专题32 圆中的重要模型之隐圆模型 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动， 或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定 长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、 旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、动点定长模型（圆的定义） 若P 为动点，且B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 的一条直角边 在x 轴 上，点的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M 是 中点， 连接 ．将 以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ） ．3 B． ． D．2 【答】 【分析】如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，根据点的坐标为 得到 ，再证 明 是 的中位线，得到 ；解 得到 ，进一步求出点在以为圆心，半径为 4 的圆上运动，则当点M 在线段 上时， 有最小值，即此时

专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理 以及它们推论的统一与归纳。可能是在19 世纪由德国数学家施泰纳（Steer）或者法国数学家普朗克雷 （Pelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1 相交弦模型 条件：在圆中，弦B 与弦D 交于点E，点E 交于点E，点E 在圆内。 结论： 。 例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点 ， ， ， 在 上， ， ．若 ， ，则 的长是 ． 【答】 【分析】如图，连接 ，设 交于点 ，根据题意可得 是 的直径， ，设 ，证明 ，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出 ，根据 ，勾股定理求得 ，根据 即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，设 交于点 ， ∵ 是 的直径， 的直径， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 设 则 ， ， ， ， 中， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ，解得 ， ，故答为： ． 【点睛】本题考查了 圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性 质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6 的等边三角形B 内接于⊙，点D

专题32 圆中的重要模型之隐圆模型 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动， 或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定 长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、 旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、动点定长模型（圆的定义） 若P 为动点，且B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x 上，点的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M 是 中点， 连接 ．将 以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ） ．3 B． ． D．2 例2．（2023·广东清远·统考三模）如图，在 ， ，E 为 边上的任意一点，把 沿 折叠，得到 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ． 例3．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形 中， 、 分别是 ，

构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题 1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣1 3x 1 ﹣与x 轴，y 轴的交点分别为、B，以x= 1 ﹣为对称轴的抛物线 y=x2+bx+与x 轴分别交于点、，直线x= 1 ﹣与x 轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）在线段B 上是否存在一点P，使以，D，P 为顶点的三角形与△B 相似？若存在，求出点P 的坐标；如 果不存在，请说明理由； （3）若点Q 3﹣1）2=（+3）（﹣﹣1）， 解得1= 3 ﹣（舍去），2=﹣6 5， ∴点P 坐标为（﹣6 5，﹣3 5）； （3）存在，Q 最小值为 ❑ √37−❑ √5 2 ； 如图，取点F（﹣1，﹣1），过点DF 作圆，则点E（﹣2，﹣1 2）为圆心， t∠FD=2 ∠ ， ∴弧FD（、D 除外）上的点都是满足条件的Q 点， 则连E 交⊙E 于点Q，则Q 为满足条件的最小值， 此时E=❑ √( 1 2) 是抛物线对称轴上的一动点，连接D、D，设△D 外接圆的圆心为M，当s D ∠ 的值最大时，求点 M 的坐标． 【答】（1）抛物线解析式为y=﹣3 8x2+3 4 x+3；（2）y=﹣1 8m2+1 2m，PQ 与Q 的比值的最大值为1 2；（3） 点M 的坐标为（﹣1，❑ √3）或（﹣1，﹣❑ √3）． 【解析】（1）在y=﹣3 4 x+3 中，令y=0 得x=4，令x=0 得y=3，

专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理 以及它们推论的统一与归纳。可能是在19 世纪由德国数学家施泰纳（Steer）或者法国数学家普朗克雷 （Pelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1 相交弦模型 条件：在圆中，弦B 与弦D 交于点E，点E 交于点E，点E 在圆内。 结论： 。 例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点 ， ， ， 在 上， ， ．若 ， ，则 的长是 ． 例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6 的等边三角形B 内接于⊙，点D 为上的动点（点、除外）， BD 的延长线交⊙于点E，连接E．(1)求证 ；(2)当 时，求E 的长． 例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里 生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里 突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相 等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1， 的两弦 相交于点P．求证： ． 证明：如图1，连接 ． ∵ ， ．∴ ，（根据） ∴ @，∴ ， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

【变1-1】．对于平面图形，如果存在一个圆，使图形上的任意一点到圆心的距离都不大 于这个圆的半径，则称圆形被这个圆“覆盖”．例如图中的三角形被一个圆“覆盖”． 如果边长为1 的正六边形被一个半径长为R 的圆“覆盖”，那么R 的取值范围为 R ≥1 ． 例题精讲 解：∵正六边形的边长等于它的外接圆半径， ∴边长为1 的正六边形被一个半径长为R 的圆“覆盖”，那么R 的取值范围为：R≥1． 【变1-2】．在平面直角坐标系xy 中，对于点P（，b）和正实数k，给出如下定义：当 k2+b＞0 时，以点P 为圆心，k2+b 为半径的圆，称为点P 的“k 倍雅圆” 例如，在图1 中，点P（1，1）的“1 倍雅圆”是以点P 为圆心，2 为半径的圆． （1）在点P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1 倍雅圆”的点是 P 1 ．该点的“1 倍雅圆”的半径为 10 足∠M＝30°，试 判断直线与点M 的“2 倍雅圆”的位置关系，并证明； （3）如图3，已知点（0，3），B（﹣1，0），将直线B 绕点顺时针旋转45°得到直线 l． ①当点在直线l 上运动时，若始终存在点的“k 倍雅圆”，求k 的取值范围； ②点D 是直线B 上一点，点D 的“ 倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D 为圆心， 为半径的圆与直线l 有且只有1 个交点，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，

二次函数中的圆的综合问题 1、如图，抛物线y＝x2 2 ﹣x+m 的图象经过点P（4，5），与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左边），与y 轴交于点，且S△PB＝10． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点Q 使得△PQ 和△PBQ 的面积相等？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请 说明理由； （3）过、P、三点的圆与抛物线交于另一点D，求出D 点坐标及四边形PD 的周长． B×5，解得B=4，即可 求解；（2）分、B 在点Q（Q′）的同侧；点、B 在点Q 的两侧两种情况，分别求解即可；（3）过点P 作 P′ x ⊥轴于点′，则点′（4，0），则′＝P′＝5，而′＝5，故圆′是过、P、三点的圆，即可求解． 【详解】 解： （1）y＝x2 2 ﹣x+m，函数的对称轴为：x＝1， S△PB＝10＝ ×B×yP＝ B×5，解得：B＝4， 故点、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）， 或4（舍去4）， 故点Q（﹣ ，﹣ ）， 综上，点Q 的坐标为：（﹣2，5）或（﹣ ，﹣ ）； （3）过点P 作P′⊥x 轴于点′，则点′（4，0），则′＝P′＝5，而′＝5， 故圆′是过、P、三点的圆， 设点D（m，m2 2 ﹣m 3 ﹣），点′（4，0），则D′＝5， 即（m 4 ﹣）2+（m2 2 ﹣m 3 ﹣）2＝25， 化简得：m（m+1）（m 1 ﹣）（m 4 ﹣）＝0，

【变1-1】．对于平面图形，如果存在一个圆，使图形上的任意一点到圆心的距离都不大 于这个圆的半径，则称圆形被这个圆“覆盖”．例如图中的三角形被一个圆“覆盖”． 如果边长为1 的正六边形被一个半径长为R 的圆“覆盖”，那么R 的取值范围为 R ≥1 ． 例题精讲 解：∵正六边形的边长等于它的外接圆半径， ∴边长为1 的正六边形被一个半径长为R 的圆“覆盖”，那么R 的取值范围为：R≥1． 【变1-2】．在平面直角坐标系xy 中，对于点P（，b）和正实数k，给出如下定义：当 k2+b＞0 时，以点P 为圆心，k2+b 为半径的圆，称为点P 的“k 倍雅圆” 例如，在图1 中，点P（1，1）的“1 倍雅圆”是以点P 为圆心，2 为半径的圆． （1）在点P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1 倍雅圆”的点是 P 1 ．该点的“1 倍雅圆”的半径为 10 足∠M＝30°，试 判断直线与点M 的“2 倍雅圆”的位置关系，并证明； （3）如图3，已知点（0，3），B（﹣1，0），将直线B 绕点顺时针旋转45°得到直线 l． ①当点在直线l 上运动时，若始终存在点的“k 倍雅圆”，求k 的取值范围； ②点D 是直线B 上一点，点D 的“ 倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D 为圆心， 为半径的圆与直线l 有且只有1 个交点，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，

【变1-1】．对于平面图形，如果存在一个圆，使图形上的任意一点到圆心的距离都不大 于这个圆的半径，则称圆形被这个圆“覆盖”．例如图中的三角形被一个圆“覆盖”． 如果边长为1 的正六边形被一个半径长为R 的圆“覆盖”，那么R 的取值范围为 ． 例题精讲 【变1-2】．在平面直角坐标系xy 中，对于点P（，b）和正实数k，给出如下定义：当 k2+b＞0 时，以点P 为圆心，k2+b 为半径的圆，称为点P 的“k 的“k 倍雅圆” 例如，在图1 中，点P（1，1）的“1 倍雅圆”是以点P 为圆心，2 为半径的圆． （1）在点P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1 倍雅圆”的点是 ．该点的“1 倍雅圆”的半径为 ． （2）如图2，点M 是y 轴正半轴上的一个动点，点在第一象限内，且满足∠M＝30°，试 判断直线与点M 的“2 倍雅圆”的位置关系，并证明； （3）如图3，已知点（0，3），B（﹣1，0），将直线B 上运动时，若始终存在点的“k 倍雅圆”，求k 的取值范围； ②点D 是直线B 上一点，点D 的“ 倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D 为圆心， 为半径的圆与直线l 有且只有1 个交点，若存在，求出点D 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【例2】．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直 线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点，B，，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D

阿氏圆中的双线段模型与最值问题 【专题说明】 “阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PB P ∽△推出 P2  ，即：半径的平方=原 有线段 构造线段。 【模型展示】 如下图，已知、B 两点，点P 满足P：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆． A B P O （1）角平分线定理：如图，在△B 中，D 是∠B 的角平分线，则 ． F E E D C B A 证明： ， ，即 （2）外角平分线定理：如图，在△B 中，外角E 的角平分线D 交B 的延长线于点D，则 ． A B C D E 证明：在B 延长线上取点E 使得E=，连接BD，则△DED △ （SS），D=ED 且D 平分∠BDE，则 ，即 ． 接下来开始证明步骤： N M A B P O 如图，P：PB=k，作∠PB 的角平分线交B 于M 点，根据角平分线定理， 的角平分线交B 于定点； 作∠PB 外角平分线交直线B 于点，根据外角平分线定理， ，故点为定点，即∠PB 外角平分线 交直线B 于定点； 又∠MP=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以M 为直径的圆． O P B A M N 【精典例题】 1、如图，抛物线 与 轴交于 ， ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，且 ， 的平分线 交 轴于点 ，过点 且垂直于 的直线交 轴 于点