高考数学答题技巧题型22 5类圆锥曲线解题技巧（焦点三角形、阿基米德三角形、焦点弦、中点弦、弦长问题（硬解定理-万能公式)）（原卷版）Word（16页）

题型22 5 类圆锥曲线解题技巧 （焦点三角形、阿基米德三角形、焦点弦、中点弦、弦长问题（硬解 定理-万能公式) 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆焦点三角形主要结论 在ΔP F1 F2 中,记 ∠F1 P F2=θ, 椭圆定义可知: (1). |P F1|+|P F2|=2a,|F1 F2|=2c. (2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c. (3) |P F1∥P F2|= 2b 2 1+cosθ . (4). 焦点三角形的而积为: S=1 2|P F1∥P F2|sinθ=b 2tan θ 2. 2. 双曲线焦点三角形主要结论 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧 技法03 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧 技法04 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧 技法05 圆锥曲线中弦长问题（硬解定理-万能公式）的应用及解题技巧 圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会 结合公式运算，需强化训练复习 如图, F1、F2 是双曲线的焦点, 设 P 为双曲线上任意一点, 记 ∠F1 P F2=θ, 则 △P F1 F2的面积 S= b 2 tan θ 2 例1-1．（2023·全国·统考高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则 （ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【法一】因为 ，所以 ，从而 ，所以 ． 【法二】因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ， 所以 ，又 ，平方得： ，所以 ． 例1-2．（全国·高考真题）设 ， 为双曲线 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足 ，则 的面积为（ ） A． B．2 C． D．1 【法一】 △P F1 F2的面积S= b 2 tan θ 2 =1 【法二】设 ， ， 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上， ， ， ， ， ， 的面积为 . 故选：D 1．（上海·高考真题）已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一 点，且 .若 的面积为9，则 = . 2．（2023·河南开封·统考三模）已知点 是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 、 ，且 ，则 的面积为（ ） A．6 B．12 C． D． 3．（全国·高考真题）已知 、 为双曲线C： 的左、右焦点，点P 在C 上，∠ P = ，则 A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则 的面积等于（ ） A．24 B． C． D．30 技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆中的阿基米德三角形 设椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a>b>0)的弦为 AB , 过A ，B 两点做椭圆切线，交于Q 点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 AB 绕着定点 P (m,0) 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a 2 m 上. 其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 AQ , PQ ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k PQ=k AQ+k BQ. 性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB. 2. 双曲线中的阿基米德三角形 设 双 曲 线 C : x 2 a 2−y 2 b 2 =1 (a,b>0) 的 弦 为 AB , 过A ，B 两点做双曲线切线，交于Q 点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有: 阿基米德三角形问题及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结 合公式运算，需强化训练复习. 性质 1: 弦 AB 绕者定点 P (m,0) 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a 2 m 上. 其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 AQ , PQ ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k PQ=k AQ+k BQ. 性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB. 3. 抛物线中的阿基米德三角形 抛物线的弦为 AB , 过A ，B 两点做抛物线切线，交于Q 点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则 有: （1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴 （2）若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C, 则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线 （3）若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 l 方程为: ax+by+c=0, 则定点的坐标为 C( c a ,−bp a ). （4）底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为 a 3 8 p . （5）若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 Q 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 p 2 （6）在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB （7）|AF|⋅|BF|=|QF| 2. （8）抛物线上任取一点 I (不与 A ,B 重合), 过 I 作抛物线切线交 QA ,QB 于 S ,T,连接 AI ,BI, 则 △ABI 的面积是 △QST 面积的 2 倍 例2．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线 的焦点 作抛物线的弦，与抛物线交于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的切线， 相交于点 ， 又常被称作阿基米德三角形． 的 面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 设 ， ，由题意可得直线AB 的斜率不为0, 因为直线AB 过焦点 ，所以设直线AB 的方程 ； 联立 得 ，所以 ， 由抛物线的性质可得过点 ， 的抛物线的切线方程为： ， 联立 得 ， ，即 .点 到直线的距离 ， 当且仅当 时取到最小值.故选：C. 1．（2023 秋·江西上饶·高三统考期末）（多选）若 ， ，点 满足 ，记点 的 轨迹为曲线 ，直线 ， 为上的动点，过点 作曲线 的两条切线 ， ，切点为 ， ，则下列说法中正确的是（ ） A． 的最小值为 B．直线 恒过定点 C． 的最小值为0 D．当 最小时，直线 的方程为 2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点到原点的距离等于直线 的斜率. （1）求抛物线C 的方程及准线方程； （2）点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A，B，求 面积的最小值. 3．（2023·全国·高三专题练习）抛物级 的焦点 到直线 的距离为2. （1）求抛物线的方程； （2）设直线 交抛物线于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的两条切线， 两切线的交点为 ，求证： . 技法03 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆的斜率式焦点弦长公式 (1) 为椭圆 的左、右焦点，过 (或 )斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，则 (2) 为椭圆 的下、上焦点，过 (或 斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，则 2. 双曲线的斜率式焦点弦长公式 (1)F1，F2 为双曲线C : x 2 a 2−y 2 b 2 =1 (a>0,b>0)的左、右焦点，过F1 斜率为k的直线l与双曲线交于A ,B两 点，则 (1)A ，B在同支弦，|AB|=2ab 2(1+k 2) a 2k 2−b 2 (2)A ，B在异支弦，|AB|=2ab 2(1+k 2) b 2−a 2k 2 圆锥曲线的焦点弦及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合 公式运算，需强化训练复习. 综合(1)(2)可统一为:|AB|=2ab 2(1+k 2) |a 2k 2−b 2| (2)F1，F2 为双曲线C : y 2 a 2 −x 2 b 2=1 (a>0,b>0)的上、下焦点，过F1 斜率为k的直线l与双曲线交于A ,B两 点，则 (1)A ，B在同支弦，|AB|=2ab 2(1+k 2) a 2−b 2k 2 (2)A ，B在异支弦，|AB|=2ab 2(1+k 2) b 2k 2−a 2 综合(1)(2)可统一为:|AB|=2ab 2(1+k 2) |a 2−b 2k 2| 3. 椭圆的倾斜角式焦点弦长公式 (1)F1, F2 为椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a>b>0)的左、右焦点，过F1 倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A ,B两点， 则|AB|= 2ab 2 a 2−c 2cos 2θ = 2ep 1−e 2cos 2θ 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p=| a 2 c −c|=b 2 c (2)F1, F2 为椭圆C : y 2 a 2 + x 2 b 2=1 (a>b>0)的上、下焦点，过F1 倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A ,B两点， 则|AB|= 2ab 2 a 2−c 2sin 2θ = 2ep 1−e 2sin 2θ 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p=| a 2 c −c|=b 2 c 特殊情形，对于焦点在x轴上的椭圆，当倾斜角为θ=90 ∘时，即为椭圆的通径，通径长|AB|=2ep=2b 2 a . 4. 双曲线的倾斜角式焦点弦长公式 (1)F1，F2 为双曲线C : x 2 a 2−y 2 b 2 =1 (a>0,b>0)的左、右焦点，过F1 倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A ,B 两点，则|AB|= 2ab 2 |a 2−c 2cos 2θ| = 2ep |1−e 2cos 2θ| 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p=| a 2 c −c|=b 2 c (2)F1，F2 为双曲线C : y 2 a 2 −x 2 b 2=1 (a>0,b>0)的上、下焦点，过F1 倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A ,B 两点，则|AB|= 2ab 2 |a 2−c 2sin 2θ| = 2ep |1−e 2sin 2θ| 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p=| a 2 c −c|=b 2 c 特殊情形，对于焦点在x轴上的双曲线，当倾斜角为θ=90 ∘时，即为椭圆的通径，通径长 |AB|=2ep=2b 2 a . 5. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 (1) 焦点在 x 轴上, |AB|= 2|p| sin 2θ (2) 焦点在 y 轴上, |AB|= 2|p| cos 2θ 例3-1．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 直线，交双曲线于 两点，求弦长 ． 由双曲线 得 ，又 所以 ． 例3-2．（山东·统考高考真题）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交于A，B 两点，则 = ． 【法一】先求出倾斜角，代入|AB|= 2|p| sin 2θ 求解即可 【法二】解得 所以 【法三】 设 ，则 , 过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示. 故答案为： 1．（全国·高考真题）已知直线 与抛物线 相交于A、B 两点，F 为C 的焦点，若 ,则k= A． B． C． D． 2．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）． A． B． C．以MN 为直径的圆与l 相切 D． 为等腰三角形 3．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线 的焦点为F，过点F 的直线与该抛物线交 于A，B 两点， ，AB 的中点横坐标为4，则 ． 技法04 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧 知识迁移 圆锥曲线的中点弦及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合 公式运算，需强化训练复习. 1. 椭圆中点弦斜率公式 (1) 若 M (x0, y0) 为椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有 k AB .kOM=−b 2 a 2 =e 2−1 (2) 若 M (x0, y0) 为椭圆 y 2 a 2 + x 2 b 2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有 k AB .kOM=−a 2 b 2 = 1 e 2−1 2. 双曲线的中点弦斜率公式 (1) 若 M (x0, y0) 为双曲线 x 2 a 2−y 2 b 2 =1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 k AB⋅kOM=b 2 a 2=e 2−1(2) 若 M (x0, y0) 为双曲线 y 2 a 2 −x 2 b 2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 k AB⋅kOM=a 2 b 2= 1 e 2−1 3. 抛物线的中点弦斜率公式 (1) 若 M (x0, y0) 为抛物线 y 2=2 px 弦 AB( AB 不平行 y 轴 ) 的中点, 则 k AB=¿ p y0 (2) 若 M (x0, y0) 为抛物线 x 2=2 py 弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 k AB= x0 p 4. 中点弦斜率拓展 在椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 中, 以 P (x0, y0) 为中点的弦所在直线的斜率 k=−b 2 x0 a 2 y0 ; 在双曲线 x 2 a 2−y 2 b 2 =1 中, 以 P (x0, y0) 为中点的弦所在直线的斜率 k= b 2 x0 a 2 y0 ; 在抛物线 y 2=2 px ( p>0) 中，以 P (x0, y0) 为中点的弦所在直线的斜率 k= p y0 5. 椭圆其他斜率形式拓展 椭圆的方程为 （a＞b＞0）， 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点， 则有 椭圆的方程为 （a＞b＞0）， 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一 点，则有 椭圆的方程为 （a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于 两点，P 点是椭圆上异于 两点 的任一点，则有 6. 点差法妙解中点弦问题 若设直线与圆锥曲线的交点 ( 弦的端点 ) 坐标为 A (x1, y1)、B (x2, y2), 将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 AB的中点和斜率有关的式子, 可以大大减 少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 （1） 设点: 若 A (x1, y1),B (x2, y2) 是椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a>b>0) 上不重合的两点,则 { x1 2 a 2 + y1 2 b 2 =1 x2 2 a 2 + y2 2 b 2 =1 （2） 作差: 两式相减得 (x1+x2)(x1−x2) a 2 + ( y1+ y2)( y1−y2) b 2 =0, （3）表斜率: y1−y2 x1−x2 是直线 AB 的斜率 k ,( x1+x2 2 , y1+ y2 2 ) 是线段 AB 的中点 (x0, y0), 化简可得 y1+ y2 x1+x2 ⋅y1−y2 x1−x2 =−b 2 a 2 ⇒y0 x0 ⋅k=−b 2 a 2 , 此种方法为点差法。 例4．（全国·高考真题）已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A、B 两点． 若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1 C． ＋ ＝1 D． ＋ ＝1 【法一】k AB.kOM=−b 2 a 2 ，解得b 2 a 2=1 2，因为c=3，所以 . 【法二】设 、 ，所以 ，运用点差法，所以直线 的斜率为 ，设直线方 程为 ，联立直线与椭圆的方程 ，所以 ；又因 为 ，解得 . 1．（重庆·高考真题）直线与圆 相交于两点 ， ，弦 的中点为 ， 则直线的方程为 ． 2．（江苏·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线 与其相交于 ， 两 点，若 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是 A． B． C． D． 3．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l 与椭圆 在第一象限交于A，B 两点，l 与x 轴，y 轴分 别交于M，N 两点，且 ，则l 的方程为 ． 4．（2023·全国·统考高考真题）设A，B 为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是 （ ） A． B． C． D． 5．（全国·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上 （1）求 的方程 （2）直线不过原点 且不平行于坐标轴，与 有两个交点 ，线段 的中点为 .证明：直线 的斜率与直线的斜率的乘积为定值. 技法05 圆锥曲线中弦长问题（硬解定理-万能公式）的应用及解题技巧 知识迁移 1. 弦长公式 若直线l: y=kx+b 与圆雉曲线相交于A(x1, y1),B(x2, y2)两点，则弦长 2. 圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理） 设直线方程为: y=kx+b (特殊情况要对 k 进行讨论), 圆锥曲线的方程为: f (x , y )=0, 把直线方程代入曲线方程, 可化为 a x 2+bx+c=0 (a≠0) 或(a y 2+by+c=0), (a≠0), 设直线和曲线的两交点为 A (x1, y1),B (x2, y2), 求根公式为 x=−b± ❑ √b 2−4 ac 2a (1) 若消去 y, 得a x 2+bx+c=0 (a≠0) 则弦长公式为: 圆锥曲线的弦长万能公式（硬解定理）及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命 题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习. |AB|=❑ √(x1−x2) 2+( y1−y2) 2= ❑ √1+k 2⋅|x1−x2| ¿= ❑ √1+k 2⋅| −b+ ❑ √b 2−4 ac 2a −−b− ❑ √b 2−4 ac 2a | ¿= ❑ √1+k 2 ❑ √Δ |a| (2) 若消去 x , 得a y 2+by+c=0 (a≠0) 则弦长公式为: |AB|=❑ √(x1−x2) 2+( y1−y2) 2=❑ √ 1+ 1 k 2 ⋅|y1−y2| ¿=❑ √ 1+ 1 k 2 ⋅| −b+ ❑ √b 2−4 ac 2a −−b− ❑ √b 2−4 ac 2a | ¿=❑ √