有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半； ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一 半 在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。 模型一、双中点-中位线模型 如图，D 、E 、F 分别为△B 三边中点，连接DE 、DF 、EF ，则 ， ， ， 模型二、 单中点-倍长中线模型 模型二、 单中点-“三线合一”模型 如图，在△B 中，B＝，D 为B 的中点，连接D，则D 平分∠B，D 是边B 上的高，D 是B 边 上的中线（D 是角平分线、中线、垂线） 模型介绍 考点一：单中点-倍长中线模型 【例1】．如图，已知B＝12，B⊥B 于B，B⊥D 于，D＝5，B＝10．点E 是D 的中点，则 E 的长为（ ） ．6 B． ∴∠D＝∠， ∵点E 是D 的中点， ∴DE＝E， 在△DE 和△FE 中， ， ∴△DE≌△FE（S）， ∴E＝FE，D＝F＝5， ∴BF＝B﹣F＝5， 在Rt△BF 中，F＝ ＝ ＝13， ∴E＝ F＝ ． 故选：B． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，在菱形BD 中，∠＝110°，E，F 分别是边B 和B 的中点，EP⊥D 于 点P，则∠FP＝（

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半； ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一 半 在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。 模型一、双中点-中位线模型 如图，D 、E 、F 分别为△B 三边中点，连接DE 、DF 、EF ，则 ， ， ， 模型二、 单中点-倍长中线模型 模型二、 单中点-“三线合一”模型 如图，在△B 中，B＝，D 为B 的中点，连接D，则D 平分∠B，D 是边B 上的高，D 是B 边 上的中线（D 是角平分线、中线、垂线） 模型介绍 考点一：单中点-倍长中线模型 【例1】．如图，已知B＝12，B⊥B 于B，B⊥D 于，D＝5，B＝10．点E 是D 的中点，则 E 的长为（ ） ．6 B． ∴∠D＝∠， ∵点E 是D 的中点， ∴DE＝E， 在△DE 和△FE 中， ， ∴△DE≌△FE（S）， ∴E＝FE，D＝F＝5， ∴BF＝B﹣F＝5， 在Rt△BF 中，F＝ ＝ ＝13， ∴E＝ F＝ ． 故选：B． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，在菱形BD 中，∠＝110°，E，F 分别是边B 和B 的中点，EP⊥D 于 点P，则∠FP＝（

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半； ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一 半 在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。 模型一、双中点-中位线模型 如图，D 、E 、F 分别为△B 三边中点，连接DE 、DF 、EF ，则 ， ， ， 模型二、 单中点-倍长中线模型 模型二、 单中点-“三线合一”模型 如图，在△B 中，B＝，D 为B 的中点，连接D，则D 平分∠B，D 是边B 上的高，D 是B 边 上的中线（D 是角平分线、中线、垂线） 模型介绍 考点一：单中点-倍长中线模型 【例1】．如图，已知B＝12，B⊥B 于B，B⊥D 于，D＝5，B＝10．点E 是D 的中点，则 E 的长为（ ） ．6 B． 中，∠＝110°，E，F 分别是边B 和B 的中点，EP⊥D 于 点P，则∠FP＝（ ） ．35° B．45° ．50° D．55° 【变式1-2】．如图，在△B 中，B＝12，＝20，求B 边上中线D 的范围为 ． 例题精讲 考点二：双中点中位线模型 【例2】．如图，在△B 中，D 是B 上一点，D＝，E⊥D，垂足为点E，F 是B 的中点，若 BD＝16，则EF 的长为

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出 发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部 分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 模型1 线段的双中点模型 图2 1）双中点模型（两线段无公共部分） 条件：如图1，已知、B、三点共线，D、E 分别为B、B 中点，结论： 2）双中点模型（两线段有公共部分） 条件：如图2，已知、B、三点共线，D、E 分别为B、B 中点，结论： 例1．（2023·广东七年级期中）如图， 是 的中点， 是 的中点，若 ， ，则下列说 法中错误的是（ ） ． B． D． 【答】B 【分析】根据 是 的中点， 是 的中点，分别求得 ， ， ，再根据线段的和与差，计算即可判断． 【详解】解：∵ 是 的中点， 是 的中点，且 ， ， ∴ ， ， ， ∴ ，故选项不符合题意； ，故选项B 符合题意； ，故选项不符合题意； ，故选项D 不符合题意；故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及中点的定义，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出 发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部 分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 模型1 线段的双中点模型 图2 1）双中点模型（两线段无公共部分） 条件：如图1，已知、B、三点共线，D、E 分别为B、B 中点，结论： 2）双中点模型（两线段有公共部分） 条件：如图2，已知、B、三点共线，D、E 分别为B、B 中点，结论： 例1．（2023·广东七年级期中）如图， 是 的中点， 是 的中点，若 ， ，则下列说 法中错误的是（ ） ． B． 上运动， 分别取线段 、 的中点 、 ，则 ． 例3．（2022 秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点 是 的中点，点 是 的中点，现给出下列等 式：① ，② ，③ ，④ ．其中正确的等式序号是 ． 例4．（2022 秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段 ， 是 的中点， 是 的中点， 是 的 中点， 是 的中点，依此类推……，线段的 长为

几何图形初步 模型（一） 线段双中点 ◎结论1：已知点在线段B 上，点M、分别是，B 的中点，则M= 1 2 B 【证明】∵点M、分别是，B 的中点， M= ∴ 1 2 ，= 1 2 B 【奇思妙想消消消：等号左边M，消掉共同字母,得M。 等号右边 1 2 ， 1 2 B 消掉共同字母，得 1 2 B】 M = M+ = ∴ ∴ 1 2 + 1 2 B = 1 2 （+B）= 1 2 B ◎结论2：已知点在线段B 延长线上，点M、分别是，B 的中点，则M= 1 2 B 【证明】∵点M、分别是，B 的中点， M= ∴ 1 2 ，= 1 2 B， 【奇思妙想消消消：等号左边M，消掉共同字母,得M。 等号右边 1 2 ， 1 2 B 消掉共同字母，得 1 M，分别是 ，B 的中点，则M= 1 2 B 无论线段之间的和差关系如何变 ，M 的长度只与B 有关即M= 1 2 B 1（2022·山西晋城·七年级期末）已知线段 ，在线段 上任取一点，其中线段 的中点为 E、线段 的中点为F．则线段 的长度是_______． 【答】 ##25m【也可根据双中点结论，直接得出结果】 【分析】先画出图形，再根据线段中点的定义可得 ，再根据

几何图形初步 模型（一） 线段双中点 ◎结论1：已知点在线段B 上，点M、分别是，B 的中点，则M= 1 2 B 【证明】∵点M、分别是，B 的中点， M= ∴ 1 2 ，= 1 2 B 【奇思妙想消消消：等号左边M，消掉共同字母,得M。 等号右边 1 2 ， 1 2 B 消掉共同字母，得 1 2 B】 M = M+ = ∴ ∴ 1 2 + 1 2 B = 1 2 （+B）= 1 2 B ◎结论2：已知点在线段B 延长线上，点M、分别是，B 的中点，则M= 1 2 B 【证明】∵点M、分别是，B 的中点， M= ∴ 1 2 ，= 1 2 B， 【奇思妙想消消消：等号左边M，消掉共同字母,得M。 等号右边 1 2 ， 1 2 B 消掉共同字母，得 1 ，B 的中点，则M= 1 2 B 无论线段之间的和差关系如何变 ，M 的长度只与B 有关即M= 1 2 B 1（2022·山西晋城·七年级期末）已知线段 ，在线段 上任取一点，其中线段 的中点为 E、线段 的中点为F．则线段 的长度是_______． 2（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校七年级期末）如图，是线段B 上一点，M 是的中点，是B 的中点． (1)若M=1，B=4，求M

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出 发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部 分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 .............................. .................2 模型1 线段的双中点模型............................................................................................................................... 2 模型2 线段的多中点模型......................... ........................................................................................... 7 模型3 双角平分线模型与角等分线模型.......................................................................................

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出 发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部 分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 .............................. .................2 模型1 线段的双中点模型............................................................................................................................... 2 模型2 线段的多中点模型......................... ........................................................................................... 4 模型3 双角平分线模型与角等分线模型.......................................................................................

中点模型知识精讲 1 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形 的“三线合一”性质来解决问题例： 已知：在△B 中，B＝，取B 的中点D，连接D，则D 平分∠B，D 是边B 上的高，D 是B 边 上的中线 【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法 2 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问 题，例： （1）如图，在Rt△B 中，D 为斜边B 的中点，连接D，则D＝D＝BD （2）如图，在Rt△B 中，B＝2B，作斜边B 上的中线D，则D＝BD＝D＝B，△BD 是等边三 角形 【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题 的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角 3 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例： 线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等， 利用等角对等边证明两条线段相等 5 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例： 如图，已知点为 边E 上一点，为B 的中点，延长至点D，使得 ，连接 D、BD，则 ， ，四边形DB 为平行四边形 6 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例： 如图，F 为△B 的中线，作BD⊥F