河北省石家庄市第二中学教育集团2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

石家庄二中教育集团2021-2022 学年度高二年级上学期期中考试 数学试题 （时间：120 分钟，分值150 分） 一、单项选择题：共8 小题，每小题5 分，共40 分． 1．若直线经过两点 且倾斜角为 ，则m 的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 2．已知直线l 将圆 平分，且与直线 垂直，则直线l 的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知圆 ，则当圆C 的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距 离的最大值为（ ） A． B．6 C． D． 4．已知点 ，直线 ，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段 的垂直平分线 交于点M，则点M 的轨迹是（ ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 5．已知抛物线 上的点 到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知圆 ，设直线 与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O 上存在 点P 满足 ，则r 的最小值为（ ） A． B． C． D．3 7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，实轴长为5，点M 在C 的左支上， 过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N，则当 取最小值10 时，该双曲线的渐近线方程为 （ ） A． B． C． D． 8．如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为 的平面所截，截面是一个椭，当 为 时，这个椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：共4 小题，每小题5 分，共20 分（全部选对得5 分，选对但不全的得2 分， 有错选的得0 分）． 9．下列结论正确的是（ ） A．直线 与直线 互相垂直是 的必要不充分条件 B．已知直线l 过定点 且与以 为端点的线段有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围 是 ． C．经过点 且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为 D．已知 ，O 为坐标原点，点 是圆 外一点，直线m 的方程是 ，则m 与圆相交 10．一般地，我们把离心率为 的椭圆称为“黄金椭圆”．把离心率为 的双曲线称为“黄金双 曲线”，则下列命题正确的有（ ） A．若 是“黄金椭圆，则 B．若焦距为4，且点A 在以 为焦点的“黄金椭圆”上，则 的周长为 C．若 是黄金双曲线 的左焦点，C 是右顶点， 则 D．若 是黄金双曲线 的弦，离心率为e，M 是 的中点，若 和 的斜率均存在，则 11．在平面直角坐标系 中，圆 ，若直线 上有且仅有一点A 满足： 过点A 作圆C 的两条切线 ，切点分别为P，Q，且使得四边形 为正方形，则m 的值可以为（ ） A． B． C．3 D．7 12．已知过抛物线 的焦点F 的直线交抛物线C 于P、Q 两点，交圆 于M，N 两 点，其中P、M 位于第一象限，则 的值可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 三、填空题（每题5 分，共20 分） 13．已知双曲线 ，点 ， 为其两个焦点，点P 为双曲线C 上一点，且满足 ，则 的值为________． 14．已知圆 ，若圆C 与曲线 恰有三条公切线，则 _______． 15．已知抛物线 的焦点为F，过点 作y 轴的垂线交抛物线C 于点A，且满足 ，设直线 交抛物线C 于另一点B，则点B 的纵坐标为_________． 16．已知双曲线 的上、下焦点分别为 ，过 且垂直于y 轴的直线与C 交 于A，B 两点，直线 分别交x 轴于点C，D，若 ，则过点 ， 的 直线的斜率的最大值为_________．此时双曲线的离心率为________． 四、解答题（共6 题，共70 分） 17．（10 分）已知 的顶点 边上的中线 所在直线方程为 ， 边上的高 所在直线方程为 ．求 （1）顶点C 的坐标； （2）求点B 到直线 的距离． 18．（12 分）已知圆 ，直线 ． （1）判断直线l 与圆C 的位置关系； （2）若直线l 与圆C 交于A，B 两点，且 ，求直线l 的方程． 19．（12 分）已知椭圆 ，点 、 分别是其左、右焦点，点A、B 分别为其左、 右顶点，若两焦点与短轴两端点围成四边形面积为 ，且圆 为该四边形的内切圆． （1）求椭园C 的方程； （2）若以（1）中较圆的椭圆为研究对象，过 的直线l 交椭圆于P，Q 两点，求 面积的最大值． 20．（12 分）已知抛物线 ，直线 与E 交于A、B 两点，且 ，其 中O 为坐标原点． （1）求抛物线E 的方程； （2）已知点C 的坐标为 ，记直线 、 的斜率分别为 、 ，证明： 为定值． 21．双线曲 经过点 ，一条渐近线的倾斜角为 ，直线l 交双曲线于A、B． （1）求双曲线C 的方程； （2）若l 过双曲线的右焦点 ，是否存在x 轴上的点 ，使得直线l 绕点 无论怎样转动，都有 成立？若存在，求出M 的坐标，若不存在，请说明理由． 22．（12 分）已知椭圆 的离心率为 ，其左、右焦点与短轴端点构成的四边形 面积为 ． （1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆外一点P 作两条互相垂直的直线 、 ， 、 与椭圆C 均相切，切点分别为A、B 两点． （ⅰ）求P 的轨迹方程． （ⅱ）记原点O 到 、 的距离分别为 ， ，求 的最大值． 石家庄二中教育集团2021-2022 学年度高二年级上学期期中考试 数学试题答案 一、选择题 1．C 2．C 3．D 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A 9．ABD 10．BCD 11．AC 12．CD 二、填空题 13． 14．8 15． 16．4 三、解答题 17．【解析】：（1）设 ， ∵ 边上的中线 所在直线方程为 ， 2 分 边上的高 所在直线方程为 ． 4 分 ∴ 解得 ∴ ． 5 分 （2）设 ，则 ，解得 ∴ 8 分 ∴直线 的方程为 ∴点B 到直线 的距离 10 分 18．【解答】解：（1）∵直线 ，则 ， ∴直线l 过定点 ， 2 分 ∵圆 ，∴圆心 ， ∴ ，即圆心到定点 的距离小于圆的半径，即定点 在圆内， ∴直线与圆相交． 5 分 （2）∵直线l 与圆C 交于A、B 两点，且 ，圆 ， ∴圆心到直线 的距离为1， 9 分 ∴ ，解得 ， 11 分 ∴直线l 的方程为 ． 12 分 19．【解析】（1）设焦距为c，则 即 ， 又直线 与圆 相切， ∴ ， 故 ， ∴ ，故 ， 故 或 ， 椭圆方程为 或 ． 4 分 （2）较圆的椭圆为 5 分 根据题意，直线l 斜率不为0，设直线 ， 联立方程 得， 7 分 ∴ ， 9 分 令 ，则 易知 在 单调递增， 所以当 时， 取最大值 ，此时 ． 12 分 20．【解析】（1）联立方程组 ，消元得： 恒成立， 2 分 设 ，∴ ， 3 分 又 ， ∴ ，从而 ； 5 分 （2）∵ ，∴ 7 分 ∴ ， 10 分 又 ，则 ， 11 分 即 为定值24． 12 分 21．【解析】 （1）双曲线的渐近线方程为 ， 因为两条渐近线的夹角为 ，故渐近线 的倾斜角为 或 ， 所以 或 ． 2 分 又 ，故 或 （无解），故 ， 所以双曲线 ． 5 分 （2）双曲线的右焦点为 ， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为： ，设 ， ， 因为 ，所以 ， 整理得到 ①， 7 分 由 可以得到 ， 因为直线l 与双由线有两个不同的交点， 故 且 ， 所以 ． 由题设有①对任意的 总成立， 因 ， 所以①可转化为 ， 整理得到 对任意的 总成立， 10 分 故 ，故 即所求的定点M 的坐标为 ． 当直线l 的斜率不存在时，则 ，此时 或 ， 此时 ． 综上，定点M 的坐标为 ． 12 分 22．（1）由已知可得 ，解得 ，因此，双曲线C 的方程为 ； 3 分 （2）（ⅰ）设点P 的坐标为 ． ①若直线 ， 的斜率都存在时，不妨设直线 、 的斜率分别为 、 ， 不妨设过点P 且斜率存在的直线的方程为 ，即 ， 4 分 联立 消去y 可得 ， 由 ， 可得 ， 由题意可知， ， 是关于k 的二次方程 的两根， 6 分 因为 ，则 ，化简可得 ； 8 分 ②当 、 分别与两坐标轴垂直时，满足 ，此时点P 的坐标为 ， 点P 在 上． 综上所述，点P 的轨迹方程为 ； 9 分 （ⅱ）由（ⅰ）可知 ， 过点O 分别作直线 、 的垂线，垂足分别为点M，N， 因为 ，故 ，同理可得 ， 所以，四边形 为矩形，故 ， 11 分 由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立． 因此， 的最大． 12 分