴直线DP 的解析式为y＝﹣2x+2k+3， ∴∥DP． 15．定义：已知直线l：y＝kx+b（k≠0），则k 叫直线l 的斜率． 性质：直线l1：y＝k1x+b1．l2：y＝k2x+b2（两直线斜率存在且均不为0），若直线 l1⊥l2，则k1k2＝﹣1 （1）应用：若直线y＝2x+1 与y＝kx 1 ﹣互相垂直，求斜率k 的值； （2）探究：一直线过点（2，3），且与直线y＝﹣ x+3 互相垂直，求该直线的解析式． 解：（1）∵直线y＝2x+1 与y＝kx 1 ﹣互相垂直， 2• ∴ k＝﹣1， ∴k＝﹣ ； （2）设该直线的解析式为y＝kx+b， ∵直线y＝kx+b 与直线y＝﹣ x+3 互相垂直， ∴﹣ k＝﹣1，解得k＝3， 把（2，3）代入y＝3x+b 得6+b＝3，解得b＝﹣3， ∴该直线的解析式为y＝3x 3 ﹣． 16．在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的 两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象为直线l1，一次 函数y＝k2x+b2（k≠0）的图象为直线l2，若k1•k2＝﹣1，我们就称直线l1与直线l2互相垂 直，如直线y＝3x 1 ﹣与直线y＝﹣ x+1，因为3×（﹣ ）＝﹣1，所以相互垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： （1）求过点P（1，2）且与已知直线y＝05x 2 ﹣垂直的直线l 的函数表达式，并在如图 所示的坐标系中画出直线l 的图象． （2）求（1）问中的两条直线与y 轴所围的三角形的面积； （3）已知点（0，2），点B，分别是（1）问中直线l 和x 轴上的动点，求出△B 周长的 最小值． 解：（1）设直线l 的函数表达式为y＝kx+b， ∵直线l 与直线y＝05x 2 ﹣垂直， ∴k＝﹣2， ∵直线l 过点P（1，2）， 2×1+ ∴﹣ b＝2， ∴b＝4． ∴直线l 的函数表达式为y＝﹣2x+4； 直线l 的图象如图； （2）解方程组 得， ， ∵直线y＝05x 2 ﹣与y 轴的交点为（0，﹣2），直线l 的函数表达式为y＝﹣2x+4 与y 轴 的交点为（0，4）， ∴两条直线与y 轴所围的三角形的面积＝ ×6× ＝ ； （3）∵点（0，2）关于x 轴的对称点为E（0，﹣2），关于直线l 的对称点D（ ， ）， 连接DE 交直线l 于B，交x 轴于， 则此时，△B 周长的值最小，△B 周长的最小值＝DE＝ ＝ ． 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过点（﹣4，3），将 点向右平移2 个单位长度，再向上平移个单位长度得到点B，点B 恰好落在该函数的图 象上，过，B 两点的直线与y 轴交于点． （1）求k 的值及点的坐标； （2）在y 轴上有一点D（0，4），连接D，BD，求△BD 的面积． 解：（1）设反比例函数表达式为 ， 把（﹣4，3）代入得，3＝ ， 解得k＝﹣4×3＝﹣12． ∴反比例函数的表达式为 ． ∵将点向右平移2 个单位长度，再向上平移个单位长度得到点B， ∴点B 的坐标为（﹣2，y）． 当x＝﹣2 时， ． ∴点B 的坐标为（﹣2，6）． 设直线B 的函数表达式为y＝kx+b． 由题意，得 ，解得 ． ∴ ． ∵当x＝0 时，y＝9， ∴点的坐标为（0，9）． （2）由（