模型02 几何图形初步——双角平分线-解析版

几何图形初步 模型（二）——双角平分线 ◎【结论1】如图，已知P 为∠B 内一条射线，M 平分∠BP，平分∠P，则∠M= 1 2 ∠B 【证明】∵M 平分∠BP， 平分∠P， ∠PM= ∴ 1 2 ∠BP，∠P= 1 2 ∠P， ∠M=∠PM+∠P= ∴ 1 2 ∠BP+ 1 2 ∠P = 1 2 （∠BP+ ∠P）= 1 2 ∠B 【奇思妙想消消消：等号左边∠PM，∠P 消掉共同字母P,得∠M。 等号右边 1 2 ∠BP， 1 2 ∠P 消掉共同字母P，得 1 2 ∠B】 ◎【结论2】如图，已知P 为∠B 外一条射线，M 平分∠BP，平分∠P，则∠M= 1 2 ∠B 【证明】∵M 平分∠BP，平分∠P， ∠PM= ∴ 1 2 ∠BP，∠P= 1 2 ∠P， ∠M=∠PM-∠P= ∴ 1 2 ∠BP- 1 2 ∠P = 1 2 （∠BP-∠P）= 1 2 ∠B 【奇思妙想消消消：等号左边∠PM，∠P 消掉共同字母P,得∠M。 等号右边 1 2 ∠BP， 1 2 ∠P 消掉共同字母P，得 1 2 ∠B】 【典例】 1．（2022·全国·七年级专题练习）如图，B 平分∠D，平分∠BD，∠＝45°，则∠B＝（ ） ．5° B．10° ．15° D．20° 【答】 【分析】利用角平分线得到∠B=∠BD=2∠B，利用角的和差求得∠=∠B+∠B=2∠B+∠B=3∠B，即可求出∠B． 【详解】解：∵平分∠BD， ∴∠BD=2∠B， ∵B 平分∠D， ∴∠B=∠BD=2∠B， =45° ∵∠ ， = ∴∠∠B+∠B=2∠B+∠B=3∠B=45°， ∴∠B= =15° ∠ ， 故选：． 【点睛】此题是角平分线的定义，解本题的关键是找到角与角之间的关系，也可以方程的思想解决本题． 2．（2022·全国·七年级课时练习）如图，∠B=120°，是∠B 内部任意一条射线，D，E 分别是∠，∠B 的角平分线， 下列叙述正确的是（ ） ．∠DE 的度数不能确定 B．∠D= ∠E ．∠D+∠BE=60° D．∠BE=2∠D 【答】 【分析】依据D、E 分别是∠、∠B 的平分线，即可得出∠D+∠BE=∠E+∠D=∠DE=60°，结合选项得出正确结论． 【详解】∵D、E 分别是∠、∠B 的平分线， ∴∠D=∠D，∠E=∠BE． 又∵∠D+∠BE+∠E+∠D=∠B=120°， ∴∠D+∠BE=∠E+∠D=∠DE=60°． 故选． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质，理解角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键． 1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）如图，已知是∠B 的平分线，D 是∠的平分线，且∠D=30°，则∠B 的度数为_______． 【答】120° 【分析】根据角平分线的定义求出∠，同理可得∠B． 【详解】解：∵D 平分∠，∠D=30°， =2 ∴∠ ∠D=60°， ∵平分∠B， ∴∠B=2 =120° ∠ ， 故答为：120°． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校期中）如图， 平分 ，E 平分 ，则 的度数为_______． 【答】30°##30 度 【分析】根据角平分线的定义可知： ，可求得 ，由此即可求 得 ． 【详解】解：∵ ， 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵E 平分 ， ∴ ， 故答为：30°． 【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义，利用定义进行求角度是解题的关键． 3．（2022·重庆彭水·七年级期末）如图，已知 ， ，B 平分 ，D 平分 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据 ，B 平分 ，可知 ，根据 ，D 平分 ，可知 ，由此可以求出 ． 【详解】解：∵ ，B 平分 ， ∴ ； ∵ ，D 平分 ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键在于掌握角平分线的定义． 4．（2022·全国·七年级课时练习）把一副三角尺按如图所示拼在一起，如图，其中B，，D 三点在同一条直线上， ∠B=45°，∠DE=60°． （1）若M 和分别平分∠B 和∠DE，如图1，则∠M 的度数为___________； （2）若M 平分∠BE，平分∠D，如图2，则∠M 的度数为___________． 【答】 525° 【分析】(1)利用角平分线的定义求出∠M 、∠E，可得结论； (2)利用角平分线的定义求出∠BM 、∠，可得结论． 【详解】（1） M 和分别平分∠B 和∠DE ，∠B=45°，∠DE=60° ∴ ， ∴ （2） ， ∴ ， M 平分∠BE ∴ ∴ 同理 则 ∴ 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 1．（2019·山西·一模）已知 中，射线 在 内部， 是 的平分线， 是 的平分线． （1）若 如图1，求 的度数； （2）若 在（1）的基础上增加了 ，如图2，求 的度数； （3）若射线 在 的外部， 如图3( 与 在直线 的同侧)，求 的度数． 【答】（1）45°；（2） ；（3） 【分析】（1）根据角平分线的定义进行角度的计算即可得解； （2）根据角平分线的定义进行角度的计算即可得解； （3）根据角平分线的定义进行角度的计算即可得解 【详解】（1） 是 的平分线， 是 的平分线， ∴ ， ； （2）同（1）得， ； （3） 是 的平分线， 是 的平分线， 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的角度计算方法是解决本题的关键 2．（2019·四川南充·一模）已知 是 内部任意的一条射线， ， 分别是 、 的平分线 （1）若 ， ，求 的度数； （2）若 ，求 的度数 【答】（1）50°；（2） 【分析】（1）根据角平分线的性质可得 和 的度数，然后可求出 的度数； （1）根据 ，结合角平分线的性质可得 的度数． 【详解】解：（1）∵ 、 分别是 、 的平分线 ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ （2）∵ 、 分别是 、 的平分线 ∴ 、 ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和等量代换，熟练掌握并准确计算是解题的关键． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图所示，点 ， ， 在同一条直线上， ， ， 是 的平分线 （1）求 的度数； （2） 是 的平分线吗？为什么？ （3）请直接写出图中所有与 互余的角 【答】（1）40°；（2） 是 的平分线，理由见解析；（3）图中与 互余的角有 ， 【分析】（1）根据 是 的平分线得 ,再利用 即可解题,（2）求出 的度数,证 明 即可解题,（3）根据同角的余角相等即可解题 【详解】（1）因为 ， 是 的平分线 所以 因为 所以 （2） 是 的平分线，理由如下： 由(1)可知： ，且 所以 所以 ，即 是 的平分线 （3）图中与 互余的角有 ， , 理由：∵∠DE=90°, ∴ + =90°, ∵ 是 的平分线, ∴ = , ∴图中与 互余的角有 ，