哈九中2021级高二上学期12月阶段检测数学试卷

试卷第1页，共4页 哈九中2021 级高二上学期12 月阶段性考试数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） Ⅰ卷 一、单选题：本题共有8 个小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知经过  3, A a ， ) 4 , 1 (  B 两点的直线的斜率为1，则  a （ ） A．7 B． 2  C．3 D． 3  2．直线l 过点 ) 1 , 0 ( 与双曲线 2 2 2  y x 仅有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 3． 设 为椭圆 1 2 6 : 2 2  y x C 上一动点， ， 分别为左、 右焦点， 延长 至点 ， 使得 ， 则动点 的轨迹方程为（ ） A. 24 ) 2 ( 2 2    y x B. 6 ) 2 ( 2 2    y x C. 24 ) 2 ( 2 2    y x D. 6 ) 2 ( 2 2    y x 4．2022 年10 月16 日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂降重开幕，为了增强主席台 的亮度，且为了避免主席台就坐人员面对强光的不适，灯光设计人员巧妙地通过双曲线镜面反射出发散光 线达到了预期的效果。如图，从双曲线右焦点 2 F 发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点 1 F .已知 双曲线的离心率为 2 ，则当 | | 1 P F 与 | | 2 1 F F 恰好相等时， 1 2 cos F F P  （ ） A． 4 2 2  B． 2 2 C．1 2 D． 2 1 2  5．已知圆 : C 1 ) 1 ( 2 2    y x 与抛物线 ) 0 ( 2 2   p px y 的准线相切，则  p （ ） A．8 1 B．4 1 C．8 D．2 6．若双曲线C： 2 2 2 1 4 y x a   ( 0) a  的一条渐近线被圆 2 2 ( 2) 4 x y    所截得的弦长为5 16 ，则双曲线C 的 离心率为（ ） A． 3 13 B． 3 17 C． 3 5 D． 3 39 试卷第2页，共4页 7．已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为l，过点的直线交l 于点 ，与抛物线的一个交点为 ， 且 FB FA   ,则 （ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 8．已知F 是椭圆C：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的右焦点，A 是C 的上顶点，直线l：3 4 0 x y   与C 交于M， N 两点．若 6 MF NF   ，A 到l 的距离不小于5 4 ，则C 的离心率的取值范围是（ ） A． ) 1 , 3 5 [ B． ) ,1 3 2 2 [ C． ] 3 2 2 , 0 ( D． ] 3 5 , 0 ( 二、多选题：本题共4 个小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9．己知双曲线 2 2 : 1 3 y C x  ，则（ ） A．双曲线C 的实半轴长为2 B．双曲线C 的虚轴长为 3 2 C．双曲线C 的离心率为2 D．双曲线C 的渐近线方程为 x y 3   10． 已知⊙ 0 2 2 2 2 1     y mx y x O： ， ⊙ 0 1 4 2 2 2 2      my x y x O ： ， 下列说法中， 正确的有 （ ） A．若点  1 1  ， 在⊙ 1 O 内，则 0  m B．当 1  m 时，⊙ 1 O 与⊙ 2 O 共有两条公切线 C． R m  ,使得⊙ 1 O 与⊙ 2 O 公共弦的斜率为2 1 D．若⊙ 1 O 与⊙ 2 O 存在公共弦，则公共弦所在直线过定点       6 1 3 1， 11．如图，P 是椭圆 2 2 1 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     与双曲线 2 2 2 2 2 : 1 x y C m n  （m 0, 0) n  ）在第一象限的交点， 且 1 2 , C C 共焦点 1 2 1 2 1 2 , , , , F F F PF C C    的离心率分别为 1 2 , e e ，则下列结论不 ． 正确 ．． 的是（ ） A． a m PF a m PF     | | , | | 2 1 B．若 60  ，则 2 2 2 1 3 1 4 e e   C．若 90  ，则 2 2 1 2 e e  的最小值为2 D．tan 2 b n  试卷第3页，共4页 12．双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段AB 长度为a 2 ，动点M 满足 2 a MB MA   ，那么M 的轨 迹称为双纽线.已知曲线     1 1 1 : 2 2 2 2       y x y x C 为双纽线，下列选项判断正确的是（ ） A．曲线C 关于x 轴对称 B．曲线C 不关于 ) 0 , 0 ( 对称 C．曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是 ] 2 , 2 [ D．P 为曲线C 上的动点， B A、 的坐标为   1 0 1 , 0  ， ， ，则PAB  面积的最大值为2 1 Ⅱ卷 三、填空题：本题共有4 个小题，每小题5 分，共20 分. 13．与椭圆 2 2 1 16 12 x y  有公共焦点，且离心率为2 的双曲线的标准方程为 ． 14．设点 ) 4 3 , 0 ( A ， ) 0 , 1 ( B ，点 在椭圆 1 3 4 2 2  y x 上运动，当 最大时，点 的坐标 为 ． 15. 已知双曲线 2 2 2 2 1 x y a b  （ 0 a  ， 0 b  ）的两条渐近线与抛物线 2 2 y px  （ 0 p  ）的准线分别相交于 点A，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB  的面积为 3 2 ，则p  ． 16．已知椭圆 的右顶点和上顶点分别为 ， ，左焦点为，以原点 为圆心的 圆与直线 相切， 且该圆与轴的正半轴交于点 ， 过点的直线交椭圆于 ，两点． 若四边形 是平行四边形，且平行四边形面积为96，则椭圆的长轴长为 ． 四、解答题：本题共有6 个小题，共70 分. 17．已知椭圆C： 1 3 6 2 2  y x 内一点 ) 1 , 1 ( M 引一条弦，与椭圆相交于A，B 两点，使弦被M 点平分， （1）求这条弦所在直线的方程. （2）求弦AB 的长． 18．已知双曲线C 的方程为   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     ，其左､右焦点分别为 1 F ， 2 F ，离心率 2 3 3 e  ，双曲 线C 的一个焦点到渐近线的距离为1. （1）求双曲线C 的标准方程； （2）设P 是双曲线C 与圆 2 2 4 x y   在第一象限的交点，求 1 2 PF F △ 的面积. 试卷第4页，共4页 19．在四棱锥P ABCD  中，底面ABCD为直角梯形， , , , 1 PA PD BC AD DC DA BC CD     / / ， 2, , AD E F  分别为 , AD PC 的中点，PE CD  . （1）证明：PE BD  ； （2）若PC 与AB 所成角为  60 ，求平面FBE 与平面CBE 夹角的余弦值. 20． 如图， 某市在城市东西方向主干道边有两个景点 ，， 它们距离城市中心 的距离均为20km ，是 正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心 的距离为12.5km，为改善市民出行，准备规划道路 建设，规划中的道路 如图所示，道路 段上的任意一点到景点 的距离比到景点 的距离 都多16km，其中道路起点 到东西方向主干道的距离为6km，线路 段上的任意一点到 的距离都相 等，以 为原点、线段 所在直线为轴建立平面直角坐标系 ． （1）求道路 的曲线方程； （2） 现要在 上建一站点 ， 使得 到景点的距离最近， 问如何设置站点 的位置（即确定点 的坐标）? 21．动点M 与定点   1,0 A 的距离和M 到定直线 9 x  的距离之比是常数1 3 ． （1）求动点M 的轨迹G 的方程； （2）设O为原点，点   3,0 B  ，过点A 的直线l 与M 的轨迹G 交于P 、Q 两点，且直线l 与x 轴不重合， 直线BP 、BQ 分别与y 轴交于R 、S两点，求证：OR OS  为定值． 22．已知椭圆C ： 2 2 1 4 x y  的左､右顶点分别为 , A B ，直线PQ交椭圆C 于 , P Q 两点，直线PQ与x 轴不平 行，记直线AP 的斜率为 1 k ，直线BQ 的斜率为 2 k ，已知 2 1 2k k  . （1）求证：直线PQ恒过定点； （2）设APQ  和BPQ  的面积分别为 1 2 , S S ，求 1 2 S S  的最大值.