专题74 圆中的新定义问题（解析版）

【例1】．如图，△B 是正三角形，曲线DEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧D、弧 DE、弧EF 的圆心依次按、B、…循环，它们依次相连接．若B＝1，则曲线DEF 的长是 4 π ． 解：∵△B 是正三角形， ∴∠D＝∠DBE＝∠EF＝120°， 又∵B＝1， ∴＝1，BD＝2，E＝3， ∴D 弧的长度＝ ＝ ； DE 弧的长度＝ ＝ ； EF 弧的长度＝ ＝2π； 所以曲线DEF 的长为 + +2π＝4π． 故答为：4π． 变式训练 【变1-1】．对于平面图形，如果存在一个圆，使图形上的任意一点到圆心的距离都不大 于这个圆的半径，则称圆形被这个圆“覆盖”．例如图中的三角形被一个圆“覆盖”． 如果边长为1 的正六边形被一个半径长为R 的圆“覆盖”，那么R 的取值范围为 R ≥1 ． 例题精讲 解：∵正六边形的边长等于它的外接圆半径， ∴边长为1 的正六边形被一个半径长为R 的圆“覆盖”，那么R 的取值范围为：R≥1． 故答为：R≥1． 【变1-2】．在平面直角坐标系xy 中，对于点P（，b）和正实数k，给出如下定义：当 k2+b＞0 时，以点P 为圆心，k2+b 为半径的圆，称为点P 的“k 倍雅圆” 例如，在图1 中，点P（1，1）的“1 倍雅圆”是以点P 为圆心，2 为半径的圆． （1）在点P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1 倍雅圆”的点是 P 1 ．该点的“1 倍雅圆”的半径为 10 ． （2）如图2，点M 是y 轴正半轴上的一个动点，点在第一象限内，且满足∠M＝30°，试 判断直线与点M 的“2 倍雅圆”的位置关系，并证明； （3）如图3，已知点（0，3），B（﹣1，0），将直线B 绕点顺时针旋转45°得到直线 l． ①当点在直线l 上运动时，若始终存在点的“k 倍雅圆”，求k 的取值范围； ②点D 是直线B 上一点，点D 的“ 倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D 为圆心， 为半径的圆与直线l 有且只有1 个交点，若存在，求出点D 的坐标；若不存在， 请说明理由． 解：（1）对于P1（3，1），圆的半径为k2+b＝1×32+1＝10＞0，故符合题意； 对于P2（1，﹣2），圆的半径为k2+b＝1×12 2 ﹣＝﹣1＜0，故不符合题意； 故答为P1，10； （2）如图1，过点M 作MQ⊥于点Q， 则点M（0，m）（m＞0），则圆的半径r＝2×0+m＝m， 则Rt△MQ 中，∠MQ＝∠M＝30°， ∴MQ＝ M＝ m＜m， ∴直线与点M 的“2 倍雅圆”的位置关系为相交； （3）①过点B 作BE⊥直线l 于点E，过点E 作x 轴的垂线交x 轴于点G，交过点与x 轴 的平行线于点F， 设点E（x，y）， 将直线B 绕点顺时针旋转45°得到直线l，则∠EB＝45°，故E＝EB， ∵∠FE+∠FE＝90°，∠GEB+∠FE＝90°， ∴∠FE＝∠GEB， ∵∠FE＝∠EGB＝90°，E＝EB， ∴△FE≌△EGB（S）， ∴EF＝BG，EG＝F，即3﹣y＝﹣1﹣x，y＝﹣x， 解得：x＝﹣2，y＝2，故点E（﹣2，2）； 设直线l 的表达式为y＝kx+b，则 ，解得 ， 故直线l 的表达式为y＝ x+3， 设点（x， x+3）， ∵始终存在点的“k 倍雅圆”时，则圆的半径r＝kx2+ x+3＞0 恒成立， ∴k＞0 且Δ＜0 成立，即k＞0 且△＝（ ）2 4×3 ﹣ k＜0， 解得：k＞ ； ②存在，理由： 如图2，过点D 作D⊥l 于点， 由点、B 的坐标同理可得，直线B 的表达式为y＝3x+3， 设点D（x，3x+3）， 由点、D 的坐标得，D＝ ＝ |x|，则D＝ D＝ |x|， 则R＝k2+b＝ x2+3x+3＝ （x+2）2，则 ＝ |x+2|， 假设存在以点D 为圆心， 为半径的圆与直线l 有且只有1 个交点， 则D＝ ＝ |x+2|＝ |x|， 解得：x＝﹣1， 故点D 的坐标为：（﹣1，0）． 【例2】．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直 线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点，B，，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为（0，﹣3），B 为半圆的直径，半 圆圆心M 的坐标为（1，0），半圆半径为2．开动脑筋想一想，经过点D 的“蛋圆”切 线的解析式为___________ 解：因为经过点D 的“蛋圆”切线过D（0，﹣3）点，所以设它的解析式为y＝kx 3 ﹣， ∵B 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为（1，0），半圆半径为2， ∴（﹣1，0），B（3，0）， ∵抛物线过点、B， ∴设抛物线的解析式为y＝（x+1）（x 3 ﹣）， 又∵抛物线过点D（0，﹣3）， 3 ∴﹣＝•1•（﹣3），即＝1， ∴y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣． 又∵抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣与直线y＝kx 3 ﹣相切， ∴x2 2 ﹣x 3 ﹣＝kx 3 ﹣，即x2﹣（2+k）x＝0 只有一个解， ∴△＝（2+k）2 4×0 ﹣ ＝0， ∴k＝﹣2 即经过点D 的“蛋圆”切线的解析式为y＝﹣2x 3 ﹣． 变式训练 【变2-1】．已知定点P（，b），且动点Q（x，y）到点P 的距离等于定长r，根据平面内 两点间距离公式可得（x﹣）2+（y﹣b）2＝r2，这就是到定点P 的距离等于定长r 圆的方 程．已知一次函数的y＝﹣2x+10 的图象交y 轴于点，交x 轴于点B，是线段B 上的一个 动点，则当以为半径的⊙的面积最小时，⊙的方程为 （ x 4 ﹣ ） 2 + （ y 2 ﹣ ） 2 ＝（ 2 ） 2 ． 解：∵一次函数的y＝﹣2x+10 的图象交y 轴于点，交x 轴于点B， ∴（0，10），B（5，0）， ∴＝10，B＝5， ∴B＝ ＝ ＝5 ， ∵以为半径的⊙的面积最小， ∴⊥B， ∵S△B＝ B•＝ •B， ∴＝ ＝ ＝2 ， 设（t，﹣2t+10）， 则2＝t2+（﹣2t+10）2＝（2 ）2， 解得：t1＝t2＝4， ∴（4，2）， ∴以为半径的⊙的⊙的方程为（x 4 ﹣）2+（y 2 ﹣）2＝（2 ）2， 故答为：（x 4 ﹣）2+（y 2 ﹣）2＝（2 ）2． 【变2-2】． 【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线 所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠PB 是点P 对线段B 的视角． 【应用】 （1）如图②，在直角坐标系中，已知点（2， ），B（2，2 ），（3， ），则 原点对三角形B 的视角为 30° ； （2）如图③，在直角坐标系中，以原点，半径为2 画圆1，以原点，半径为4 画圆2， 证明：圆2上任意一点P 对圆1的视角是定值； 【拓展应用】 （3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔 直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置 拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x ＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标． 解：（1）延长B 交x 轴于点D，过点作E⊥x 轴于点E， ∵点 ， ， ， ∴B∥y 轴， ，E＝3， ∴B⊥x 轴， ∴ ，D＝2， ∴ ， ， ∴∠BD＝60°，∠E＝30°， ∴∠B＝∠BD﹣∠E＝30°， 即原点对三角形B 的视角为30°过答为：30°（2）证明：如图，过圆2上任一点P 作圆1 的两条切线交圆1于，B，连接，B，P，则有⊥P，B⊥PB， 在中，＝2，P＝4， ∴ ， ∴∠P＝30°， 同理可求得：∠PB＝30°， ∴∠PB＝60°， 即圆2上任意一点P 对圆1的视角是60°， ∴圆2上任意一点P 对圆1的视角是定值． （3）当在直线B 与直线D 之间时，视角是∠PD，此时以E（﹣4，0）为圆心，E 半径 画圆，交直线于P3，P6， ∵∠DP3B＞∠DP3＝45°，∠P6＞∠DP6＝45°， 不符合视角的定义，P3，P6舍去． 同理，当在直线B 上方时，视角是∠BPD， 此时以（﹣2，2）为圆心，B 半径画圆，交直线于P1，P5，P5不满足； 过点P1作P1M⊥D 交D 延长线于点M，则P1＝4，P1M＝5 2 ﹣＝3， ∴ ， ∴ 当在直线D 下方时，视角是∠P， 此时以D（﹣2，﹣2）为圆心，D 半径画圆，交直线于P2，P4，P4不满足； 同理得： ； 综上所述，直线上满足条件的位置坐标 或 ． 1．如图，六边形BDEF 是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”， 其中 ， ， ， ， ， ，…的圆心依次按点，B，，D，E， F 循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．当B＝1 时，l2011等于（ ） ． B． ． D． 解：l1＝ ＝ l2＝ ＝ l3＝ ＝ l4＝ ＝ 按照这种规律可以得到： l＝ ∴l2011＝ ． 故选：B． 2．已知线段B，⊙M 经过、B 两点，若90°≤∠MB≤120°，则称点M 是线段B 的“好心”； ⊙M 上的点称作线段B 的“闪光点”．已知（2，0），B（6，0）． ①点M（4，2）是线段B 的“好心”； ②若反比例函数y＝ 上存在线段B 的“好心”，则 ≤k≤8； ③线段B 的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④若直线y＝x+b 上存在线段B 的“闪光点”，则﹣10≤b≤2． 上述说法中正确的有（ ） ．①②③④ B．①③④ ．①③ D．①② 解：①如图1， ∵（2，0），B（6，0），点M（4，2）， ∴M＝BM，＝M＝B＝2，∠M＝90°， ∴圆M 经过、B 两点，且∠MB＝90°， ∴点M（4，2）是线段B 的“好心”， 故①正确； ②若反比例函数y＝ 上存在线段B 的“好心”， 90°≤ ∴ ∠MB≤120°， ）点M 在x 轴上方时，当∠MB＝90°时，如图1，此时点M（4，2），即M 在反比例函 数y＝ 图象上， ∴k＝2×4＝8； 当∠MB＝120°时，如图2，过点M 作M⊥B 于， ∵M＝MB， ∴∠BM＝30°， ∵＝2， ∴M＝ ＝ ， ∴M（4， ）， ∵M 在反比例函数y＝ 图象上， ∴k＝4× ＝ ， ∴ ≤k≤8； ）点M 在x 轴的下方时，同理可得﹣8≤k≤﹣ ， 故②不正确； ③线段B 的闪光点组成的图形如图3 所示： 所以线段B 的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 故③正确； ④当直线y＝x+b 与上述两个大圆相切时属于临界状态，在两条切线范围内存在“闪光 点”，如图4， 设直线y＝kx+b 与圆M 相切于点P，则MP 与之垂直，且线段BM 是直径， ∵B（6，0），M（4，2）， ∴P（2，4）， 代入y＝x+b 得，2+b＝4， ∴b＝2； 设直线y＝kx+b 与圆M′相切于点，则M′与之垂直，且线段是直径， ∵（2，0），M′（4，﹣2）， ∴P（6，﹣4）， 代入y＝x+b′得，6+b′＝﹣4， ∴b′＝﹣10； 综上可知，b 的取值范围是﹣10≤b≤2， 故④正确； 所以上述说法中正确的有①③④． 故选：B． 3．我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车做向前的直线运动，又以车轴为 圆心做圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出 了一道道优美的弧线．其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产 生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨 迹是一段段的抛物线．你认为呢？摆线（yld）：当一个圆沿一条定直线做无滑动的滚动 时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线．定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点称 为摆点： 现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币做无 滑动的滚动，那么： （1）当右侧硬币上接触点的运动轨迹大致是什么形状？ （2）当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图向还是向下？ （3）当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？（ ） ．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；1 圈 B．一条摆线；向上；1 圈 ．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2 圈 D．一条摆线；向下；2 圈 解：（1）根据题意中的表述，可知其运动轨迹是一条围绕于硬币的封闭曲线； （2）当右侧硬币转到左侧时，硬币自身转动了1 圈，故硬币面上的图向上； （3）分析可得：当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动2 圈． 故选：． 4．定义：如果P 是圆所在平面内的一点，Q 是射线P 上一点，且线段P、Q 的比例中项等 于圆的半径，那么我们称点P 与点Q 为这个圆的一对反演点．已知点M、为圆的一对反 演点，且点M、到圆心的距离分别为4 和9，那么圆上任意一点到点M、的距离之比 ＝ ． 解：由题意⊙的半径r2＝4×9＝36， ∵r＞0， ∴r＝6， 当点在的延长线上时，M＝6+4＝10，＝6+9＝15， ∴ ＝ ＝ ， 当点″是与⊙的交点时，″M＝2，″＝3， ∴ ＝ ， 当点′是⊙上异与，″两点时，易证△′M ′ ∽△， ∴ ＝ ＝ ＝ ， 综上所述， ＝ ． 故答为： ． 5．如图，在△B 中，D，E 分别是△B 两边的中点，如果 （可以是劣弧、优弧或半圆）上 的所有点都在△B 的内部或边上，则称 为△B 的中内弧，例如，图中 是△B 其中的某 一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F（0，4），（0，0），（4，0），在△F 中，M，分别是F，F 的中点，△F 的中内弧 所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围 是 m ≤1 或 m ≥2 ． 解：如图，连接M， 由垂径定理可知，圆心P 一定在线段M 的垂直平分线上， 作M 的垂直平分线QP， ∵M，分别是F，F 的中点，且F（0，4），（0，0），（4，0）， ∴M（0，2），（2，2），Q（1，2）， 若圆心在线段M 上方时， 设P（1，m）由三角形中内弧定义可知，圆心P 在线段M 上方射线QP 上均可， ∴m≥2， 当圆心在线段M 下方时， ∵F＝，∠F＝90° ∴∠F＝45°， ∵M∥， ∴∠FM＝∠F＝45°， 作G⊥F 交直线QP 于G，QG＝Q＝1， 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G）的直线QP 上时也符合要 求； ∴m≤1， 综上所述，m≤1 或m≥2， 故答为m≤1 或m≥2． 6．如图（1），△B 是正三角形，曲线D1B11…叫做“正三角形B 的渐开线”，其中 ，…依次连接，它们的圆心依次按，B，循环．则曲线1B11叫做正 △B 的1 重渐开线，曲线1B112B22叫做正△B 的2 重渐开线，…，曲线1B112…B∁叫做正△B 的重渐开线．如图（2），四边形BD 是正方形，曲线1B11D1…叫做“正方形BD 的渐开 线”，其中 …依次连接，它们的圆心依次按，B，，D 循 环．则曲线D1B11D1叫做正方形BD 的1 重渐开线，…，曲线D1B11D12…B∁D 叫做正方形 BD 的重渐开线．依次下去，可得正形的重渐开线（≥3）． 若B＝1，则正方形的2 重渐开线的长为18π；若正边形的边长为1，则该正边形的重渐 开线的长为 （ 2 +1 ） π ． 解：若正边形的边长为1， 则该正边形的第一重渐开线长＝ ，二重＝ + ， 第重渐开线的长 + +…+ ， 这是四边形，如果是边形， 则内角和是（﹣2）×180÷， 所以正边形的边长为1， 则该正边形的重渐开线的长为2π/（1+2+…+）+2π/[（+1）+（+2）+…+（+）]+… +2π/{[（﹣1）+1]+[（﹣1）+2]+…+[（﹣1）+]＝（2+1）π． 7．一个玻璃球体近似半圆，B 为直径．半圆上点处有个吊灯EF，EF∥B，⊥B，EF 的中点 为D，＝4． （1）如图①，M 为一条拉线，M 在B 上，M＝16，DF＝08，求D 的长度． （2）如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，M 为B 上一点，M 为入射光线，为反射 光线，∠M＝∠＝45°，t∠＝ ，求的长度． （3）如图③，M 是线段B 上的动点，M 为入射光线，∠M＝50°，为反射光线交圆于点， 在M 从运动到B 的过程中，求点的运动路径长． 解：（1）∵M＝16，DF＝08，EF∥B， ∴DF 是△M 的中位线， ∴点D 是的中点， ∵＝＝4， ∴D＝2； （2）如图②，过点作D⊥于点D， ∵∠＝45°， ∴△D 是等腰直角三角形， ∴D＝D， t ∵∠＝ ，∠D＝90°， ∴ ＝ ， 设D＝3x＝D，则D＝4x， ∵＝＝4， ∴＝3x+4x＝4， ∴x＝ ， ∴D＝ ×3＝ ，D＝ ×4＝ ， ∴＝ ＝ ； （3）如图，当点M 与点重合时，点也与点重合，当点M 运动至点B 时，点运动至点 T，故点的运动路径长为+ 的长， ∵∠M＝50°，＝B， ∴∠B＝∠B＝65°， ∵∠M＝∠T，＝T， ∴∠T＝∠T＝65°， ∴∠T＝50°， ∴∠T＝180° 50° 50° ﹣ ﹣ ＝80°， ∴ 的长＝ ＝ π， ∴点的运动路径长＝4+ π． 8．我们不妨定义：有两边之比为1： 的三角形叫敬“勤业三角形”． （1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是 ③④ ；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三 角形． （2）如图1，△B 是⊙的内接三角形，为直径，D 为B 上一点，且BD＝2D，作DE⊥， 交线段于点F，交⊙于点E，连接BE 交于点G．试判断△ED 和△BE 是否是“勤业三角 形”？如果是，请给出证明，并求出 的值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当F：FG＝2：3 时，求∠BED 的余弦值． 解：①等边三角形各边的比值为1，故等边三角形不是“勤业三角形“； ②等腰直角三角形两直角边的比值为1，直角边与斜边的比为1： ，故等腰直角三角 形不是“勤业三角形”； ③设含30 角的直角三角形的最短边长为，则斜边长为2，另一条直角边长为 ，： ＝1： ，故含30°角的直角三角形是“勤业三角形“； ④如图：△B 中，B＝，∠＝120°，过点作D⊥B 于点D， ∴∠B＝∠＝30°， 设D＝，则B＝＝2，BD＝D＝ ， ∴B＝2 ， ∴B：B＝：B＝1： ， ∴含120°角的等腰三角形是“勤业三角形”， 故答为：③④； （2）解：△ED 和△BE 都是“勤业三角形”， 证明如下： 如图：连接E，设∠BE