专题74 圆中的新定义问题（原卷版）(1)

【例1】．如图，△B 是正三角形，曲线DEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧D、弧 DE、弧EF 的圆心依次按、B、…循环，它们依次相连接．若B＝1，则曲线DEF 的长是 ． 变式训练 【变1-1】．对于平面图形，如果存在一个圆，使图形上的任意一点到圆心的距离都不大 于这个圆的半径，则称圆形被这个圆“覆盖”．例如图中的三角形被一个圆“覆盖”． 如果边长为1 的正六边形被一个半径长为R 的圆“覆盖”，那么R 的取值范围为 ． 例题精讲 【变1-2】．在平面直角坐标系xy 中，对于点P（，b）和正实数k，给出如下定义：当 k2+b＞0 时，以点P 为圆心，k2+b 为半径的圆，称为点P 的“k 倍雅圆” 例如，在图1 中，点P（1，1）的“1 倍雅圆”是以点P 为圆心，2 为半径的圆． （1）在点P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1 倍雅圆”的点是 ．该点的“1 倍雅圆”的半径为 ． （2）如图2，点M 是y 轴正半轴上的一个动点，点在第一象限内，且满足∠M＝30°，试 判断直线与点M 的“2 倍雅圆”的位置关系，并证明； （3）如图3，已知点（0，3），B（﹣1，0），将直线B 绕点顺时针旋转45°得到直线 l． ①当点在直线l 上运动时，若始终存在点的“k 倍雅圆”，求k 的取值范围； ②点D 是直线B 上一点，点D 的“ 倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D 为圆心， 为半径的圆与直线l 有且只有1 个交点，若存在，求出点D 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【例2】．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直 线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点，B，，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为（0，﹣3），B 为半圆的直径，半 圆圆心M 的坐标为（1，0），半圆半径为2．开动脑筋想一想，经过点D 的“蛋圆”切 线的解析式为___________ 变式训练 【变2-1】．已知定点P（，b），且动点Q（x，y）到点P 的距离等于定长r，根据平面内 两点间距离公式可得（x﹣）2+（y﹣b）2＝r2，这就是到定点P 的距离等于定长r 圆的方 程．已知一次函数的y＝﹣2x+10 的图象交y 轴于点，交x 轴于点B，是线段B 上的一个 动点，则当以为半径的⊙的面积最小时，⊙的方程为 ． 【变2-2】． 【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线 所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠PB 是点P 对线段B 的视角． 【应用】 （1）如图②，在直角坐标系中，已知点（2， ），B（2，2 ），（3， ），则 原点对三角形B 的视角为 ； （2）如图③，在直角坐标系中，以原点，半径为2 画圆1，以原点，半径为4 画圆2， 证明：圆2上任意一点P 对圆1的视角是定值； 【拓展应用】 （3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔 直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置 拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x ＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标． 1．如图，六边形BDEF 是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”， 其中 ， ， ， ， ， ，…的圆心依次按点，B，，D，E， F 循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．当B＝1 时，l2011等于（ ） ． B． ． D． 2．已知线段B，⊙M 经过、B 两点，若90°≤∠MB≤120°，则称点M 是线段B 的“好心”； ⊙M 上的点称作线段B 的“闪光点”．已知（2，0），B（6，0）． ①点M（4，2）是线段B 的“好心”； ②若反比例函数y＝ 上存在线段B 的“好心”，则 ≤k≤8； ③线段B 的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④若直线y＝x+b 上存在线段B 的“闪光点”，则﹣10≤b≤2． 上述说法中正确的有（ ） ．①②③④ B．①③④ ．①③ D．①② 3．我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车做向前的直线运动，又以车轴为 圆心做圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出 了一道道优美的弧线．其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产 生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨 迹是一段段的抛物线．你认为呢？摆线（yld）：当一个圆沿一条定直线做无滑动的滚动 时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线．定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点称 为摆点： 现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币做无 滑动的滚动，那么： （1）当右侧硬币上接触点的运动轨迹大致是什么形状？ （2）当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图向还是向下？ （3）当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？（ ） ．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；1 圈 B．一条摆线；向上；1 圈 ．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2 圈 D．一条摆线；向下；2 圈 4．定义：如果P 是圆所在平面内的一点，Q 是射线P 上一点，且线段P、Q 的比例中项等 于圆的半径，那么我们称点P 与点Q 为这个圆的一对反演点．已知点M、为圆的一对反 演点，且点M、到圆心的距离分别为4 和9，那么圆上任意一点到点M、的距离之比 ＝ ． 5．如图，在△B 中，D，E 分别是△B 两边的中点，如果 （可以是劣弧、优弧或半圆）上 的所有点都在△B 的内部或边上，则称 为△B 的中内弧，例如，图中 是△B 其中的某 一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F（0，4），（0，0），（4，0），在△F 中，M，分别是F，F 的中点，△F 的中内弧 所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围 是 ． 6．如图（1），△B 是正三角形，曲线D1B11…叫做“正三角形B 的渐开线”，其中 ，…依次连接，它们的圆心依次按，B，循环．则曲线1B11叫做正 △B 的1 重渐开线，曲线1B112B22叫做正△B 的2 重渐开线，…，曲线1B112…B∁叫做正△B 的重渐开线．如图（2），四边形BD 是正方形，曲线1B11D1…叫做“正方形BD 的渐开 线”，其中 …依次连接，它们的圆心依次按，B，，D 循 环．则曲线D1B11D1叫做正方形BD 的1 重渐开线，…，曲线D1B11D12…B∁D 叫做正方形 BD 的重渐开线．依次下去，可得正形的重渐开线（≥3）． 若B＝1，则正方形的2 重渐开线的长为18π；若正边形的边长为1，则该正边形的重渐 开线的长为 ． 7．一个玻璃球体近似半圆，B 为直径．半圆上点处有个吊灯EF，EF∥B，⊥B，EF 的中点 为D，＝4． （1）如图①，M 为一条拉线，M 在B 上，M＝16，DF＝08，求D 的长度． （2）如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，M 为B 上一点，M 为入射光线，为反射 光线，∠M＝∠＝45°，t∠＝ ，求的长度． （3）如图③，M 是线段B 上的动点，M 为入射光线，∠M＝50°，为反射光线交圆于点， 在M 从运动到B 的过程中，求点的运动路径长． 8．我们不妨定义：有两边之比为1： 的三角形叫敬“勤业三角形”． （1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是 ；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三 角形． （2）如图1，△B 是⊙的内接三角形，为直径，D 为B 上一点，且BD＝2D，作DE⊥， 交线段于点F，交⊙于点E，连接BE 交于点G．试判断△ED 和△BE 是否是“勤业三角 形”？如果是，请给出证明，并求出 的值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当F：FG＝2：3 时，求∠BED 的余弦值． 9．对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称 点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋 转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点． （1）已知点（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2， ），Q3（﹣2， ），Q4（ ，﹣2 ）中，是点关于点的锐角旋转点的是 ． （2）已知点B（5，0），点在直线y＝2x+b 上，若点是点B 关于点的锐角旋转点，求实 数b 的取值范围． （3）点D 是x 轴上的动点，D（t，0），E（t 3 ﹣，0），点F（m，）是以D 为圆心，3 为半径的圆上一个动点，且满足≥0．若直线y＝2x+6 上存在点F 关于点E 的锐角旋转点， 请直接写出t 的取值范围． 10．在平面直角坐标系xy 中，正方形BD 的顶点分别为（0，1），B（﹣1，0），（0，﹣ 1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为正方形 BD 边上任意一点，如果P，Q 两点间 的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d（M）． 已知点E（3，0）． ①直接写出d（点E）的值； ②过点E 画直线y＝kx 3 ﹣k 与y 轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k 的取值 范围； ③设T 是直线y＝﹣x+3 上的一点，以T 为圆心， 长为半径作⊙T．若d（⊙T）满足d （⊙T）＞ + ，直接写出圆心T 的横坐标x 的取值范围． 11．【概念认识】 与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与 矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆． 【初步理解】 （1）如图①～③，四边形BD 是矩形，⊙1和⊙2都与边D 相切，⊙2与边B 相切，⊙1和 ⊙3都经过点B，⊙3经过点D，3 个圆都经过点．在这3 个圆中，是矩形BD 的第Ⅰ类圆 的是 ，是矩形BD 的第Ⅱ类圆的是 ． 【计算求解】 （2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4 和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的 半径长． 【深入研究】 （3）如图④，已知矩形BD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文 字说明） ①作它的1 个第Ⅰ类圆； ②作它的1 个第Ⅱ类圆． 12．在平面直角坐标系xy 中，⊙的半径为1，已知点，过点作直线M．对于点和直线M， 给出如下定义：若将直线M 绕点顺时针旋转，直线M 与⊙有两个交点时，则称M 是⊙ 的“双关联直线”，与⊙有一个交点P 时，则称M 是⊙的“单关联直线”，P 是⊙的 “单关联线段”． （1）如图1，（0，4），当M 与y 轴重合时，设M 与⊙交于，D 两点．则M 是⊙的“ 关联直线”（填“双”或“单”）； 的值为 ； （2）如图2，点为直线y＝﹣3x+4 上一动点，P 是⊙的“单关联线段”． ①求的最小值； ②直接写出△P 面积的最小值． 13．在平面直角坐标系xy 中，⊙的半径为1，为任意一点，B 为⊙上任意一点．给出如下定 义：记，B 两点间的距离的最小值为p（规定：点在⊙上时，p＝0），最大值为q，那么 把 的值称为点与⊙的“关联距离”，记作d（，⊙）． （1）如图，点D，E，F 的横、纵坐标都是整数． ①d（D，⊙）＝ ； ②若点M 在线段EF 上，求d（M，⊙）的取值范围； （2）若点在直线y＝ 上，直接写出d（，⊙）的取值范围； （3）正方形的边长为m，若点P 在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙）的最小值 为1，最大值为 ，直接写出m 的最小值和最大值． 14．如图，在平面直角坐标系xy 中，点与点B 的坐标分别是（1，0），（7，0）． （1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠PB＝45°，那么称点P 为线段B 的“完美点”． ①设、B、P 三点所在圆的圆心为，则点的坐标是 ，⊙的半径是 ； ②y 轴正半轴上是否有线段B 的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没 有，请说明理由； （2）若点P 在y 轴负半轴上运动，则当∠PB 的度数最大时，点P 的坐标为 ． 15．定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个 三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边． （1）如图1，△B 中，B＝B，∠＝30°，点在边上，以为半径的⊙恰好经过点B，求证： ⊙是△B 的切圆． （2）如图2，△B 中，B＝＝5，B＝6，⊙是△B 的切圆，且另外两条边都是⊙的切边，求 ⊙的半径． （3）如图3，△B 中，以B 为直径的⊙恰好是△B 的切圆，是⊙的切边，⊙与B 交于点F， 取弧BF 的中点D，连接D 交B 于点E，过点E 作E⊥B 于点，若F＝8，BF＝10，求和 E 的长． 16．在平面直角坐标系xy 中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l 与某个圆相 交，则两个交点之间的距离称为直线l 关于该圆的“圆截距”． （1）如图1，⊙的半径为1，当k＝1，b＝1 时，直接写出直线l 关于⊙的“圆截距”； （2）点M 的坐标为（1，0）， ①如图2，若⊙M 的半径为1，当b＝1 时，直线l 关于⊙M 的“圆截距”小于 ，求 k 的取值范围； ②如图3，若⊙M 的半径为2，当k 的取值在实数范围内变化时，直线l 关于⊙M 的“圆 截距”的最小值2，直接写出b 的值． 17．对于⊙与⊙上一点，若平面内的点P 满足：射线P 与⊙交于点Q，且P＝2Q，则称点P 为点关于⊙的“倍距点”．已知平面直角坐标系xy 中，点的坐标是（﹣ ，0）． （1）如图1，点为坐标原点，⊙的半径是 ，点P 是点关于⊙的“倍距点”． ①若点P 在x 轴正半轴上，直接写出点P 的坐标是 ； ②若点P 在第一象限，且∠P＝30°，求点P 的坐标； （2）设点T（t，0），以点T 为圆心，T 长为半径作⊙T，一次函数y＝ x+4 的图象分 别与x 轴、y 轴交于D、E，若一次函数y＝ x+4 的图象上存在唯一一点P，使点P 是 点关于⊙T 的“倍距点”，求t 的值． 18．类比学习： 我们已经知道，顶点在圆上，且角的两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图1，∠PB 就 是圆周角，弧B 是∠PB 所夹的弧． 类似的，我们可以把顶点在圆外，且角的两边都和圆相交的角叫做圆外角，如图2， ∠PB 就是圆外角，弧B 和弧D 是∠PB 所夹的弧， 新知探索： 图（2）中，弧B 和弧D 度数分别为80°和30°，∠PB＝ °， 归纳总结： （1）圆周角的度数等于它所夹的弧的度数的一半； （2）圆外角的度数等于 ． 新知应用： 直线y＝﹣x+m 与直线y＝ x+2 相交于y 轴上的点，与x 轴分别交于点、B．经过、 B、三点作⊙E，点P 是第一象限内⊙E 外的一动点，且点P 与圆心E 在直线的同一侧， 直线P、P 分别交⊙E 于点M、， 设∠P＝θ． ①求点坐标； ②求⊙E 的直径； ③连接M，求线段M 的长度（可用含θ 的三角函数式表示）． 19．（1）【基础巩固】如图1，△B 内接于⊙，若∠＝60°，弦B＝2 ，则半径r＝ ； （2）【问题探究】如图2，四边形BD 内接于⊙，若∠D＝60°，D＝D，点B 为弧上一动 点（不与点，点重合）． 求证：B+B＝BD； （3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段D、B、B）和一条道路劣弧 围成，已知M＝DM＝ 千米，∠DM＝60°， 的半径为1 千米，市政府准备将这块空 地规划为一个公，主入口在点M 处，另外三个入口分别在点、D、P 处，其中点P 在 上，并在公中修四条慢跑道，即图中的线段DM、M、P、PD，是否存在一种规划方， 使得四条慢跑道总长度（即四边形DMP 的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存 在，说明理由． 20，B 是⊙上的两个点，点P 在⊙的内部．若∠PB 为直角，则称∠PB 为B 关于⊙的内直角， 特别地，当圆心在∠PB 边（含顶点）上时，称∠PB 为B 关于⊙的最佳内直角．如图1， ∠MB 是B 关于⊙的内直角，∠B 是B 关于⊙的最佳内直角．在平面直角坐标系xy 中． （1）如图2，⊙的半径为5，（0，﹣5），B（4，3）是⊙上两点． ①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠P1B，∠P2B，∠P3B 中，是B 关于 ⊙的内直角的是 ； ②若在直线y＝2x+b 上存在一点P，使得∠PB 是B 关于⊙的内直角，求b 的取值范围． （2）点E 是以T（t，0）为圆心，4 为半径的圆上一个动点，⊙T 与x 轴交于点D（点D 在点T 的右边）．现有点M（1，0），（0，），对于线段M 上每一点，都存在点T， 使∠DE 是DE 关于⊙T 的最佳内直角，请直接写出的最大值，以及取得最大值时t 的取值 范围．