题型21 3 类对称与4 类切线解题技巧 （点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线 问题） 技法01 点对称问题解题技巧 知识迁移 点 (x , y ) 关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标(x−2 A ( Ax+By+C ) A 2+B 2 , y−2B ( Ax+By+C ) A 2+B 2 ). 例1．点 关于直线 的对称点的坐标是 技法01 点对称问题解题技巧 技法02 直线对称问题解题技巧 技法03 圆对称问题解题技巧 技法04 圆中的切线问题解题技巧 技法05 椭圆中的切线问题解题技巧 技法06 双曲线中的切线问题解题技巧 技法07 抛物线中的切线问题解题技巧 合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习. 直线 中，A=2,B=−1,C=4 ,所以 Ax+By+C 因椭圆方程为： ，故椭圆在点 处的切线方程为 即 ， 故答案为： . 技法06 双曲线中的切线问题解题技巧 知识迁移 设 P (x0, y0) 为双曲线 x 2 a 2−y 2 b 2 =1 上的点, 则过该点的切线方程为: x x0 a 2 −y y0 b 2 =1 过 P (x0, y0) 为双曲线 x 2 a 2−y 2 b 2 =¿ 的两支作两条切线, 则切点弦方程为x

题型21 3 类对称与4 类切线解题技巧 （点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线 问题） 技法01 点对称问题解题技巧 知识迁移 点 (x , y ) 关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标(x−2 A ( Ax+By+C ) A 2+B 2 , y−2B ( Ax+By+C ) A 2+B 2 ). 例1．点 关于直线 的对称点的坐标是 技法01 点对称问题解题技巧 技法02 直线对称问题解题技巧 技法03 圆对称问题解题技巧 技法04 圆中的切线问题解题技巧 技法05 椭圆中的切线问题解题技巧 技法06 双曲线中的切线问题解题技巧 技法07 抛物线中的切线问题解题技巧 合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习. 直线 中，A=2,B=−1,C=4 ,所以 Ax+By+C 类似地,可以 求得椭圆 在点(4,2)处的切线方程为 技法06 双曲线中的切线问题解题技巧 知识迁移 设 P (x0, y0) 为双曲线 x 2 a 2−y 2 b 2 =1 上的点, 则过该点的切线方程为: x x0 a 2 −y y0 b 2 =1 过 P (x0, y0) 为双曲线 x 2 a 2−y 2 b 2 =¿ 的两支作两条切线, 则切点弦方程为x

技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） A． B． C． D． 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 技法04 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中 考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 ，所以 ， ． 例1-2．（2023·江苏模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ） 3．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C： ，其右焦点到渐近 线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ． 4．（2023·浙江台州·统考二模）已知椭圆 经过点 和 ，则椭圆 的离心 率为 . 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 知识迁移 已知棚圆方程为 ,两焦点分别为 , 设焦点三角形 , ,则椭圆的离心率 公式 3:已知双曲线方程为 两焦点分别为

求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中 考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 A． B． C． D． ，所以 ， ． 例1-2．（2023·江苏模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ，即 . . 故答案为： 【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题. 3．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C： ，其右焦点到渐近 线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式求出 ，并根据离心率公式求解即可. 【详解】由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为2， 由题可知，过一三象限的渐近线为

L=2a+2c. (3) |P F1∥P F2|= 2b 2 1+cosθ . (4). 焦点三角形的而积为: S=1 2|P F1∥P F2|sinθ=b 2tan θ 2. 2. 双曲线焦点三角形主要结论 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧 技法03 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧 技法04 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧 圆锥曲线中弦长问题（硬解定理-万能公式）的应用及解题技巧 圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会 结合公式运算，需强化训练复习 如图, F1、F2 是双曲线的焦点, 设 P 为双曲线上任意一点, 记 ∠F1 P F2=θ, 则 △P F1 F2的面积 S= b 2 tan θ 2 例1-1．（2023·全国·统考高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 所以 ，又 ，平方得： ，所以 ． 例1-2．（全国·高考真题）设 ， 为双曲线 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足 ，则 的面积为（ ） A． B．2 C． D．1 【法一】 △P F1 F2的面积S= b 2 tan θ 2 =1 【法二】设 ， ， 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上， ， ， ， ， ， 的面积为 . 故选：D 1．（上海·高考真题）已知

表示焦点在 轴上的双曲线，则实数 的取 值范围为 A. B. C. D. 且 5.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的 几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有个球，第二层有 个 球，第三层有 个球， ，则第十层球的个数为 A. B. C. D. 6.已知 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点，若 ，则 点的横坐标为 A. B. C. D. 7.已知双曲线 的左、右焦点分别为 的左、右焦点分别为 ，过 的直线交双曲线的右支于 两点，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 8.记不超过 的最大整数为 ，如 ， .已知数列 的通项公式 ，设数列 的前 项和为 ，则使 的正整数 的最大值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选 项中，有多项符合要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选 C. D. 10.已知焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程为 ，实轴长为 ， 则 A.该双曲线的虚轴长为 B.该双曲线的焦距为 C.该双曲线的离心率为 D.直线 与该双曲线有两 个公共点 ，其前 项和为 .数列 的通项公式 ，设 的前 项和为 ，则下列说法正 确 的 是 B. D. 12.已知双曲线 ： ，则下列说法正确的是 A.双曲线 的顶点到其渐近线的距离为 B.若

L=2a+2c. (3) |P F1∥P F2|= 2b 2 1+cosθ . (4). 焦点三角形的而积为: S=1 2|P F1∥P F2|sinθ=b 2tan θ 2. 2. 双曲线焦点三角形主要结论 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧 技法03 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧 技法04 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧 圆锥曲线中弦长问题（硬解定理-万能公式）的应用及解题技巧 圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会 结合公式运算，需强化训练复习 如图, F1、F2 是双曲线的焦点, 设 P 为双曲线上任意一点, 记 ∠F1 P F2=θ, 则 △P F1 F2的面积 S= b 2 tan θ 2 例1-1．（2023·全国·统考高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 所以 ，又 ，平方得： ，所以 ． 例1-2．（全国·高考真题）设 ， 为双曲线 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足 ，则 的面积为（ ） A． B．2 C． D．1 【法一】 △P F1 F2的面积S= b 2 tan θ 2 =1 【法二】设 ， ， 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上， ， ， ， ， ， 的面积为 . 故选：D 1．（上海·高考真题）已知

1．已知经过  3, A a ， ) 4 , 1 (  B 两点的直线的斜率为1，则  a （ ） A．7 B． 2  C．3 D． 3  2．直线l 过点 ) 1 , 0 ( 与双曲线 2 2 2  y x 仅有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 3． 设 为椭圆 1 2 6 : 2 2  y x C 上一动点， 日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂降重开幕，为了增强主席台 的亮度，且为了避免主席台就坐人员面对强光的不适，灯光设计人员巧妙地通过双曲线镜面反射出发散光 线达到了预期的效果。如图，从双曲线右焦点 2 F 发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点 1 F .已知 双曲线的离心率为 2 ，则当 | | 1 P F 与 | | 2 1 F F 恰好相等时， 1 2 cos F F P  （ ） 2   p px y 的准线相切，则  p （ ） A．8 1 B．4 1 C．8 D．2 6．若双曲线C： 2 2 2 1 4 y x a   ( 0) a  的一条渐近线被圆 2 2 ( 2) 4 x y    所截得的弦长为5 16 ，则双曲线C 的 离心率为（ ） A． 3 13 B． 3 17 C． 3 5 D． 3 39 试卷第2页，共4页

1．已知经过  3, A a ， ) 4 , 1 (  B 两点的直线的斜率为1，则  a （ ） A．7 B． 2  C．3 D． 3  2．直线l 过点 ) 1 , 0 ( 与双曲线 2 2 2  y x 仅有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 3． 设 为椭圆 1 2 6 : 2 2  y x C 上一动点， 日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂降重开幕，为了增强主席台 的亮度，且为了避免主席台就坐人员面对强光的不适，灯光设计人员巧妙地通过双曲线镜面反射出发散光 线达到了预期的效果。如图，从双曲线右焦点 2 F 发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点 1 F .已知 双曲线的离心率为 2 ，则当 | | 1 P F 与 | | 2 1 F F 恰好相等时， 1 2 cos F F P  （ ） 2   p px y 的准线相切，则  p （ ） A．8 1 B．4 1 C．8 D．2 6．若双曲线C： 2 2 2 1 4 y x a   ( 0) a  的一条渐近线被圆 2 2 ( 2) 4 x y    所截得的弦长为5 16 ，则双曲线C 的 离心率为（ ） A． 3 13 B． 3 17 C． 3 5 D． 3 39 试卷第2页，共4页

B．6 C． D． 4．已知点 ，直线 ，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段 的垂直平分线 交于点M，则点M 的轨迹是（ ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 5．已知抛物线 上的点 到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． 上存在 点P 满足 ，则r 的最小值为（ ） A． B． C． D．3 7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，实轴长为5，点M 在C 的左支上， 过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N，则当 取最小值10 时，该双曲线的渐近线方程为 （ ） A． B． C． D． 8．如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为 与圆相交 10．一般地，我们把离心率为 的椭圆称为“黄金椭圆”．把离心率为 的双曲线称为“黄金双 曲线”，则下列命题正确的有（ ） A．若 是“黄金椭圆，则 B．若焦距为4，且点A 在以 为焦点的“黄金椭圆”上，则 的周长为 C．若 是黄金双曲线 的左焦点，C 是右顶点， 则 D．若 是黄金双曲线 的弦，离心率为e，M 是 的中点，若 和 的斜率均存在，则 11．在平面直角坐标系