专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出 发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部 分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 模型1 线段的双中点模型 图1 图2 1）双中点模型（两线段无公共部分） 条件：如图1，已知、B、三点共线，D、E 分别为B、B 中点，结论： 2）双中点模型（两线段有公共部分） 条件：如图2，已知、B、三点共线，D、E 分别为B、B 中点，结论： 例1．（2023·广东七年级期中）如图， 是 的中点， 是 的中点，若 的方程是解题 关键，要分类讨论，以防遗漏． 模型2 双角平分线模型 图1 图2 图3 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：D、E 分别平分∠B、∠B； 结论： 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：D、E 分别平分∠B、∠B；

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出 发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部 分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 模型1 线段的双中点模型 图1 图2 1）双中点模型（两线段无公共部分） 条件：如图1，已知、B、三点共线，D、E 分别为B、B 中点，结论： 2）双中点模型（两线段有公共部分） 条件：如图2，已知、B、三点共线，D、E 分别为B、B 中点，结论： 例1．（2023·广东七年级期中）如图， 是 的中点， 是 的中点，若 段的中点时，直接写出时间 t． 模型2 双角平分线模型 图1 图2 图3 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：D、E 分别平分∠B、∠B； 结论： 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：D、E 分别平分∠B、∠B；

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出 发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部 分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 .............................. .........................................................................................2 模型1 线段的双中点模型................................................................................................ ....................................................................................... 7 模型3 双角平分线模型与角等分线模型...........................................................................................

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出 发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部 分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 .............................. .........................................................................................2 模型1 线段的双中点模型................................................................................................ ....................................................................................... 4 模型3 双角平分线模型与角等分线模型...........................................................................................

三角形 模型（十）——双角平分线模型 ◎结论1：如图B，是∠B 与∠B 的平分线，∠B=90＋ 1 2 ∠ 【证明】设∠B＝∠B＝X，∠＝∠B＝Y， 在△B 中，∠＋2X＋2Y＝180°① 在△B 中，∠B＋X＋Y＝180°② 由①可得 X＋Y＝90°－1 2 ∠ ③ 把③带入② ∠B＋90°－1 2 ∠＝180° ∠B ∴ ＝90°＋1 ∠P ∴ ＝1 2∠ 注：双角平分线模型不仅可以帮助同学们秒杀选填问题，而且在复杂约几何解答题中 也能快速理清角度之间的关系，进而解决问题﹒ 1．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，在 中， 的平分线 相交于点F，若且 ∠B=42°， ，则 等于（ ）． ． B． ． D． 【答】B 【分析】由∠B=42°，∠=60°，根据三角形内角和等于180°，可得∠B 的度数，又因为∠B、∠B 【点睛】本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵活变化求出相应问题 的答． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△B 中，∠E=18°，BE 平分∠B，E 平分∠D，则∠等于（ ） ．36° B．30° ．20° D．18° 【答】 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠D= + ∠∠B，∠ED=∠E+∠EB；由角平分线的性 质，得∠ED=

三角形 模型（十）——双角平分线模型 ◎结论1：如图B，是∠B 与∠B 的平分线，∠B=90＋ 1 2 ∠ 【证明】设∠B＝∠B＝X，∠＝∠B＝Y， 在△B 中，∠＋2X＋2Y＝180°① 在△B 中，∠B＋X＋Y＝180°② 由①可得 X＋Y＝90°－1 2 ∠ ③ 把③带入② ∠B＋90°－1 2 ∠＝180° ∠B ∴ ＝90°＋1 【证明】：设∠BP＝∠PB＝X，∠P＝∠PD＝Y， 外角 2Y＝2X＋∠,① 外角 Y＝X＋∠ ② ②代入①得 2（X＋∠P）＝2X＋∠ ∠P ∴ ＝1 2∠ 注：双角平分线模型不仅可以帮助同学们秒杀选填问题，而且在复杂约几何解答题中 也能快速理清角度之间的关系，进而解决问题﹒ 1．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，在 中， 的平分线 相交于点F，若且 1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，B1 和1 分别是△B 的内角平分线和外角平分线，B2 是∠1BD 的角平分 线2 是∠1D 的角平分线，B3 是2BD∠的角平分线，3 是∠2D 的角平分线，若∠1=α，则∠2013 为（ ） ． B． ． D． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△B 中，∠B 和∠B 的角平分线交于点，延长B 与∠B 的外角平分线交于 点D，若∠B＝130°，则∠D＝_____

专题19 相似三角形重要模型之（双）字型与（双）8 字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多， 是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）字模型和（双）8（X）字模型． 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线， 有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是 屡见不鲜的。 模型1 “”字模型 【模型解读与图示】 “”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 3）同向双“”字模型 条件：如图3，EF∥B；结论：△EF∽△B，△EG∽△BD，△GF∽△D⇔ 例1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形 中，点E，F，G，分别是 ， ， ， 上的点，且 ，若菱形的面积等于24， ，则 ． 【答】6 【分析】连接 ，交 于点，由题意易得 ， ， ， ，则有 ， 然后可得 ，设 ，则有 ，进而根据相似三角形的性质可进

专题19 相似三角形重要模型之（双）字型与（双）8 字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多， 是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）字模型和（双）8（X）字模型． 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线， 有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是 屡见不鲜的。 模型1 “”字模型 【模型解读与图示】 “”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 条件：如图2，∠ED＝∠B；结论：△DE∽△B⇔＝＝ 3）同向双“”字模型 条件：如图3，EF∥B；结论：△EF∽△B，△EG∽△BD，△GF∽△D⇔ 例1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形 中，点E，F，G，分别是 ， ， ， 上的点，且 ，若菱形的面积等于24， ，则 ． 例2．（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形 中，点D、E 分别在边 、 上， ， ，

几何图形初步 模型（二）——双角平分线 ◎【结论1】如图，已知P 为∠B 内一条射线，M 平分∠BP，平分∠P，则∠M= 1 2 ∠B 【证明】∵M 平分∠BP， 平分∠P， ∠PM= ∴ 1 2 ∠BP，∠P= 1 2 ∠P， ∠M=∠PM+∠P= ∴ 1 2 ∠BP+ 1 2 ∠P 【分析】利用角平分线得到∠B=∠BD=2∠B，利用角的和差求得∠=∠B+∠B=2∠B+∠B=3∠B，即可求出∠B． 【详解】解：∵平分∠BD， ∴∠BD=2∠B， ∵B 平分∠D， ∴∠B=∠BD=2∠B， =45° ∵∠ ， = ∴∠∠B+∠B=2∠B+∠B=3∠B=45°， ∴∠B= =15° ∠ ， 故选：． 【点睛】此题是角平分线的定义，解本题的关键是找到角与角之间的关系，也可以方程的思想解决本题． 也可以方程的思想解决本题． 2．（2022·全国·七年级课时练习）如图，∠B=120°，是∠B 内部任意一条射线，D，E 分别是∠，∠B 的角平分线， 下列叙述正确的是（ ） ．∠DE 的度数不能确定 B．∠D= ∠E ．∠D+∠BE=60° D．∠BE=2∠D 【答】 【分析】依据D、E 分别是∠、∠B 的平分线，即可得出∠D+∠BE=∠E+∠D=∠DE=60°，结合选项得出正确结论．

几何图形初步 模型（二）——双角平分线 ◎【结论1】如图，已知P 为∠B 内一条射线，M 平分∠BP，平分∠P，则∠M= 1 2 ∠B 【证明】∵M 平分∠BP， 平分∠P， ∠PM= ∴ 1 2 ∠BP，∠P= 1 2 ∠P， ∠M=∠PM+∠P= ∴ 1 2 ∠BP+ 1 2 ∠P 平分∠D，平分∠BD，∠＝45°，则∠B＝（ ） ．5° B．10° ．15° D．20° 2．（2022·全国·七年级课时练习）如图，∠B=120°，是∠B 内部任意一条射线，D，E 分别是∠，∠B 的角平分线， 下列叙述正确的是（ ） ．∠DE 的度数不能确定 B．∠D= ∠E ．∠D+∠BE=60° D．∠BE=2∠D 1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）如图，已知是∠B 的度数为_______． 3．（2022·重庆彭水·七年级期末）如图，已知 ， ，B 平分 ，D 平分 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 4．（2022·全国·七年级课时练习）把一副三角尺按如图所示拼在一起，如图，其中B，，D 三点在同一条直线上， ∠B=45°，∠DE=60°． （1）若M 和分别平分∠B 和∠DE，如图1，则∠M 的度数为___________； （2）若M