高考数学答题技巧题型19 10类球体的外接及内切解题技巧（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定）（原卷版）（23页）

题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 （4）长（正）方形：半径等于对角线的一半 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 1. ∶ 正棱锥类型 (h−R ) 2+r 2=R 2, 解出 R 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧 对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通 常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练. 例1-1．（2020·天津·统考高考真题）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （ ） A． B． C． D． 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即 ， 所以，这个球的表面积为 . 例1-2．（全国·高考真题）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上， 这个球的表面积是（ ） A． B． C． D． 球的直径是长方体的体对角线，所以 ， 解得 ，所以球的表面积为： 例1-3．（全国·高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的 表面积为（ ） A． B． C． D． 正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高 上，记为O，PO=AO=R， ， =4-R， 在Rt△ 中， ，由勾股定理 得 ，∴球的表面积 1．（陕西·高考真题）已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的 体积为（ ） A． B． C． D． 2．（全国·高考真题）设长方体的长、宽、高分别为 ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3 a2 B．6 a2 C．12 a2 D．24 a2 3．（全国·高考真题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表 面积为（ ） A． B． C． D． 4．（四川·高考真题）如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同一个大圆上，点 在球面上，如果 ，则求 的表面积为（ ） A． B． C． D． 5．（全国·高考真题）已知正四棱锥O-ABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为 . 6．（广东·高考真题）棱长为3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 7．（辽宁·高考真题）若一个底面边长为 ，侧棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此 球的体积为 ． 8．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知正四棱台的高为，下底面边长为 ，侧棱与底面所成的角 为 ，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 知识迁移 墙角模型（三条直线两两垂直） 补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 例2．（2023·广西模拟）已知三棱锥 的四个顶点 都在球 的表面上， 平 面 ，且 ，则球 的表面积为 A． B． C． D． 由题意可知CA,CB,CD 两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球， ， 求的外接球的表面积 墙角模型（三条直线两两垂直）可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可用公式快速求解. 1．（2023·天津河西·统考二模）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．（2023 上·浙江·高二校联考期中）在三棱锥 中，PA、AB、AC 两两垂直， ， ，则 三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·全国阶段练习）三棱锥 的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是 、 、 ， 则该三棱锥的外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 知识迁移 推导过程: 通过对棱相等, 可以将其补全为长方体, 补全的长方体体对角线为外接球直径, 设长方体的长宽高 为别为 a,b,c 对棱相等可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解. AD=BC ¿ AB=CD ¿ AC=BD} ⇒{ a 2+b 2=BC 2=λ 2 ¿b 2+c 2=A C 2=μ 2 ¿c 2+a 2=A B 2=k 2 ¿ ⇒a 2+b 2+c 2= λ 2+μ 2+k 2 2 ⇒R= ❑ √ λ 2+μ 2+k 2 8 ¿V A−BCD=abc−1 6 abc×4=1 3 abc ¿ 或者 例3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD 中， ， ， ，则四面体ABCD 外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 四面体 在一个长宽高为 的长方体中，如图， ，则 故 ， 故四面体ABCD 外接球的体积为 ， 1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）在四面体 中， ， 则四面体 外接球表面积是（ ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ， ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 知识迁移侧棱垂直与底面-垂面型 R=❑ √ r 2+( h 2) 2 例4-1．（2023·宁夏银川·宁夏育才中学校考三模）三棱锥 中， ， 侧棱垂直底面问题可直接补形为直棱柱，进而用公式直接计算，可快速求解. ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 先计算底面截面圆半径 r=√AB2+BC2 2 =1 ,由R=❑ √ r 2+( h 2) 2 =❑ √2，表面积 例4-2．（辽宁·高考真题）已知 是球 表面上的点， ， ， ， ，则球 表面积等于 A．4 B．3 C．2 D． 球心O 为ＳＣ的中点，所以球Ｏ的半径为 ，所以 1．（2023·山西吕梁·统考二模）在三棱锥 中，已知 底面 ， ， ，则三棱锥 外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·海南·统考模拟预测）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 平面 ，在 底面 中， ， ，若球 的体积为 ，则 （ ） A．1 B． C． D．2 3．（2023·四川·校联考模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ，则三 棱锥 的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知正方体 的棱长为2， 为棱 上的一点， 且满足平面 平面 ，则四面体 的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 知识迁移 侧面垂直与底面-切瓜模型 如图：平面 PAC ⊥ 平面 BAC , AB⊥BC ( AC 为小圆直径) （1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面 直径AC的长; （2）在△PAC中,可根据正弦定理 a sin A =2 R,解出R 如图：:平面PAC ⊥平面BAC , PA=PC , AB⊥AC （1）确定球心O的位置,由图知P ,O , H三点共线; （2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=h （3）勾股定理:O H 2+ A H 2=O A 2 ⇒(h−R ) 2+r 2=R 2，解出R 侧面垂直于底面是切接问题中相对较难的模型，需要先确定球心位置，然后求出半径即可求解，需重点强 化练习. 例5-1．（江西·高考真题）矩形 中， ， ，沿 将 矩形折起，使面 面 ，则四面体 的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 如图： 矩形 中，因为 ，所以 ， 设 交 于 ，则 是 和 的外心， 所以 到点 的距离均为 ，所以 为四面体 的外接球的球心， 所以四面体 的外接球的半径 ，所以四面体 的外接球的体积 . 例5-2．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为 的正方形ABCD 所在平面与矩形ABEF 所在的平面 垂直， ，N 为AF 的中点， ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 由 可知， ， ，可求 ， ， ， 因为平面 平面ABEF，平面 平面 ， 又 ， 平面 ， 所以 平面ABEF， 平面ABEF，所以 ， 由 ， ，得 ， 又 ，同理可得得 ，又 ， 所以 ，所以 . 所以MC 为外接球直径， 在Rt△MBC 中 ，即 ， 故外接球表面积为 ． 1．（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知三棱锥 中，底面 为等腰直角三角形，斜边 ，侧面 为正三角形，D 为 的中点， 底面 ，则三棱锥 外接球的表面积 为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·江西九江·统考一模）三棱锥 中， 与 均为边长为 的等边三角形，若平面 平面 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·河南郑州·校联考二模）如图，在三棱锥 中， ， ，平 面 平面ABC，则三棱锥 外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 本文梳理以二面角为背景的外接球问题，这类问题难度较大，对空间想象能力要求较高，基于此本文先给 出一般结论，再对其展开详细应用，大家需重点强化复习. 知识迁移 基本原理 如下图, 所示为四面体 P−ABC, 已知二面角 P−AB−C 大小为 α, 其外接球问题的步骤如下: (1) 找出 △PAB 和 △ABC 的外接圆圆心, 分别记为 O1 和 O2. (2) 分别过 O1 和 O2 作平面 PAB 和平面 ABC 的垂线, 其交点为球心, 记为 O. (3) 过 O1 作 AB 的垂线, 垂足记为 D, 连接 O2 D, 则 O2 D⊥AB. (4) 在四棱雉 A−DO1OO2 中, AD 垂直于平面 DO1OO2, 如图所示, 底面四边形 DO1OO2 的四个顶点 共圆且 OD 为该圆的直径. 如图, 设O1、O2 为面PAB 与面CAB 的外接圆圆心, 其半径分别为r1、r2, 两相交面的二面角 P−AB−C 记为α, 公共弦为AB 的弦长为, 四面体P−ABC 球O 的半径R. 两圆O1、O2 的 弦心距: DO1 2=r1 2−l 2, DO2 2=r2 2−l 2; 两圆O1、O2 的圆心距: O1O2❑ 2=DO1 2+DO2 2−2 DO1 M O2⋅cosα, 由于四边形DO1OO2 的四 个顶点共圆且OD 为该圆的直径, 而sin α= ❑ √1−cos 2α, 则由正弦定理: DO=O1O2 sin α ,于是外接球 O 的半径RO A 2=DO 2+l 2 可得，进一步整理： R 2=r1 2+r2 2−2l 2−2 ❑ √(r1 2−l 2)(r2 2−l 2)⋅cosα sin 2α +l 2特别地, 当 α= π 2 时, 代入 R 2=r1 2+r2 2−2l 2−2 ❑ √(r1 2−l 2)(r2 2−l 2)⋅cosα sin 2α +l 2 可得: R 2=r1 2+r2 2−l 2 例6-1．（2023·河南开封·河南省杞县高中校考模拟预测）在边长为6 的菱形ABCD 中， ，现将 沿BD 折起到 的位置，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积 为（ ） A．60π B．45π C．30π D．20π BD=2l=6 ⇒l=3, 面 BCD, 面 PCD 的外接圆半径分别为 r1,r2 , 则 r1=r2=2❑ √3, 代入公式: R 2=r1 2+r2 2−l 2, 可得: R 2=15, 故外接球的表面积为 4 π R 2=60 π 例6-2．（2023 上·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）已知 是半径为 的球体表面 上的四点， ， ， ，则平面 与平面 的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 由于设 r1,r2 分别为面 ABC, 面 ABD 的外接圆半径, 则 R=❑ √5,r1=1,r2=2,l=2, 代入: R 2=r1 2+r2 2−2l 2−2 ❑ √(r1 2−l 2)(r2 2−l 2)⋅cosα sin 2α +l 2, 可得: ∠OEF=30 ∘, 故平面 CAB 与平面 DAB 的夹角为 60 ∘, 故其余弦值为 1 2 . 1．（2023 上·浙江杭州·高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）在三棱锥 中， ， ， ，二面角 的大小为 ，则该三棱锥外接球半径是（ ） A． B． C． D． 2．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥 平面 ，二 面角 的大小为 .若点 均在球 的表面上，则该球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥 中， ， ，二面角 的平面角为 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 数学文化与球体综合是高考中的常考考点，从数学文化切入一方面弘扬古代数学思想，另一方面要建立数 学模型，提炼解题突破口，题型难度不一，需重点强化练习 例7-1．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直 三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图， 在堑堵 中， ，鳖臑 的外接球的体积为 ，则阳马 体 积的最大值为（ ） A． B． C． D．4 设 的外接球半径为r， 则 的外接球的体积为 ． ． 又阳马 的体积为 ， 所以阳马 体积的最大值为 ． 例7-2．（2023·全国·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1 所示的五脊殿是中国传统建筑中 的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2 所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD 为矩形， ， ， 与 都是边长为1 的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F 都在 球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A． B． C． D． 如图，连接AC，BD，设 ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以 为矩形ABCD 外接圆的圆心．连接 ， 则 平面ABCD，分别取EF，AD，BC 的中点M，P，Q， 根据几何体ABCDEF 的对称性可知，直线 交EF 于点M． 连接PQ，则 ，且 为PQ 的中点，因为 ，所以 ， 连接EP，FQ，在 与 中，易知 ， 所以梯形EFQP 为等腰梯形，所以 ，且 ． 设 ，球O 的半径为R，连接OE，OA， 当O 在线段 上时，由球的性质可知 ， 易得 ，则 ，此时无解． 当O 在线段 的延长线上时，由球的性质可知， ，解得 ，所以 ， 所以球O 的表面积 ， 1．（2023·全国·模拟预测）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐 用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如 今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底 边长分别为8 和6，则该米斗的外接球的表面积是 ． 2．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取 一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为暂堵，再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开 得一四棱锥和一三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑. （注：图1 由左依次是堑堵、阳马、鳖臑） 上图中长方体为正方体，由该正方体得上图阳马和鳖臑，已知鳖臑的外接球的体积为 ，则鳖臑体积 为（ ） A． B． C．2 D． 3．（2023·山东日照·三模）祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势 既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如 果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1 运用祖暅原理解决如下 问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2 的铁球，再 注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的 体积为 . 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 最值与球体综合是本节内容中难度较大的知识点，也是高考中的难点，需要同学们多总结类型题，需重点 强化练习 例8-1．（全国·高考真题）已知 是球 的球面上两点, , 为该球面上的动点.若三棱锥 体积的最大值为36,则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【详解】 如图所示，当点C 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，设球 的半径为 ，此 时 ，故 ，则球 的表面积为 例8-2．（2023·云南·统考模拟预测） ， ， ， 在同一