山东省烟台市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题

2021～2022 学年度第一学期期末学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1.本试题满分150 分，考试时间为120 分钟。 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹 清晰；超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项符合题目要求。 1.若数列 的通项公式为 ，则该数列的第 项为 A. B. C. D. 2.数列 的通项公式可以为 A. B. C. D. 3.以 ， 为焦点，且经过点 的椭圆的标准方程为 A. B. C. D. 4.若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则实数 的取 值范围为 A. B. C. D. 且 5.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的 几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有个球，第二层有 个 球，第三层有 个球， ，则第十层球的个数为 A. B. C. D. 6.已知 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点，若 ，则 点的横坐标为 A. B. C. D. 7.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线交双曲线的右支于 两点，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 8.记不超过 的最大整数为 ，如 ， .已知数列 的通项公式 ，设数列 的前 项和为 ，则使 的正整数 的最大值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选 项中，有多项符合要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选 错的得0 分。 9.已知公差为 的等差数列 中， ， ，其前 项和为 ， 则 A. B. C. D. 10.已知焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程为 ，实轴长为 ， 则 A.该双曲线的虚轴长为 B.该双曲线的焦距为 C.该双曲线的离心率为 D.直线 与该双曲线有两 个公共点 ，其前 项和为 .数列 的通项公式 ，设 的前 项和为 ，则下列说法正 确 的 是 B. D. 12.已知双曲线 ： ，则下列说法正确的是 A.双曲线 的顶点到其渐近线的距离为 B.若 为 的左焦点，点 在 上，则满足 的点 的轨 迹方程为 C.若 在 上，线段 的中点为 ，则直线 的方程为 D.若 为双曲线上任意一点，则 到点 和到直线 的距离之 比恒为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.在数列 中， ， ，则 . 14.过抛物线 焦点的直线交抛物线于 两点，若线段 中点 的纵坐标为 ，则线段 的长度为. 15.将连续的正整数 填入 行 列的方阵中，使得每行、每列、 每条对角线上的数之和相等，可得到 阶幻方.记 阶幻方每条对角 线上的数之和为 ，如右图： ，那么 的值为. 16.已知直线是抛物线 : 的准线，半径为 的圆过 抛物线的顶点 和焦点 ，且与相切，则抛物线 的方程为；若 为 上一点， 与 的对称轴交于点 ，在 中， ，则 的值为. （本小题第一空2 分，第二空3 分） 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。 17.(10 分)已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，若 ，对任意的正整数 成立，求实数 的取值范围. 18.（12 分）双曲线 ： 的离心率 ，且 过点 . （1）求 的值； （2）求与双曲线 有相同渐近线，且过点 的双曲线的标准 方程. 19.(12 分) 已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且满足 . （1）求证：数列 是等比数列； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 20.(12 分)已知点 为抛物线 ： 的焦点，点 在 抛物线 上且在 轴上方， . （1）求抛物线 的方程； （2）已知直线： 与曲线 交于 两点（点 与点 不重合），直线 与 轴、 轴分别交于 两点,直线 与 轴、 轴分别交于 两点，当四边形 的面积最小时，求直线 的方程. 21.(12 分)已知等比数列 的公比 ，且 ， 是 的等差中项.数列 的前 项和为 ，满足 ， . （1）求 和 的通项公式； （2）设 ，求 的前 项和 . 22.(12 分) 设 分别是椭圆 ： 的左、右焦点， 的离心率为 ，短轴长为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线交椭圆 于 两点，是否存在实数，使得 恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理 由.