第六章 圆 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．如图所示，A (2❑ √2,0)，AB=3 ❑ √2，以点为圆心，B 长为半径画弧交x 轴负半轴于点，则点的坐标为 （ ） ．(3 ❑ √2,0) B．(❑ √2,0) ．(−❑ √2,0) D．(−3 ❑ √2,0) 【答】 【分析】先求得的长，从而求出的长即可． ∴(−❑ √2,0)， 故选：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确B=是解题的关键． 2．【原创题】在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心到直线l 的距离为3，点P 为圆上的一个动点， 则点P 到直线l 的最大距离是（ ） ．2 B．5 ．6 D．8 【答】B 【分析】过点O作OA ⊥l于点A，连接OP，判断出当点P为AO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的 2=5， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点P到直线l的距离最大时，点P的位置是解题关键． 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E 为B 延长线上一点．若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是 （ ） ．65° B．115° ．130° D．140° 【答】 【分析】根据邻补角互补求出∠DCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，最后根

第六章 圆 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．如图所示，A (2❑ √2,0)，AB=3 ❑ √2，以点为圆心，B 长为半径画弧交x 轴负半轴于点，则点的坐标为 （ ） ． (3 ❑ √2,0) B． (❑ √2,0) ． (−❑ √2,0) D． (−3 ❑ √2,0) 2．【原创题】在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心到直线l 2．【原创题】在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心到直线l 的距离为3，点P 为圆上的一个动点， 则点P 到直线l 的最大距离是（ ） ．2 B．5 ．6 D．8 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E 为B 延长线上一点．若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是 （ ） ．65° B．115° ．130° D．140° 【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题 4．陕西 ．2π D．4 π 9．已知一个正多边形的边心距与边长之比为 ❑ √3 2 ，则这个正多边形的边数是（ ） ．4 B．6 ．7 D．8 10．【原创题】如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心的两条直线l1、l2的夹角为 60°，则图中的阴影部分的面积为（ ） ．4 3 π−❑ √3 B．4 3 π− ❑ √3 2 ．2 3 π−❑ √3

第24 章 圆章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（2022 秋•梁平区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形格的格点、 B、，已知点的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） ．（﹣1，0） B．（0，0） ．（﹣1，1） D．（1，0） 【分析】利用格特点，作作B 和B 的垂直平分线，根据垂径定理的推论得到它们的交点 的垂直平分线，根据垂径定理的推论得到它们的交点 P 为该圆弧所在圆的圆心，然后写出P 点坐标即可． 【解答】解：作B 和B 的垂直平分线，它们的交点P 为该圆弧所在圆的圆心， 所以该圆弧所在圆的圆心坐标为（﹣1，0）． 故选：． 2．（2022•青羊区校级自主招生）如图，△B 中，∠B＝60°，∠B＝45°，B＝2❑ √2，D 是线段 B 上的一个动点，以D 为直径画⊙分别交B，于E，F，连接EF，则线段EF 【解答】解：由垂线段的性质可知，当D 为△B 的边B 上的高时，直径D 最短， 如图，连接E，F，过点作⊥EF，垂足为， ∵在Rt△DB 中，∠B＝45°，B＝2❑ √2， ∴D＝BD＝2，即此时圆的直径为2， 由圆周角定理可知∠E¿ 1 2∠EF＝∠B＝60°， ∴在Rt△E 中，E＝E•s∠E＝1× ❑ √3 2 = ❑ √3 2 ， ∴EF＝2E¿ ❑ √3． 故选：．

第24 章 圆章末题型过关卷 【人版】 考试时间：60 分钟；满分：100 分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23 题，单选10 题，填空6 题，解答7 题，满分100 分，限时60 分钟，本卷题型 针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分，每小题3 分） 1．（2022 秋•梁平区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形格的格点、 B、，已知点的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） ．（﹣1，0） B．（0，0） ．（﹣1，1） D．（1，0） 2．（2022•青羊区校级自主招生）如图，△B 中，∠B＝60°，∠B＝45°，B＝2❑ √2，D 是线段 B 上的一个动点，以D 为直径画⊙分别交B，于E，F，连接EF，则线段EF 上移动，连结，过点作 D⊥交⊙于点D，则D 的最大值为（ ） ．5 B．25 ．3 D．2 9．（2022•江汉区模拟）如图，由5 个边长为1 的小正方形组成的“L”形，圆经过其顶点 B、，则圆的半径为（ ） ．5 B．2❑ √2 ．5 2 D． ❑ √85 4 10．（2022 秋•孟村县期末）如图，点D 是△B 中B 边的中点，DE⊥于E，以B 为直径的⊙ 经过D，连接D，

圆 模型（三十五）——圆幂定理模型 知识点一：相交弦定理 ◎结论1：如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 P·BP ① ＝P·DP , P·BP ② ＝P·DP＝r2－P2 ①【证明】 如上右图 ∵∠＝∠D，∠P＝∠DPB △P∽△DPB ∴ ∴AP DP＝CP BP 即P·BP＝P·DP ② P 与⊙交于M 两点，r ＝P²－r² 1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，且分直径成1m 和5m 两部分，则 这条弦的弦心距是_____． 【答】1m 【分析】首先过点作F D ⊥ 于点F，设弦D 与直径B 相交于点E，由分直径成1m 和5m 两部分，可求得直径，半径 的长，继而求得E 的长，又由圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，即可求得这条弦的弦心距． (也可连结F，证△E∽△F) (3) 结论P Q=2成立 【点睛】本题考查相似三角形的性质，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键． 1．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”， 也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙的两条弦B⊥D，则B、D 互为“十字弦”，B 是D 的“十字弦”，D 也是B 的“十字弦”．

圆 模型（三十五）——圆幂定理模型 知识点一：相交弦定理 ◎结论1：如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 P·BP ① ＝P·DP , P·BP ② ＝P·DP＝r2－P2 ①【证明】 如上右图 ∵∠＝∠D，∠P＝∠DPB △P∽△DPB ∴ ∴AP DP＝CP BP 即P·BP＝P·DP ② P 与⊙交于M 两点，r △PB∽△PD ∴ ∴PB PD＝PC PA P·PB ∴ ＝P·PD ＝PM·P ＝（P－r）（P＋r） ＝P²－r² 1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，且分直径成1m 和5m 两部 分，则这条弦的弦心距是_____． 从两线交点处引出的共线，线段的乘积相等 2．（2015·浙江宁波·九年级阶段练习）半圆的直径B=9，两弦B、D 若过的直线与弦D(不含端点)相交于点E，与⊙相交于点F，求证：E F=2； (3) 若过的直线与直线D 相交于点P，与⊙相交于点Q，判断P Q=2是否成立(不必证明) 1．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十 字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙的两条弦B⊥D，则B、D 互为 “十字弦”，B 是D 的“十字弦”，D 也是B 的“十字弦”．

46 圆 例 2023 年广安市中考第9 题 如图1，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，＝B＝ ，以点为圆心，为半径画弧， 交B 于点E，以点B 为圆心，B 为半径画弧，交B 于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）． ．π－2 B．2π－2 ．2π－4 D．4π－4 图 1 例 2023 年滨州市中考第7 题 如图1，某玩具品牌的标志由半径为1m 如图1，某玩具品牌的标志由半径为1m 的三个等圆构成，且三个等圆⊙1、⊙2、⊙3相 互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）． ． m2 B． m2 ． m2 D． m2 图1 例 2023 年台州市中考第8 题 如图1，⊙的圆心与正方形的中心重 如图1，⊙的圆心与正方形的中心重合，已知⊙的半径和正方形的边长都为4，则圆上 任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）． ． B．2 ． D． 图1 例53 2023 年潜江市天门市仙桃市中考第7 题 如图1，在3×3 的正方形格中，

专题11 圆的最值问题（隐圆模型） 【知识点梳理】隐圆模型汇总 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 例．如图，在Rt B △中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝2 ，△D 与△B 关于对称，点E、F 上的任意一点，且DE＝F，BE、DF 相交于点P，则P 的最小值为( ) ．1 B． ． D．2 【答】D 【分析】连接BD，证明△EDB FD △ ，可得∠BPD＝120°，由于BD 的长确定，则点P 在以为圆 心，D 为半径的弧BD 上，当点，P，在一条直线上时，P 有最小值． 【详解】解：连接D，因为∠B＝30°，所以∠BD＝60°， 因为B＝D，所以△BD 是等边三角形， 所以BD＝D 因为DE＝F，∠EDB＝∠FD＝60°， 点在一个确定的圆或圆弧上运动， 当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值． 【变式训练1】．如图， 是⊙的弦，点在⊙内， ，连接 ，若 ⊙的半径是4，则 长的最小值为 ． 【答】 / 【分析】延长 交圆于点D，连接 ，过点作 交于点E，则 是等边 三角形，再确定点在以E 为圆心， 为半径的圆上，则 的最小值为 ，再求解 即可． 【详解】解：如图，延长 交圆于点D，连接 ，过点作

专题11 圆的最值问题（隐圆模型） 【知识点梳理】隐圆模型汇总 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 例．如图，在Rt B △中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝2 ，△D 与△B 关于对称，点E、F 一个动点，联结EF，将 沿EF 折叠，点落在点G 处，在运动的过程中，点G 运动的 路径长为（ ） ． B． ． D．1 3．如图，在 中， ， ， ， 是以点 为圆心，3 为半径 的圆上一点，连接 ， 是 的中点，则线段 长度的最小值为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 4．如图，矩形 ， ， ，E 为 中点，F 为直线 上动点，B、G 关于 对称，连接 ，点P 为平面上的动点，满足

专题32 圆中的重要模型之隐圆模型 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动， 或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定 长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、 旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、动点定长模型（圆的定义） 若P 为动点，且B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 ，进一步求出点在以为圆心，半径为 4 的圆上运动，则当点M 在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，据此求出 的最小值， 即可得到答． 【详解】解：如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ， ∵ 的一条直角边 在x 轴上，点的坐标为 ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵点M 为 中点，点为 中点，∴ 是 的中位线，∴ ； 在 中， ，∴ ， ∵将 以点为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点在以为圆心，半径为4 的圆上运动， ∴当点M