27 阿氏圆中的双线段模型与最值问题

阿氏圆中的双线段模型与最值问题 【专题说明】 “阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PB P ∽△推出 P2  ，即：半径的平方=原 有线段 构造线段。 【模型展示】 如下图，已知、B 两点，点P 满足P：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆． A B P O （1）角平分线定理：如图，在△B 中，D 是∠B 的角平分线，则 ． F E D C B A 证明： ， ，即 （2）外角平分线定理：如图，在△B 中，外角E 的角平分线D 交B 的延长线于点D，则 ． A B C D E 证明：在B 延长线上取点E 使得E=，连接BD，则△DED △ （SS），D=ED 且D 平分∠BDE，则 ，即 ． 接下来开始证明步骤： N M A B P O 如图，P：PB=k，作∠PB 的角平分线交B 于M 点，根据角平分线定理， ，故M 点为定点， 即∠PB 的角平分线交B 于定点； 作∠PB 外角平分线交直线B 于点，根据外角平分线定理， ，故点为定点，即∠PB 外角平分线 交直线B 于定点； 又∠MP=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以M 为直径的圆． O P B A M N 【精典例题】 1、如图，抛物线 与 轴交于 ， ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，且 ， 的平分线 交 轴于点 ，过点 且垂直于 的直线交 轴 于点 ，点 是 轴下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）设点 的横坐标为 ，当 时，求 的值； （3）当直线 为抛物线的对称轴时，以点 为圆心， 为半径作 ，点 为 上的一个动点， 求 的最小值． 【答】（1）y x2 x 3 ﹣；（2） ；（3） ． 【详解】 （1）由题意（ ，0），B（﹣3 ，0），（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝（x+3 ）（x ），把（0，﹣3）代入得到 ，∴抛物线的解析式为y x2 x 3 ﹣． （2）在Rt△中，t∠ ，∴∠＝60°． ∵D 平分∠，∴∠D＝30°，∴D＝•t30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线D 的解析式为y x 1 ﹣，由题意P （m， m2 m 3 ﹣），（m， m 1 ﹣），F（m，0）． ∵F＝P，∴1 m 1 ﹣﹣（ m2 m 3 ﹣） 解得m 或 （舍弃），∴当F＝P 时，m 的值为 ． （3）如图，∵PF 是对称轴，∴F（ ，0），（ ，﹣2）． ∵⊥E，∴∠E＝60°，∴E ＝3，∴E（0，3）． ∵（0，﹣3），∴ 2，＝2F＝4，∴Q ＝1，在上取一点K，使得K ，此时K（ ）． ∵Q2＝1，K•＝1，∴Q2＝K•，∴ ． ∵∠QK＝∠Q，∴△QK∽△Q，∴ ，∴KQ Q，∴ Q+QE＝KQ+EQ，∴当E、 Q、K 共线时， Q+QE 的值最小，最小值 ． 2、如图1 所示，⊙ 的半径为 r,点 、B 都在⊙ 外，P 为⊙ 上的动点， 已知 r=k·B 连接 P、PB， 则当“P+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 1:连接动点至圆心0（将系数不为1 的线段两端点分别与圆心相连接），即连接P、B； 2：计算连接线段P、B 长度； 3：计算两线段长度的比值 ； 4：在B 上截取一点，使得 构建母子型相似: 5：连接，与圆0 交点为P，即线段长为P+K*PB 的最小值。 本题的关键在于如何确定“k·PB”的 大 小 ，（如图 2）在线段 B 上截取 使 =k·r,则可说明△BP 与△P 相似，即 k·PB=P。 ∴本题求“P+k·PB”的最小值转化为求“P+P”的最小值，即 、P、 三点共线时最小（如图 3），时线段长即 所求最小值。 3、如图，在 中，∠B=90°，B=12，=9，以点为圆心，6 为半径的圆上有一个动点D．连接D、BD、 D，则2D+3BD 的最小值是 ． A B C D 【分析】首先对问题作变式2D+3BD= ，故求 最小值即可． 考虑到D 点轨迹是圆，是定点，且要求构造 ，条件已经足够明显． 当D 点运动到边时，D=3，此时在线段D 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在 ． ABC  M A B C D D C B A M 问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM，BM 长度的3 倍即为本题答． D C B A M 4、如图，已知正方BD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则 的最大值 为_______． A B C D P 【分析】当P 点运动到B 边上时，此时P=2，根据题意要求构造 ，在B 上取M 使得此时PM=1，则在 点P 运动的任意时刻，均有PM= ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值． A B C D P M M P D C B A 连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值． A B C D P M M P D C B A